Aplicación del Teorema de Pitágoras

Aquí, aprenderás cómo aplicar el Teorema de Pitágoras y su recíproco para resolver problemas cotidianos.

Digamos que un bombero necesita rescatar un gato de un árbol. El gato está atrapado a una altura de 40 pies del suelo. El bombero coloca una escalera a 30 pies de distancia desde la base del árbol. ¿Qué tan alta debe ser la escalera para que pueda alcanzar al gato? Tras completar esta sección, podrás resolver problemas de la vida real como este usando el Teorema de Pitágoras y su recíproco.

Orientación

El Teorema de Pitágoras y su recíproco tienen muchos usos a la hora de encontrar longitudes y distancias.

Ejemplo A

Maria tiene una bandeja rectangular para hornear galletas que mide $10 \ inches \times 14 \ inches$ . Encuentra la longitud de la diagonal de la bandeja para galletas.

Solución

Haz un dibujo:

Define las variables: Definamos $c =$ longitud de la diagonal.

Escribe una fórmula: Usa el Teorema de Pitágoras: $a^2+b^2=c^2$

Resuelve la ecuación:

$10^2+14^2 &= c^2\\\100+196 &= c^2\\\c^2 = 296 & \Rightarrow c=\sqrt{296} \Rightarrow c=2 \sqrt{74} \ \text{or} \ c = 17.2 \ inches$

Verifica: $10^2+14^2=100+196=296$ y $c^2=17.2^2=296$ . La solución es correcta.

Ejemplo B

Encuentra el área de la región sombreada en el siguiente diagrama:

Solución

Dibuja la diagonal del cuadrado de la imagen:

Nótese que la diagonal del cuadrado también es el diámetro del círculo.

Define las variables: Definamos $c =$ diámetro del círculo.

Escribe una fórmula: Usa el Teorema de Pitágoras: $a^2+b^2=c^2$ .

Resuelve la ecuación:

$2^2+2^2 &= c^2\\\4+4 &= c^2\\\c^2 = 8 & \Rightarrow c=\sqrt{8} \Rightarrow c=2 \sqrt{2}$

El diámetro del circulo es $2 \sqrt{2}$ , Por lo tanto, el radio es $R=\sqrt{2}$ .

Fórmula del área de un circulo: $A=\pi \cdot R^2=\pi \left(\sqrt{2}\right)^2=2 \pi$ .

Fórmula del área de un circulo $2 \pi - 4 = 2.28$ .

Ejemplo C

En un triángulo rectángulo, un cateto es el doble de largo que el otro cateto y su perímetro es de 28. ¿Cuáles son las medidas de los lados del triángulo?

Solución

Haz un dibujo y define las variables:

Definamos: $a =$ longitud del cateto más corto

$2a =$ longitud del cateto más largo

$c =$ longitud de la hipotenusa

Escribe una fórmula:

Los lados del triángulo se relacionen de dos formas distintas.

El perímetro es 28, por lo que $a+2a+c=28 \Rightarrow 3a+c=28$

El triángulo es un triángulo rectángulo, por lo que las medidas de los lados deben satisfacer el Teorema de Pitágoras:

$&\qquad \qquad a^2+(2a)^2 = c^2 \Rightarrow a^2+4a^2=c^2 \Rightarrow 5a^2=c^2\\\&\text{or} \qquad \quad c = a\sqrt{5}=2.236a$

Resuelve la ecuación:

Ingresa el valor de $c$ que acabamos de obtener en la ecuación del perímetro: $3a+c=28$

$3a+2.236a=28 \Rightarrow 5.236a=28 \Rightarrow a=5.35$

El cateto más corto es: $a = 5.35$

El cateto más largo es: $2a = 10.70$

La hipotenusa es: $c = 11.95$

Verifica: Los catetos del triángulo deben satisfacer el Teorema de Pitágoras:

$a^2+b^2=5.35^2+10.70^2=143.1, c^2=11.95^2=142.80.$ Los resultados son, aproximadamente, los mismos.

El perímetro del triángulo debe ser 28:

$a+b+c=5.35+10.70+11.95=28.$ La respuesta es correcta.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: Applications Using the Pythagorean Theorem

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

El Teorema de Pitágoras establece la relación entre la longitud de los lados de un triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo es aquel que contiene un ángulo de 90 grados. El lado del triángulo opuesto al ángulo de 90 grados se llama hipotenusa y los lados del triángulo adyacentes al ángulo de 90 grados se les llama los catetos .

Si definimos $a$ y $b$ como los catetos del triángulo rectángulo y $c$ como la hipotenusa, entonces el Teorema de Pitágoras puede definirse como:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. Vale decir: $a^2+b^2=c^2$ .

Práctica Guiada

Mike está cargando un camión de mudanza usando una rampa para subir. La rampa tiene 10 pies de largo y la base de la camioneta esta a 2,5 pies sobre el suelo. ¿Que tanto se extiende la rampa desde la parte trasera del camión?

Solución

Haz un dibujo:

Define las variables: Definamos $x =$ qué tanto se extiende la rampa desde la parte trasera del camión.

Escribe una fórmula: Usa el Teorema de Pitágoras: $x^2+2.5^2=10^2$

Resuelve la ecuación:

$x^2+6.25 &= 100\\\x^2 &= 93.5\\\x &= \sqrt{93.5} = 9.7 \ ft$

Verifica ingresando el resultado en el Teorema de Pitágoras:

$9.7^2+2.5^2=94.09+6.25=100.34 \approx 100$ . Por lo tanto, la rampa es de 10 pies de largo. La respuesta es correcta.

Práctica

Si se quiere hacer una rampa que tenga $3ft$ de altura y cubra $4ft$ de terreno, ¿qué tan larga debe ser la rampa?
Un diamante de béisbol estándar es un cuadrado con una distancia de 90 pies entre cada base. ¿A qué distancia queda la segunda base (en la esquina superior) desde la base opuesta (en la esquina inferior?
Emanuel tiene una caja de cartón que mide .
1. ¿Cuál es la longitud de la diagonal que cruza el fondo de la caja?
2. ¿Cuál es la longitud de la diagonal entre una esquina del fondo hasta la esquina opuesta en la tapa?
Samuel coloca una escalera frente a su casa. La base de la escalera está a 6 pies de distancia de la casa y la escalera mide 10 pies de largo.
1. ¿A qué altura del suelo la escalera toca el muro de la casa?
2. Si el borde del techo está a 10 pies del suelo y sobresale unos 1,5 pies fuera de la pared, ¿cuál es la distancia entre el borde del techo y la punta de la escalera?
Encuentra el área del triángulo siguiente si el área de un triángulo se define como $A=\frac{1}{2} \ base \times height$ :
En vez de caminar por los lados de un campo rectangular, Mario decidió tomar la diagonal. Se ahorró una distancia que es la mitad de la longitud lateral del campo.
1. Encuentra la longitud del lado largo del campo considerando que el lado corto mide 123 pies.
2. Encuentra la longitud de la diagonal.
Marcus navega al norte y Sandra navega al este desde el mismo punto de inicio. Dos horas después, el bote de Marcus está a 35 millas desde el punto de partida y el bote de Sandra está a 28 millas de ese mismo punto de partida.
1. ¿Qué distancia hay entre los botes?
2. Luego, Sandra navega 21 millas al norte, mientras que Marcus se queda quieto. ¿Qué tan lejos está Sandra del punto de partida original?
3. ¿Qué tan lejos está ahora Sandra de Marcus?
Determina el área del círculo siguiente (Pista: la hipotenusa del triángulo es el diámetro del círculo.)
La longitud de un rectángulo es $1in$ más larga que su ancho y la diagonal tiene una longitud de $29in$ , ¿Cuáles son las longitudes de los lados del rectángulo?
Encuentra la longitud de la hipotenusa de un triángulo isósceles cuyos lados tienen la siguiente longitud:
1. 1
2. 2
3. 3
4. $n$

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