Fórmula de la Distancia

Aquí, aprenderás cómo usar la fórmula de la distancia para hallar la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano. También aprenderás cómo hallar la coordenada perdida de un punto dada su distancia de otro punto conocido. Finalmente, resolverás problemas de la vida real usando la fórmula de la distancia.

Digamos que te dan las coordenadas de dos puntos como (6, 2) y (-3, 0). ¿Cómo podrías determinar qué tan lejos están estos puntos uno del otro? Tras completar esta sección, podrás hallar la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano cartesiano usando la Fórmula de la Distancia.

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CK-12 Foundation: The Distance Formula

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

En la última sección, vimos cómo usar el Teorema de Pitágoras para hallar las longitudes. En esta sección, aprenderemos cómo usar el Teorema de Pitágoras para hallar la distancia entre dos coordenadas.

Ejemplo A

Encuentra la distancia entre los puntos $A = (1, 4)$ y $B = (5, 2)$ .

Solución

Grafica ambos puntos en el plano cartesiano.

Para poder llegar desde el punto $A = (1, 4)$ al punto $B = (5, 2)$ , debemos movernos 4 unidades a la derecha y 2 unidades abajo. Tales rectas forman los catetos de un triángulo rectángulo.

Para hallar la distancia entre $A$ y $B$ debemos hallar el valor de la hipotenusa, $d$ , usando el Teorema de Pitágoras.

$d^2 &= 2^2+4^2=20\\\d &= \sqrt{20}=2 \sqrt{5}=4.47$

Ejemplo B

Encuentra la distancia entre los puntos $C = (2, -1)$ y $D = (-3, -4)$ .

Solución

Ya graficamos los puntos en el grafico anterior.

Para llegar del punto $C$ al punto $D$ , debemos movernos 3 unidades abajo y 5 unidades a la izquierda.

Hallaremos la distancia entre $C$ y $D$ al hallar la longitud de $d$ con el Teorema de Pitágoras.

$d^2 &= 3^2+5^2=34\\\d &= \sqrt{34}=5.83$

La Fórmula de la Distancia

El procedimiento que acabamos de usar puede generalizarse al usar el Teorema de Pitágoras para crear una fórmula para la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano cartesiano.

Hallemos la distancia entre dos puntos genéricos $A=(x_1,y_1)$ y $B=(x_2,y_2)$ .

Empecemos graficando los puntos en el plano cartesiano:

Para poder ir del punto $A$ al punto $B$ en el plano cartesiano, nos movemos $x_2 - x_1$ unidades a la derecha y $y_2 - y_1$ unidades arriba.

Podemos hallar la longitud $d$ usando el Teorema de Pitágoras:

$d^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$

Por lo tanto, $d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ . Esto se denomina la Fórmula de la Distancia. o de manera más formal:

Dados dos puntos cualesquiera $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ , la distancia entre ellos es $d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.$

Podemos usar esta fórmula para hallar la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano cartesiano. Nótese que la distancia es la misma, ya sea yendo del punto $A$ al punto $B$ o yendo del punto $B$ al punto $A$ , por lo que no importa en qué orden ingreses los puntos a la fórmula de la distancia.

Ahora apliquemos la fórmula de la distancia en los siguientes ejemplos.

Ejemplo C

Encuentra la distancia ente los siguientes puntos.

a) (-3, 5) y (4, -2)

b) (12, 16) y (19, 21)

c) (11.5, 2.3) y (-4.2, -3.9)

Solución

Ingresa los valores de los dos puntos a la fórmula de la distancia. Asegúrate de simplificar cuando sea posible.

a) $d=\sqrt{(-3-4)^2+(5-(-2))^2}=\sqrt{49+49}=\sqrt{98}=7 \sqrt{2}$

b) $d=\sqrt{(12-19)^2+(16-21)^2}=\sqrt{49+25}=\sqrt{74}$

c) $d=\sqrt{(11.5+4.2)^2+(2.3+3.9)^2}=\sqrt{284.93}=16.88$

Aplicación de las Formulas de la Distancia y del Punto Medio

Las fórmulas de la distancia y del punto medio son útiles en problemas de geometría en las que queremos encontrar la distancia entre dos puntos o el punto que está en el medio de dos puntos.

Ejemplo D

Grafica los puntos $A = ( 4, -2), B = (5, 5)$ , y $C = (-1, 3)$ y, luego, conéctalos para hacer un triángulo. Demuestra que tal figura es un triángulo isósceles.

Solución

Empecemos graficando los tres puntos en el plano cartesiano y hagamos un triángulo con ellos:

Usamos la fórmula de la distancia tres veces para hallar las longitudes de los tres lados del triángulo.

$AB &= \sqrt{(4-5)^2+(-2-5)^2}=\sqrt{(-1)^2+(-7)^2}=\sqrt{50}=5 \sqrt{2}\\\BC &= \sqrt{(5+1)^2+(5-3)^2}=\sqrt{(6)^2+(2)^2}=\sqrt{40}=2 \sqrt{10}\\\AC &= \sqrt{(4+1)^2+(-2-3)^2}=\sqrt{(5)^2+(-5)^2}=\sqrt{50}=5 \sqrt{2}$

Nótese que $AB = AC$ , por lo que el triángulo $ABC$ es isósceles.

Ejemplo E

Cierto día, a las 8 AM, Amir decide caminar en línea recta por la playa. Luego de dos horas sin desvíos y viajando a paso firme, Amir está a dos millas al este y cuatro millas al norte de su punto de inicio. ¿Qué tan lejos caminó Amir y cuál era su velocidad al caminar?

Solución

Empecemos graficando la ruta de Amir en un gráfico de coordenadas. Podemos ubicar su punto de inicio en el origen: $A = (0, 0)$ . Luego, su punto final será $B = (2, 4)$ .

La distancia puede hallarse con la fórmula de la distancia:

$d &= \sqrt{(2-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{(2)^2+(4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\\\d &= \underline{\underline{4.47 \ miles}}$

Ya que Amir caminó 4,47 millas por 2 horas, su velocidad es $s=\frac{4.47 \ miles}{2 \ hours}=\underline{\underline{2.24 \ mi/h}}$ .

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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Vocabulario

La Fórmula de la Distancia establece que, para dos puntos dados cualesquiera $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ , la distancia entre ellos es

$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.$

Práctica Guiada

Encuentra todos los puntos de la recta $y = 2$ que estén exactamente a 8 unidades de distancia del punto (-3, 7).

Solución

Hagamos un dibujo de la situación dada.

Dibujemos segmentos de recta desde el punto (-3, 7) a la recta $y = 2$ .

Definamos $k$ como el valor perdido de $x$ que estamos buscando.

$\text{Let's use the distance formula:} && 8& =\sqrt{(-3-k)^2+(7-2)^2}\\\\text{Square both sides of the equation:} && 64& =(-3-k)^2+25\\\\text{Therefore:} && 0& =9+6k+k^2-39 \ \text{or} \ 0=k^2+6k-30\\\\text{Use the quadratic formula:} && k& =\frac{-6 \pm \sqrt{36 + 120}}{2}=\frac{-6 \pm \sqrt{156}}{2}\\\\text{Therefore:} && k& =3.24 \ \text{or} \ k=-9.24$

Los puntos son (-9.24, 2) y (3.24, 2).

Práctica

Encuentra la distancia entre los dos puntos.

(3, -4) y (6, 0)
(-1, 0) y (4, 2)
(-3, 2) y (6, 2)
(0.5, -2.5) y (4, -4)
(12, -10) y (0, -6)
(-5, -3) y (-2, 11)
(2.3, 4.5) y (-3.4, -5.2)
Encuentra todos los puntos que tengan una coordenada $x-$ de -4, cuya distancia al punto (4, 2) sea de 10.
Encuentra todos los puntos que tengan una coordenada $y-$ de, 3 cuya distancia al punto (-2, 5) sea de 8.
Encuentra tres puntos que estén a 13 unidades de distancia del punto (3, 2) pero que no tengan una coordenada $x-$ de 3 o una coordenada $y-$ de 2.

Encuentra el punto medio del segmento de la recta que une a los dos puntos.

Grafica los puntos $A = (1, 0), B = (6, 4), C = (9, -2)$ y $D = (-6, -4), E = (-1, 0), F = (2, -6)$ . Demuestra que los triángulos $ABC$ y $DEF$ son congruentes.
Grafica los puntos $A = (4, -3), B = (3, 4), C = (-2, -1), D = (-1, -8).$ Demuestra que $ABCD$ es un rombo (todos los lados son iguales)
Grafica los puntos $A = (-5, 3), B = (6, 0), C = (5, 5).$ Encuentra la longitud de cada lado. Demuestra que $ABC$ es un triángulo rectángulo. Encuentra su área.
Encuentra el área del circulo cuyo centro es (-5, 4) y uno de sus puntos es (3, 2).
Michelle decides to ride her bike one day. First she rides her bike due south for 12 miles and then the direction of the bike trail changes and she rides in the new direction for a while longer. When she stops Michelle is 2 miles south and 10 miles west from her starting point. Find the total distance that Michelle covered from her starting point.

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