Gráficos de Funciones Racionales
En esta sección, aprenderás a graficar funciones racionales y encontrar sus asíntotas.
Digamos que tienes una función como
¿Cómo la graficarías y encontrarías sus asíntotas? Después de terminar esta sección serás capaz de graficar funciones racionales como esta.
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CK-12 Foundation: 1202S RGraphs of Rational Functions
*Este video solo está disponible en inglés
Orientación
Los gráficos de las funciones racionales son bastante particulares, porque se acercan más y más a ciertos valores, pero nunca los alcanzan; este comportamiento se denomina asintótico. Veremos que las funciones racionales pueden tener asíntotas horizontales, asíntotas verticales o asíntotas (o inclinación) oblicuas.
Ahora extenderemos el dominio y el rango de las ecuaciones racionales para incluir valores negativos de
y
. Primero, trazaremos algunas funciones racionales usando una tabla de valores y, luego, veremos las características distintivas de las funciones racionales que nos pueden ayudar a realizar mejores gráficos.
Cuando graficamos funciones racionales, necesitamos prestar atención a los valores de
que causarán que dividamos por 0. Recuerda que la división por 0 no nos da un número verdadero como resultado.
Ejemplo A
Grafica la función
.
Solución
Antes de que hagamos la tabla de valores, debemos notar que la función
. no está definida. Esto significa que el gráfico de la función no tendrá valor en ese punto. Ya que el valor de
es especial, debemos asegurarnos de elegir valores lo suficientemente cercanos a
para tener una idea certera de cómo se comportan los gráficos.
Hagamos dos tablas: una para los valores de
menores a cero y uno para los valores de
mayores a cero.
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|---|---|---|---|
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0.1 |
|
| -4 |
|
0.2 |
|
| -3 |
|
0.3 |
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| -2 |
|
0.4 |
|
| -1 |
|
0.5 |
|
| -0.5 |
|
1 |
|
| -0.4 |
|
2 |
|
| -0.3 |
|
3 |
|
| -0.2 |
|
4 |
|
| -0.1 |
|
5 |
|
Podemos ver que, a medida que escogemos valores positivos para
más cercanos a cero,
se hace cada vez mayor y, cuando escogemos valores negativos para
más cercanos a cero,
se hace menor (o más y más negativo).
Nótese en el gráfico que para los valores de
cercanos a 0, los puntos del gráfico se acercan cada vez más a la línea vertical
. La línea
se denomina
asíntota vertical
de la función
.
Nótese además que, a medida que los valores absolutos de
se hacen más grandes en dirección positiva o negativa, el valor de
se acerca más y más a
pero nunca llegará a ese valor. Ya que
, vemos que no hay valores de
que nos den el valor
. La línea horizontal
se denomina
asíntota horizontal
de la función
Las asíntotas generalmente se marcan como rayas en los ejes del gráfico. No son parte de la función; en vez de serlo, muestran valores a los que la función se acerca, pero que nunca alcanza. Una asíntota horizontal muestra el valor de
al que la función se acerca (pero nunca alcanza) a medida que el valor absoluto de
se hace cada vez más grande. Una asíntota vertical muestra que el valor absoluto de
se hace cada vez más grande a medida que
se acerca a un cierto valor que nunca puede alcanzar realmente.
Ahora veamos el gráfico de una función racional que tiene una asíntota vertical en un valor de
.
Ejemplo B
Grafica la función
.
Solución
Vemos que la función no está determinada por
, ya que eso haría que el denominador de la fracción sea igual a cero. Esto nos señala que debería haber una asíntota vertical en
, por lo que podemos empezar a graficar la función dibujando la asíntota vertical.
Ahora hagamos la tabla de valores.
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|---|---|
| 0 |
|
| 1 |
|
| 1.5 |
|
| 2 |
|
| 2.5 |
|
| 3 |
|
| 4 |
|
Este es el gráfico:
Nótese que, esta vez, no usamos muchos valores de la tabla porque a estas alturas ya tenemos una idea de lo que pasa cerca de la asíntota vertical.
También sabemos que, para los valores altos de
, el valor de
podría acercarse a un valor constante. En este caso, dicho valor es
: Esta es la asíntota horizontal.
Una función racional no tiene que tener necesariamente una asíntota vertical u horizontal. El siguiente ejemplo muestra una función racional sin asíntotas verticales.
Ejemplo C
Grafica la función
.
Solución
Vemos que esta función no tendrá asíntotas verticales porque el denominador de la fracción nunca será cero. Hagamos la tabla de valores para ver si el valor de
se acerca a un valor en particular cuando los valores de
, son altos, tanto positivos como negativos.
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|---|---|
|
|
| -2 |
|
| -1 |
|
| 0 |
|
| 1 |
|
| 2 |
|
| 3 |
|
A continuación, está el gráfico de esta función.
La función no tiene asíntota vertical. Sin embargo, vemos que a medida que los valores de
se hacen más altos, el valor de
se acerca cada vez más a 1, por lo que la función tiene una asíntota horizontal de
.
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CK-12 Foundation: Graphs of Rational Functions
*Este video solo está disponible en inglés
Vocabulario
- Los gráficos de las funciones racionales son bastante particulares, porque se acercan más y más a ciertos valores, pero nunca los alcanzan. Este comportamiento se llama asintótico y veremos que las funciones racionales pueden tener asíntotas horizontales, asíntotas verticales o asíntotas (o inclinación) oblicuas.
Práctica guiada
Grafica la función
.
Solución
Comienza haciendo una tabla de valores:
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|---|---|
|
|
| -1 |
|
| 0 |
|
| 1 | indefinido |
| 2 |
|
| 3 |
|
| 4 |
|
Ahora grafica los puntos. Recuerda que la función
tiene dos curvas que se encuentran en cualquiera de los lados de la asíntota vertical, que es donde la función es indefinida. Lo anterior también es verdadero para esta función.
Práctica
Grafica las siguientes funciones racionales. Dibuja rayas verticales y horizontales en las líneas del gráfico para señalar las asíntotas.
