Modelos de Variación Inversa

En esta sección, aprenderás a graficar ecuaciones de variación inversa. También aprenderás a escribir y resolver dichas ecuaciones para encontrar los valores desconocidos.

Digamos que te pagan $500 por semana sin importar el número de horas que trabajas. Entre más horas trabajas en una semana (cantidad en aumento), menor sería tu tarifa por hora (cantidad en disminución). ¿Cómo podrías escribir y resolver una función para demostrar este caso? Después de terminar esta sección, serás capaz de escribir ecuaciones de variación inversa y resolver problemas de variación inversa como este.

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Foundation: 1201S nverse Variation Models

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Mira esto para ver más problemas de variación resueltos, incluyendo problemas de variación conjunta.

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Mathphonetutor: Algebra: Direct, Inverse, Joint Variation Problem

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Orientación

Muchas variables de problemas cotidianos están relacionadas entre sí por variaciones. Una variación es una ecuación que vincula una variable con una o más variables mediante las operaciones de multiplicación y división. Existen tres tipos de variaciones: variación directa, variación inversa y variación conjunta.

Diferencias entre la variación directa y la variación inversa

En una relación de variación directa las variables relacionadas incrementarán o disminuirán juntas de forma estable. Por ejemplo, imagina una persona caminando a tres millas por hora. A medida que pasa el tiempo, la distancia recorrida por la persona también incrementa a un paso de tres millas por hora. La distancia y el tiempo están relacionados por una variación directa:

$distance = speed \times time$

Dado que la velocidad es de 3 millas por hora todo el camino, podemos escribir: $d = 3t$ .

La ecuación general de una variación directa es $y = kx$ , donde $k$ es la constante de proporcionalidad.

Puedes observar en la ecuación que la variación directa es una ecuación lineal con una intersección $y-$ de cero. El gráfico de la relación de variación directa es una línea recta que pasa a través del origen y cuya pendiente es $k$ , la constante de proporcionalidad.

El segundo tipo de variación es la variación inversa . Cuando dos cantidades están relacionadas inversamente, una cantidad aumenta mientras la otra disminuye y vice versa.

Por ejemplo, si miramos la fórmula $distance = speed \times time$ nuevamente y resolvemos el tiempo, obtenemos:

$time = \frac{distance}{speed}$

Si consideramos la distancia como constante veremos que la velocidad del objeto aumenta, entonces el tiempo que le toma al objeto cubrir dicha distancia disminuye. Piensa en un auto recorriendo una distancia de 90 millas. En ese caso, la fórmula del tiempo y la velocidad es: $t = \frac{90}{s}$ .

La ecuación general de una variación inversa es $y=\frac{k}{x}$ , donde $k$ es la constante de proporcionalidad .

En este capítulo, veremos cómo se comportan los gráficos de estas relaciones.

Otro tipo de variación es la variación conjunta . En este tipo de relación, una variable puede variar como producto de dos o más variables.

Por ejemplo, el volumen de un cilindro es dado por:

$V = \pi R^2 \cdot h$

En este ejemplo, el volumen varía directamente con el producto del cuadrado del radio de la base y la altura del cilindro. La constante de proporcionalidad, en este caso, es el número $\pi$ .

En muchos problemas, la relación entre las variables es una combinación de variaciones. Por ejemplo, la ley de gravitación universal de Newton establece que la fuerza de atracción entre dos cuerpos esféricos varía en conjunto según las masas de los objetos e inversamente según el cuadrado de la distancia entre ellos:

$F = G \frac{m_1 m_2}{d^2}$

En este ejemplo, la constante de proporcionalidad se llama constante gravitacional. Su valor se da por $G = 6.673 \times 10^{-11} \ N \cdot m^2 / kg^2$ .

Graficar ecuaciones de variación inversa

Ya vimos que la ecuación general para las variaciones inversas es dada por la fórmula $y = \frac{k}{x}$ , donde $k$ es una constante de proporcionalidad. Ahora veremos cómo se comportan los gráficos de dichas relaciones. Comenzamos haciendo una tabla de valores. En la mayoría de los casos, $x$ e $y$ son positivos, por lo que en nuestra tabla elegiremos sólo valores positivos para $x$ .

Ejemplo A

Grafica una relación de variación inversa con una constante de proporcionalidad de $k = 1$ .

Solución

$x$	$y =\frac {1}{x}$
0	$y=\frac {1}{0} = \text{undefined}$
$\frac {1}{4}$	$y =\frac {1}{\frac{1}{4}}=4$
$\frac {1}{2}$	$y=\frac {1}{\frac{1}{2}}=2$
$\frac {3}{4}$	$y =\frac {1}{\frac{3}{4}}=1.33$
1	$y =\frac {1}{1}=1$
$\frac {3}{2}$	$y=\frac {1}{\frac{3}{2}}=0.67$
2	$y =\frac {1}{2}=0.5$
3	$y=\frac {1}{3}=0.33$
4	$y =\frac {1}{4}=0.25$
5	$y =\frac {1}{5}=0.2$
10	$y=\frac {1}{10}=0.1$

Aquí hay un gráfico que muestra estos puntos conectados por una curva lisa.

Tanto la tabla como el gráfico muestran la relación entre las variables en una variación inversa. A medida que una variable incrementa, la otra variable disminuye y vice versa.

Nótese que cuando $x = 0$ , el valor de $y$ es indefinido. El gráfico muestra que, cuando un valor de $x$ es muy pequeño, el valor de $y$ es muy alto, por lo que se acerca al infinito a medida que $x$ se acerca más y más a cero.

De la misma manera, a medida que el valor de $x$ se torna muy alto, el valor de $y$ disminuye constantemente pero nunca llega a cero. Analizaremos este comportamiento en detalle a lo largo de este capítulo.

Escritura de ecuaciones de variación inversa

Como vimos, una variación inversa usa la ecuación $y = \frac{k}{x}$ . En general, necesitamos saber el valor de $y$ en un valor particular de $x$ para poder encontrar la constante de proporcionalidad. Una vez que sabemos la constante de proporcionalidad, podemos encontrar el valor de $y$ para cualquier valor dado de $x$ .

Ejemplo B

Si $y$ es inversamente proporcional $x$ , y si $y = 10$ cuando $x = 5$ , encuentra $y$ cuando $x = 2$ .

Solución

$\text{Since} \ y \ \text{is inversely proportional to} \ x, \text{then:} \qquad \qquad \qquad \qquad y =\frac {k}{x}\!\\\\\\\text{Plug in the values} \ y = 10 \ \text{and} \ x = 5: \qquad \qquad \ \qquad \qquad \qquad 10 =\frac {k}{5}\!\\\\\\\text{Solve for} \ k \ \text{by multiplying both sides of the equation by} \ 5: \ \ \ k =50\!\\\\\\\text{The inverse relationship is given by:} \qquad \qquad \qquad \qquad \ \qquad \ \ y =\frac {50}{x}\!\\\\\\\text{When} \ x = 2: \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \qquad \ \ \qquad y=\frac {50}{2} \ \text{or} \ y=25$

Comparación de gráficos de ecuaciones de variación inversa

Los problemas de variación inversa son el ejemplo más simple de las funciones racionales. Ya vimos que una variación inversa usa la ecuación general: $y= \frac{k}{x}$ . En la mayoría de los problemas cotidianos, $x$ e $y$ sólo admiten valores positivos. Más adelante, veremos gráficos de tres funciones de variación inversa.

Ejemplo C

En la misma cuadrícula de coordenadas, grafica una relación de variación inversa con las constantes de proporcionalidad de $k = 1, k = 2,$ y $k = \frac{1}{2}$ .

Solución

Nos saltaremos la tabla de valores para este problema y solo veremos los gráficos de las tres funciones en los mismos ejes coordenados. Nótese que, para las constantes de proporcionalidad más grandes, la curva disminuye más lentamente que en el caso de las constantes de proporcionalidad más pequeñas. Esto es lógico, ya que el valor de $y$ está relacionado directamente con las constantes de proporcionalidad, por lo que debemos esperar valores más grandes para $y$ entre más grandes sean los valores de $k$ .

Mira esto si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Inverse Variation Models

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Vocabulario

La ecuación general para una variación directa es $y = kx$ , donde $k$ es denominada la constante de proporcionalidad.

La ecuación general para la variación inversa es $y= \frac{k}{x}$ , donde $k$ es una constante de proporcionalidad .

Práctica guiada

Si $p$ es inversamente proporcional al cuadrado de $q$ , y $p = 64$ cuando $q = 3$ , encuentra $p$ cuando $q = 5$ .

Solución

$\text{Since} \ p \ \text{is inversely proportional to} \ q^2, \text{then:} \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ p =\frac {k}{q^2}\!\\\\\\\text{Plug in the values} \ p = 64 \ \text{and} \ q = 3: \qquad \qquad \quad \qquad \qquad \qquad \ \ 64 =\frac {k}{3^2} \ \text{or} \ 64=\frac {k}{9}\!\\\\\\\text{Solve for} \ k \ \text{by multiplying both sides of the equation by} \ 9: \qquad \ k =576\!\\\\\\\text{The inverse relationship is given by:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ p =\frac {576}{q^2}\!\\\\\\\text{When} \ q = 5: \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \qquad p =\frac {576}{25} \ \text{or} \ y=23.04$

Práctica

Para los ejercicios 1 a 4, gráfica las siguientes relaciones de variación inversa.

$y= \frac{3}{x}$
$y= \frac{10}{x}$
$y= \frac{1}{4x}$
$y= \frac{5}{6x}$
Si $z$ es inversamente proporcional a $w$ y $z = 81$ cuando $w = 9$ , encuentra $w$ cuando $z = 24$ .
Si $y$ es inversamente proporcional a $x$ y $y = 2$ cuando $x = 8$ , encuentra $y$ cuando $x = 12$ .
Si $a$ es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de $b$ , y $a = 32$ cuando $b = 9$ , encuentra $b$ cuando $a = 6$ .
Si $w$ es inversamente proporcional al cuadrado de $u$ y $w = 4$ cuando $u = 2$ , encuentra $w$ cuando $u = 8$ .
Si $a$ es inversamente proporcional tanto a $b$ como $c$ y $a = 7$ cuando $b = 2$ y $c = 6$ , encuentra $a$ cuando $b = 4$ y $c = 3$ .
Si $x$ es proporcional a $y$ e inversamente proporcional a $z$ , y $x = 2$ cuando $y = 10$ y $z = 25$ , encuentra $x$ cuando $y = 8$ y $z = 35$ .
Si $a$ varía directamente con $b$ e inversamente con el cuadrado de $c$ , y $a = 10$ cuando $b = 5$ y $c = 2$ , encuentra el valor de $a$ cuando $b = 3$ y $c = 6$ .
Si $x$ varía directamente con $y$ y $z$ varía inversamente con $x$ , y $z = 3$ cuando $y = 5$ , encuentra $z$ cuando $y = 10$ .

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