El Teorema de Pitágoras y su Reciproco

Aquí, aprenderás a usar el Teorema de Pitágoras para determinar si las longitudes de tres lados hacen un triángulo rectángulo.

Digamos que te dicen que las longitudes de los lados de un triángulo son 4, 5 y 7. ¿Cómo podrías determinar si el triángulo es un triángulo rectángulo? Tras completar esta sección, podrás usar el Teorema de Pitágoras y su recíproco para resolver problemas como este.

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El Teorema de Pitágoras también puede usarse para hallar la hipotenusa perdida de un triángulo rectángulo si es que conocemos los catetos del triángulo.

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Orientación

Teresa quiere colgar un tendedero en su patio, de esquina a esquina. Si el patio mide 22 pies por 34 pies, ¿cuantos pies de cuerda necesita para su tendedero?

El Teorema de Pitágoras establece la relación entre la longitud de los lados de un triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo es aquel que contiene un ángulo de 90 grados. El lado del triángulo opuesto al ángulo de 90 grados se llama hipotenusa y los lados del triángulo adyacentes al ángulo de 90 grados se les llama los catetos .

Si definimos $a$ y $b$ como los catetos del triángulo rectángulo y $c$ como la hipotenusa, entonces el Teorema de Pitágoras puede definirse como:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. Vale decir: $a^2+b^2=c^2$ .

Este teorema es muy útil porque si conocemos las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo, podemos hallar la longitud de la hipotenusa. Además, si conocemos el largo de la hipotenusa y el largo de uno de los catetos, podemos calcular la longitud del cateto faltante en el triángulo. Cuando uses el Teorema de Pitágoras, no importa cuál de los catetos denomines como $a$ y cual como $b$ , pero la hipotenusa siempre debe denominarse como $c$ .

A pesar de que hoy en día usamos el Teorema de Pitágoras para establecer la relación entre distancias y longitudes, originalmente tal teorema hacía referencia a las áreas. Si construimos cuadrados en cada lado de un triángulo rectángulo, el Teorema de Pitágoras dice que el área del cuadrado, cuyo lado es la hipotenusa, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados formados por los catetos del triángulo.

Uso del Teorema de Pitágoras y su Recíproco

El Teorema de Pitágoras puede usarse para verificar que un triángulo es un triángulo rectángulo. Si puedes mostrar que los tres lados del triángulo concuerdan con la ecuación $a^2+b^2=c^2$ , entonces sabrás que el triángulo si es un triángulo rectángulo. A esto se le llama el Recíproco del Teorema de Pitágoras.

Nota: Cuando uses el Recíproco del Teorema de Pitágoras, asegúrate de que sustituyes los valores correctos para los catetos y la hipotenusa. La hipotenusa debe ser el lado más largo. Los otros dos lados son los catetos y el orden en que los uses no es importante.

Ejemplo A

Determina si un triángulo con lados 5, 12 y 13 es un triángulo rectángulo.

Solución

El triángulo es rectángulo si sus lados satisfacen el Teorema de Pitágoras.

Si es un triángulo rectángulo, el lado más largo debe ser la hipotenusa, por lo que definimos $c = 13$ .

Luego, designamos los valores más pequeños como $a = 5$ y $b = 12$ .

Ingresamos estos valores al Teorema de Pitágoras:

$a^2+b^2 = c^2 & \Rightarrow 5^2+12^2=c^2\\\25+144=169 = c^2 & \Rightarrow c=13$

Los lados del triángulo satisfacen el Teorema de Pitágoras, por lo que el triángulo es un triángulo rectángulo.

Ejemplo B

Determina si un triángulo con lados, $\sqrt{10}, \sqrt{15}$ y 5 es un triángulo rectángulo.

Solución

El lado más largo debe ser la hipotenusa, por lo que $c = 5$ .

Designamos los lados más pequeños como $a = \sqrt{10}$ y $b = \sqrt{15}$ .

Ingresamos estos valores al Teorema de Pitágoras:

$a^2+b^2 = c^2 & \Rightarrow \left(\sqrt{10}\right)^2+\left(\sqrt{15}\right)^2=c^2\\\10+15=25 = c^2 & \Rightarrow c=5$

Los lados del triángulo satisfacen el Teorema de Pitágoras, por lo que el triángulo es un triángulo rectángulo.

Ejemplo C

En un triángulo rectángulo, un cateto tiene longitud 4 y el otro tiene longitud 3. Encuentra la longitud de la hipotenusa.

Solución

$\text{Start with the Pythagorean Theorem:} && a^2+b^2& =c^2\\\\text{Plug in the known values of the legs:} && 3^2+4^2& =c^2\\\\text{Simplify:} && 9+16& =c^2\\\&& 25& =c^2\\\\text{Take the square root of both sides:} && c& =5$

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: The Pythagorean Theorem and Its Converse

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Vocabulario

El Teorema de Pitágoras establece la relación entre la longitud de los lados de un triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo es aquel que contiene un ángulo de 90 grados. El lado del triángulo opuesto al ángulo de 90 grados se llama hipotenusa y los lados del triángulo adyacentes al ángulo de 90 grados se les llama los catetos .

Si definimos $a$ y $b$ como los catetos del triángulo rectángulo y $c$ como la hipotenusa, entonces el Teorema de Pitágoras puede definirse como:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. Vale decir: $a^2+b^2=c^2$ .

Práctica Guiada

Determina si un triángulo con lados, $2, \sqrt{21}$ y 5 es un triángulo rectángulo.

Solución

El lado más largo debe ser la hipotenusa, por lo que $c = 5$ .

Designamos los lados más pequeños como $a =2$ y $b = \sqrt{21}$ .

Ingresamos estos valores al Teorema de Pitágoras:

$a^2+b^2 = c^2 & \Rightarrow \left(2\right)^2+\left(\sqrt{21}\right)^2=c^2\\\4+21=25 = c^2 & \Rightarrow c=5$

Los lados del triángulo satisfacen el Teorema de Pitágoras, por lo que el triángulo es un triángulo rectángulo.

Práctica

Determina si cada trío de números corresponden a las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.

$a = 12, b = 9, c = 15$
$a = 6, b = 6, c = 6 \sqrt{2}$
$a = 8, b =8 \sqrt{3}, c = 16$
$a =2 \sqrt{14}, b = 5, c = 9$
$a = 13, b = 16, c = 19$
$a = 20, b = 99, c = 101$
$a = 21, b = 220, c = 221$
$a = 7, b = 2, c = \sqrt{50}$
$a =8, b = 6, c = 10$
$a = 7, b =\sqrt{404}, c = 25$

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