Fórmula del Punto Medio

Aquí, aprenderás cómo usar la fórmula del punto medio para hallar las coordenadas del punto que está en el medio del segmento de recta que conecta dos puntos dados. También usarás tal fórmula para hallar el extremo de un segmento de recta dado su otro extremo y su punto medio.

Digamos que te dan las coordenadas de dos puntos como (4, 1) y (0, -3).¿Cómo hallarías el punto medio del segmento de recta que une a los dos puntos? Tras completar esta sección, podrás hallar el punto medio de cualquier segmento de recta usando la Fórmula del Punto Medio.

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CK-12 Foundation: The Midpoint Formula

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PatrickJMT: The Midpoint Formula

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Orientación

En la última sección, viste cómo hallar la distancia entre dos puntos. En esta sección, aprenderás cómo hallar el punto que está exactamente en la mitad de dos puntos.

Ejemplo A

Encuentra las coordenadas del punto que está en el medio del segmento de recta que conecta los puntos $A = (-7, -2)$ y $B = (3, -8)$ .

Solución

Empecemos graficando los dos puntos:

Vemos que para llegar del punto $A$ al punto $B$ , nos movemos 6 unidades abajo y 10 unidades a la derecha.

Para poder llegar al punto que está en medio de los dos puntos, tiene sentido que nos movamos la mitad de la distancia vertical y la mitad de la distancia horizontal -vale decir, 3 unidades abajo y 5 unidades a la derecha del punto $A$ .

El punto medio es $M = (-7 +5, -2 - 3) = (-2, -5)$ .

La Fórmula del Punto Medio

Ahora buscamos generalizar este método para poder hallar una fórmula para el punto medio de un segmento de recta.

Tomemos dos puntos genéricos $A = (x_1, y_1)$ y $B = (x_2, y_2)$ . Luego, los marcamos en el plano cartesiano:

Vemos que, para ir desde $A$ hasta $B$ , nos movemos $x_2 - x_1$ unidades a la derecha y $y_2 - y_1$ unidades arriba.

IPara llegar al punto intermedio, debemos movernos $\frac{x_2-x_1}{2}$ unidades a la derecha y $\frac{y_2-y_1}{2}$ arriba desde el punto $A$ . Por lo tanto, el punto medio $M$ está en $\left(x_1+\frac{x_2-x_1}{2}, y_1+\frac{y_2-y_1}{2}\right)$ .

Esto se simplifica como $M =\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ . Esta es la Fórmula del Punto Medio:

El punto medio del segmento de recta que conecta los puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ es $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ .

Debe tener sentido que el punto medio de una recta se encuentra sacando los valores promedio de los valores de $x$ e $y-$ en los extremos.

Ejemplo B

Encuentra el punto medio entre los siguientes puntos.

a) (-10, 2) y (3, 5)

b) (3, 6) y (7, 6)

Solución

Apliquemos la Fórmula del Punto Medio: $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$

a) el punto medio de (-10, 2) y (3, 5) es $\left(\frac{-10+3}{2}, \frac{2+5}{2}\right)=\left(\frac{-7}{2}, \frac{7}{2}\right)=\underline{\underline{(-3.5,3.5)}}$

b) el punto medio de (3, 6) y (7, 6) es $\left(\frac{3+7}{2}, \frac{6+6}{2}\right)=\left(\frac{10}{2}, \frac{12}{2}\right)=\underline{\underline{(5,6)}}$

Ejemplo C

Un segmento de recta cuyo punto medio es (2, -6) tiene un extremo en (9, -2). ¿Cuál es el otro extremo?

Solución

En este problema, conocemos el punto medio y estamos buscando el extremo faltante.

El punto medio es (2, -6).

Un extremo es $(x_1, x_2) = (9, -2)$ .

Llamemos al punto faltante $(x, y)$ .

Sabemos que la coordenada $x-$ del punto medio es 2, por lo que: $2=\frac{9+x_2}{2} \Rightarrow 4=9+x_2 \Rightarrow x_2=-5$

Sabemos que la coordenada $y-$ del punto medio es -6, por lo que:

$-6=\frac{-2+y_2}{2} \Rightarrow -12=-2+y_2 \Rightarrow y_2=-10$

El extremo faltante es (-5, -10).

Aquí hay otra forma de abordar el problema: Para llegar desde el extremo (9, -2) al punto medio (2, ‑6), tendríamos que ir 7 unidades a la izquierda y 4 unidades abajo. Entonces, para llegar del punto medio al otro extremo, nuevamente debemos avanzar 7 unidades a la izquierda y 4 unidades abajo, lo que nos lleva a (-5, -10).

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: The Midpoint Formula

Vocabulario

La Fórmula del Punto Medio establece que el punto medio del segmento de recta que conecta los puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ es

$\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ .

Práctica Guiada

Encuentra el punto medio entre los puntos (4, -5) y (-4, 5).

Solución

Apliquemos la Fórmula del Punto Medio: $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$

El punto medio entre (4, -5) y (-4, 5) es $\left(\frac{4-4}{2}, \frac{-5+5}{2}\right)=\left(\frac{0}{2}, \frac{0}{2}\right)=\underline{\underline{(0,0)}}$

Práctica

Encuentra el punto medio del segmento de recta que une los dos puntos.

(3, -4) y (6, 1)
(2, -3) y (2, 4)
(4, -5) y (8, 2)
(1.8, -3.4) y (-0.4, 1.4)
(5, -1) y (-4, 0)
(10, 2) y (2, -4)
(3, -3) y (2, 5)
El extremo de un segmento de recta está en (4, 5) y el punto medio del segmento de recta es (3, -2). Encuentra el otro extremo.
El extremo de un segmento de recta está en (-10, -2) y el punto medio del segmento de recta es (0, 4). Encuentra el otro extremo.
10. Encuentra un punto que esté a la misma distancia del punto (4, 5) como del punto (-2, -1), pero que no sea el punto medio del segmento de recta que los conecta.

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