Determinación de Asíntotas Mediante División

En esta sección, aprenderás a resolver problemas de circuitería y otros problemas cotidianos que necesitan el uso de variaciones inversas y funciones racionales.

Digamos que tienes un circuito con una corriente de 2 amperios y dos resistencias en paralelo de 10 y 20 ohms respectivamente. ¿Cómo puedes saber el voltaje del circuito? Después de terminar esta sección, serás capaz de resolver problemas cotidianos como este utilizando las funciones racionales.

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CK-12 Foundation: 1204S Solve Applications Using Rational Functions

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Orientación

Veremos algunos problemas que están determinados por funciones racionales. Nuestro primer ejemplo está modelado por variación inversa, que son un tipo especial de función racional. Muchas fórmulas en el campo de la física utilizan la variación inversa.

Ejemplo A

La frecuencia, $f$ , del sonido varía inversamente con la longitud de onda, $\lambda$ . Una señal de sonido tiene una longitud de onda de 34 metros y una frecuencia de 10 hertz. ¿Qué frecuencia tiene una señal de sonido de 120 metros?

Solución

$\text{The inverse variation relationship is:} \qquad \qquad \ f =\frac {k}{\lambda}\!\\\\\\\text{Plug in the values:} \ \lambda = 34 \ \text{and} \ f = 10: \qquad \quad 10=\frac {k}{34}\!\\\\\\\text{Multiply both sides by} \ 34: \qquad \quad \qquad \qquad \quad \ k=340\!\\\\\\\text{Thus, the relationship is given by:} \qquad \quad \qquad \ f=\frac {340}{\lambda}\!\\\\\\\text{Plug in} \ \lambda = 120 \ \text{meters:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad f=\frac {340}{120} \Rightarrow f=2.83 \ \text{Hertz}$

Los circuitos electrónicos son muy comunes en la vida diaria: por ejemplo, están presentes en todos los electrodomésticos de tu hogar. La imagen a continuación es un ejemplo de un circuito electrónico simple. Consta de una batería que provee voltaje ( $V$ , medido en voltios, $V$ ), un resistor ( $R$ , medido en ohms, $\Omega$ ) el cual resiste el flujo de electricidad y un amperímetro que mide la corriente ( $I$ , medido en amperes, $A$ ) del circuito.

La ley de Ohm nos da la relación entre la corriente, el voltaje y la resistencia. La ley señala que

$I = \frac{V}{R}$

Tus ampolletas, tu tostadora y tu secador de pelo son básicamente resistores simples. Adicionalmente, los resistores se usan en los circuitos electrónicos para controlar el flujo de corriente que pasa a través de un circuito y para regular los niveles de voltaje. Una razón importante para regular los voltajes es proteger los componentes eléctricos delicados para que no se quemen debido a una corriente muy alta o un nivel de voltaje muy alto. Los resistores pueden ubicarse en serie o en paralelo.

Para los resistores ubicados en serie:

la resistencia total es la suma de las resistencias de los resistores individuales:

$R_{tot} = R_1 + R_2$

Para los resistores ubicados en paralelo:

el recíproco de la resistencia total es la suma de los recíprocos de las resistencias por separado:

$\frac{1}{R_c} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

Ejemplo B

Encuentra la cantidad representada por $x$ en el siguiente circuito.

Solución

$\text{We use the formula} \ I = \frac{V}{R}.\!\\\\\\\text{Plug in the known values:} I = 2 \ A, V = 12 \ V: \qquad \qquad 2 = \frac{12}{R}\!\\\\\\\text{Multiply both sides by} \ R: \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 2R = 12\!\\\\\\\text{Divide both sides by}\ 2: \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad R = 6 \Omega \quad \mathbf{Answer}$

Ejemplo C

Encuentra la cantidad representada por en el siguiente circuito $x$ in the following circuit.

Solución

$\text{Ohm's Law also tells us that} \ I_{total} = \frac{V_{total}}{R_{total}}\!\\\\\\\text{Plug in the values we know}, I = 2.5 \ A \ \text{and}\ E = 9 \ V: \quad \qquad \qquad \qquad \ 2.5 = \frac{9}{R_{tot}}\!\\\\\\\text{Multiply both sides by}\ R: \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad 2.5R_{tot} = 9\!\\\\\\\text{Divide both sides by}\ 2.5: \ \ \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad R_{tot} = 3.6 \Omega\!\\\\\\\text{Since the resistors are placed in parallel, the total resistance is given by:}\ \frac{1}{R_{tot}} = \frac{1}{X} + \frac{1}{20}\!\\\\\\{\;} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Rightarrow \frac{1}{3.6} = \frac{1}{X} + \frac{1}{20}\!\\\\\\\text{Multiply all terms by} \ 72X: \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \frac{1}{3.6}(72X) = \frac{1}{X}(72X) + \frac{1}{20}(72X)\!\\\\\\\text{Cancel common factors:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ 20X = 72 + 3.6X\!\\\\\\\text{Solve:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ 16.4X = 72\!\\\\\\\text{Divide both sides by}\ 16.4: \ \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad X = 4.39 \Omega \quad \mathbf{Answer}$

Mira esto si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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Vocabulario

La ley de Ohm señala la relación entre la corriente, el voltaje y la resistencia. La ley señala que

$I = \frac{V}{R}$

Para los resistores en serie:

La resistencia total es la suma de las resistencias de los resistores individuales:

$R_{tot} = R_1 + R_2$

Para los resistores en paralelo:

El recíproco de la resistencia total es la suma de los recíprocos de los resistores individuales:

$\frac{1}{R_c} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

Práctica guiada

La fuerza electroestática es la fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas. La fuerza electroestática está dada por la fórmula $F = \frac{Kq_1 q_2}{d^2},$ donde $q_1$ y $q_2$ son las cargas de las partículas cargadas, $d$ es la distancia entre las cargas y $k$ es la constante de proporcionalidad. Las cargas no cambian, por lo que son constantes. Esto significa que podemos combinarlas con la otra constante $k$ para formar una nueva constante $K$ , así podemos escribir la ecuación como $F = \frac{K}{d^2}$ .

Si la fuerza electroestática es de $F = 740$ Newtons cuando la distancia entre cargas es $5.3 \times 10^{-11}$ metros, ¿Qué valor tiene $F$ cuando $d = 2.0 \times 10^{-10}$ metros?

Solución

$\text{The inverse variation relationship is:} \qquad \qquad \qquad \qquad F=\frac {K}{d^2}\!\\\\\\\text{Plug in the values} \ F = 740 \ \text{and} \ d = 5.3\times10^{-11}: \qquad \quad 740=\frac {K}{\left ( {5.3\ \times \ 10^{-11}} \right )^2}\!\\\\\\\text{Multiply both sides by} \ (5.3\times10^{-11})^2: \qquad \qquad \qquad \quad \ K=740 \left ( {5.3\times 10^{-11}} \right )^2\!\\\\\\{\;} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad K = 2.08\times 10^{-18}\!\\\\\\\text{The electrostatic force is given by:} \qquad \qquad \qquad \quad \qquad F=\frac {2.08\ \times \ 10^{-18}}{d^2}\!\\\\\\\text{When} \ d = 2.0 \times 10^{-10}: \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \ \ F=\frac {2.08\ \times \ 10^{-18}}{\left ( 2.0 \ \times \ 10^{-10} \right )^2}\!\\\\\\\text{Use scientific notation to simplify:} \qquad \qquad \qquad \qquad \quad F=52 \ \text{Newtons}$

Práctica

Para los ejercicios 1 a 4, encuentra la cantidad representada por $x$ en cada uno de los siguientes circuitos.

Para los ejercicios 5 a 7, la intensidad de la luz es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre la fuente de luz y el objeto que está siendo iluminado.

Un exposímetro que se encuentra a 10 metros de la fuente de luz registra 35 unidades lux. ¿Qué intensidad registraría si estuviera a 25 metros de la fuente de luz?
Un exposímetro que registra 40 unidades lux se traslada dos veces más lejos de la fuente de luz que lo ilumina. ¿Qué intensidad registra ahora? (Pista: Deja $x$ como la distancia original de la fuente de luz.)
El mismo exposímetro se traslada dos veces más lejos nuevamente (ahora está cuatro veces más distante de la fuente de luz en comparación a su lugar inicial). ¿Qué intensidad registra ahora?

La ley de Ohm indica que la corriente que fluye en un cable es inversamente proporcional a la resistencia del cable. Si la corriente es de 2,5 amperes cuando la resistencia es 20 ohms, encuentra la resistencia cuando la corriente es de 5 amperes.

Para los ejercicios 9 y 10, el volumen de un gas varía directamente con su temperatura e inversamente con su presión. A 273 grados Kelvin y a una presión de 2 atmósferas, el volumen de un cierto gas es 24 litros.

Encuentra el volumen del gas cuando la temperatura es 220 grados Kelvin y la presión es de 1,2 atmósferas.
Encuentra la temperatura cuando el volumen es 24 litros y la presión es de 3 atmósferas.

Para los ejercicios 11 a 13, el volumen de una pirámide cuadrada varía en conjunto con la altura y el cuadrado de la longitud lateral de la base. Una pirámide de 4 pulgadas de altura y cuya base tiene una longitud lateral de 3 pulgadas tiene un volumen de $12 \ in^3$ .

Encuentra el volumen de una pirámide cuadrada que tiene de 9 pulgadas de altura y cuya base tiene una longitud lateral de 5 pulgadas.
Encuentra la altura de una pirámide cuadrada que tiene un volumen de $49 \ in^3$ y cuya base tiene una longitud lateral de 7 pulgadas.
Una pirámide cuadrada tiene un volumen de $72 \ in^3$ y su base tiene una longitud lateral igual a su altura. Encuentra la altura de la pirámide.

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