Asíntotas Verticales y Horizontales

En esta sección aprenderás a encontrar las asíntotas horizontales y verticales de las ecuaciones con radicales.

Digamos que tienes una función como $y= \frac {x^2}{2x^2 - 1}$ ¿Cómo encontrarías las asíntotas verticales y horizontales? Después de terminar esta sección, serás capaz de encontrar asíntotas de las funciones racionales como esta.

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Para saber más de los gráficos de las funciones racionales, prueba los applets disponibles en http://www.analyzemath.com/rational/rational1.html .

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CK-12 Foundation: 1203S Horizontal and Vertical Asymptotes

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Orientación

Ya vimos que una asíntota horizontal es el valor de $y$ al que la función se acerca con los valores altos de $|x|$ . Cuando usamos valores altos de $x$ en nuestra función, las potencias más altas de $x$ aumentan mucho más rápidamente que las potencias menores de $x$ . Por ejemplo, considera:

$y = \frac{2x^2 + x - 1}{3x^2 - 4x + 3}$

Si usamos un valor grande de $x$ , por ejemplo $x = 100$ , obtenemos:

$y = \frac{2(100)^2 + (100) - 1}{3(100)^2 - 4(100) + 3} = \frac{20000 + 100 - 1}{30000 - 400 + 2}$

Vemos que los términos del comienzo en el numerador y el denominador son mucho mayores que los otros términos de cada expresión. Una forma de encontrar la asíntota horizontal de una función racional es ignorar todos los términos del numerador y denominador, excepto las potencias más altas.

En este ejemplo, la asíntota horizontal es $y = \frac{2x^2}{3x^2}$ , que se puede simplificar a $y = \frac{2}{3}$ .

En la función anterior, la potencia más alta de $x$ era la misma tanto en el numerador como en el denominador. Ahora piensa en una función en la cual la potencia del numerador es inferior a la potencia en el denominador:

$y = \frac{x}{x^2 + 3}$

Al igual que antes, ignoramos todos los términos excepto la potencia más alta de $x$ en el numerador y el denominador. Esto nos da $y = \frac{x}{x^2}$ , que se puede simplificar a $y = \frac{1}{x}$ .

Para los valores altos de $x$ , el valor de $y$ se acerca más y más a cero. Por lo tanto, la asíntota horizontal es $y = 0$ .

Para resumir:

Encuentra las asíntotas verticales igualando el denominador a cero y resuelve $x$ .
Para las asíntotas horizontales debemos pensar en varios casos:
- Si la potencia más alta de $x$ en el numerador es menor que la potencia más alta de $x$ en el denominador, entonces la asíntota horizontal está en $y = 0$ .
- Si la potencia más alta de $x$ en el numerador es igual a la potencia más alta de $x$ en el denominador, entonces la asíntota horizontal está en $y = \frac{coefficient \ of \ highest \ power \ of \ x}{coefficient \ of \ highest \ power \ of \ x}$ .
- Si la potencia más alta de $x$ en el numerador es mayor que la potencia más alta de $x$ en el denominador, entonces podemos observar lo que llamamos una asíntota oblicua, o simplemente ninguna asíntota.

Ejemplo A

Encuentra la asíntota vertical y horizontal de $y = \frac {1}{x-1}$ .

Solución

Asíntotas verticales:

Iguala el denominador a cero. $x-1=0\Rightarrow x=1$ es la asíntota vertical.

Asíntota horizontal:

Conserva solo las potencias más altas de $x$ . $y=\frac {1}{x}\Rightarrow y=0$ es la asíntota horizontal.

Ejemplo B

Encuentra la asíntota vertical y horizontal de $y= \frac {3x}{4x+2}$ .

Solución

Asíntotas verticales:

Iguala el denominador a cero. $4x+2=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$ es la asíntota vertical.

Asíntota horizontal:

Conserva solo las potencias más altas de $x$ . $y=\frac {3x}{4x}\Rightarrow y=\frac{3}{4}$ es la asíntota horizontal.

Ejemplo C

Encuentra la asíntota vertical y horizontal de $y=\frac {x^3}{x^2-3x+2}$ .

Solución

Asíntotas verticales:

Iguala el denominador a cero: $x^2 - 3x + 2 =0$

Factoriza: $(x - 2)(x - 1) = 0$

Resuelve: $x = 2$ y $x = 1$ son las asíntotas verticales.

Asíntota horizontal. No hay asíntota horizontal porque la potencia del numerador es más alta que la potencia del denominador.

Nótese que la función en la parte d tiene más de una asíntota vertical. Aquí hay otra función con dos asíntotas verticales.

Ejemplo D

Grafica la función $y = \frac{-x^2}{x^2 - 4}$ .

Solución

$\text{Let's set the denominator equal to zero:} \qquad x^2 - 4 = 0\!\\\\\\\text{Factor:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (x - 2)(x + 2) = 0\!\\\\\\\text{Solve:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ x = 2, x = -2$

Encontramos que la función no está definida para $x = 2$ y $x = -2$ , por lo que sabemos que hay asíntotas verticales junto a esos valores de $x$ .

También podemos encontrar la asíntota horizontal con el método detallado anteriormente. Está en $y = \frac{-x^2}{x^2}$ , o $y = -1$ .

Por tanto, comenzamos a graficar la función dibujando las asíntotas verticales y horizontales en el gráfico.

Ahora hagamos la tabla de valores. Debido a que nuestra función tiene muchos detalles, debemos asegurarnos de que escogemos suficientes valores de nuestra tabla para determinar el comportamiento de la función de manera correcta. Debemos asegurarnos especialmente de escoger valores cercanos a las asíntotas verticales.

$x$	$y = \frac {-x^2}{x^2-4}$
$-5$	$y = \frac {-(-5)^2}{(-5)^2-4} = \frac {-25}{21} = -1.19$
-4	$y = \frac {-(-4)^2}{(-4)^2-4} = \frac {-16}{12} = -1.33$
-3	$y = \frac {-(-3)^2}{(-3)^2-4} = \frac {-9}{5} = -1.8$
-2.5	$y = \frac {-(-2.5)^2}{(-2.5)^2-4} = \frac {-6.25}{2.25} = -2.8$
-1.5	$y = \frac {-(-1.5)^2}{(-1.5)^2-4} = \frac {-2.25}{-1.75} = 1.3$
-1	$y = \frac {-(-1)^2}{(-1)^2-4} = \frac {-1}{-3} = 0.33$
0	$y = \frac {-0^2}{(0)^2-4} = \frac {0}{-4} = 0$
1	$y= \frac {-1^2}{(1)^2-4} = \frac {-1}{-3} = 0.33$
1.5	$y = \frac {-1.5^2}{(1.5)^2-4} = \frac {-2.25}{-1.75} = 1.3$
2.5	$y = \frac {-2.5^2}{(2.5)^2-4} = \frac {-6.25}{2.25} = -2.8$
3	$y = \frac {-3^2}{(3)^2-4} = \frac {-9}{5} = -1.8$
4	$y = \frac {-4^2}{(4)^2-4} = \frac {-16}{12} = -1.33$
5	$y = \frac {-5^2}{(5)^2-4} = \frac {-25}{21} = -1.19$

Este es el gráfico.

Mira esto si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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Vocabulario

• Los gráficos de las funciones racionales son bastante particulares, porque se acercan más y más a ciertos valores, pero nunca los alcanzan. Este comportamiento se llama asintótico y veremos que las funciones racionales pueden tener asíntotas horizontales, asíntotas verticales o asíntotas (o inclinación) oblicuas.

Práctica guiada

Encuentra la asíntota vertical y horizontal de $y=\frac {x^2-2}{2x^2+3}$ .

Solución

Asíntotas verticales:

Iguala el denominador a cero: $2x^2+3 = 0 \Rightarrow 2x^2 = -3 \Rightarrow x^2 = -\frac{3}{2}$ . Ya que no hay soluciones para esta ecuación, la asíntota vertical no existe.

Asíntota horizontal:

Conserva solo las potencias más altas de $x$ . $y=\frac {x^2}{2x^2} \Rightarrow y= \frac {1}{2}$ es la asíntota horizontal.

Práctica

Encuentra todas las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones racionales.

$y=\frac {4}{x+2}$
$y=\frac {5x-1}{2x-6}$
$y=\frac {10}{x}$
$y=\frac {2}{x}-5$
$y=\frac {x + 1}{x^2}$
$y=\frac {4x^2}{4x^2+1}$
$y=\frac {2x}{x^2-9}$
$y=\frac {3x^2}{x^2-4}$
$y=\frac {1}{x^2+4x+3}$
$y=\frac {2x+5}{x^2-2x-8}$

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