División de Polinomios

En esta sección, aprenderás a dividir polinomios por monomios y binomios.

Digamos que tienes un polinomio como $2x^2 + 5x - 3$ y quieres dividirlo por un monomio como $x$ o por un binomio como $x + 1$ ¿Cómo lo harías? Después de terminar esta sección, serás capaz de dividir polinomios como este por monomios y binomios.

Prueba esto

Para comprobar tus respuestas a los problemas largos de división que usan polinomios, prueba el solucionador en http://calc101.com/webMathematica/long-divide.jsp . La página muestra todos pasos de una división larga para que puedas ver si cometiste un error.

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CK-12 Foundation: 1205S Division of Polynomials

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Orientación

Una expresión racional se forma con el cociente de dos polinomios.

Algunos ejemplos de expresiones racionales son:

$\frac{2x}{x^2-1} \qquad \frac{4x^2-3x+4}{2x} \qquad \frac{9x^2+4x-5}{x^2+5x-1} \qquad \frac{2x^3}{2x+3}$

Al igual que con los números racionales, la expresión en la parte superior se denomina numerador y la expresión en la parte inferior denominador . En algunos casos especiales, podemos simplificar una expresión racional dividendo el numerador por el denominador.

División de un polinomio por un monomio

Comenzaremos dividiendo un polinomio por un monomio. Para hacerlo, necesitamos dividir cada término del polinomio por el monomio. Cuando el numerador tiene más de un término, el monomio de la parte inferior de la fracción nos sirve como el denominador común de todos los términos del numerador.

Ejemplo A

Divide .

a) $\frac{8x^2-4x+16}{2}$

b) $\frac{3x^2+6x-1}{x}$

c) $\frac{-3x^2-18x+6}{9x}$

Solución

a) $\frac{8x^2-4x+16}{2}=\frac{8x^2}{2}-\frac{4x}{2}+\frac{16}{2}=4x^2-2x+8$

b) $\frac{3x^3+6x-1}{x} = \frac{3x^3}{x}+\frac{6x}{x}-\frac{1}{x}=3x^2+6-\frac{1}{x}$

c) $\frac{-3x^2-18x+6}{9x}=-\frac{3x^2}{9x}-\frac{18x}{9x}+\frac{6}{9x}=-\frac{x}{3}-2+\frac{2}{3x}$

Un error común es anular el denominador con un solo término del numerador.

Considera el cociente $\frac{3x+4}{4}$ .

Recuerda que el denominador de 4 es compartido por los dos términos del numerador. En otras palabras, estamos dividendo ambos términos del numerador por el número 4.

La forma correcta de simplificarlo es:

$\frac{3x+4}{4}=\frac{3x}{4}+\frac{4}{4}=\frac{3x}{4}+1$

Un error común es eliminar el número 4 del numerador y el denominador, dejando solo $3x$ . Esto es incorrecto ya que el numerador completo tiene que ser divido por 4.

Ejemplo B

Divide $\frac{5x^3-10x^2+x-25}{-5x^2}$ .

Solución

$\frac{5x^3-10x^2+x-25}{-5x^2}=\frac{5x^3}{-5x^2}-\frac{10x^2}{-5x^2}+\frac{x}{-5x^2}-\frac{25}{-5x^2}$

El signo negativo en el denominador cambia todos los signos de las fracciones:

$-\frac{5x^3}{5x^2}+\frac{10x^2}{5x^2}-\frac{x}{5x^2}+\frac{25}{5x^2}=-x+2-\frac{1}{5x}+\frac{5}{x^2}$

División de un polinomio por un binomio

Dividimos los polinomios usando un método que tiene mucho en común con la división larga de números. Explicaremos el método mediante un ejemplo.

Ejemplo C

Divide $\frac{x^2+4x+5}{x+3}$ .

Solución

Cuando realizamos la división, la expresión en el numerador se denomina el dividendo y la expresión en el denominador se denomina divisor .

Para comenzar la división, reescribimos el problema de la siguiente forma:

$& {x+3 \overline{ ) x^2+4x+5 }}$

Comenzamos dividiendo el primer término del dividendo por el primer término del divisor: $\frac{x^2}{x}=x$ .

Ponemos la respuesta en la línea sobre el término $x$ :

$& \overset{\qquad x}{x+3 \overline{ ) x^2+4x+5 \;}}$

Luego, multiplicamos el término $x$ en la respuesta por el divisor, $x + 3$ , y ubicamos el resultado bajo el dividendo, agrupando los términos similares. $x$ multiplicado por $(x + 3)$ es $x^2+3x$ , por lo que lo ubicamos bajo el diviso:

$& \overset{\qquad x}{x+3 \overline{ ) x^2+4x+5 \;}}\\\& \qquad \ \ x^2 + 3x$

Ahora restamos $x^2+3x$ de $x^2+4x+5$ . Es muy útil cambiar los signos de los términos $x^2+3x$ a $-x^2-3x$ y sumar los términos similares verticalmente:

$& \overset{\qquad x}{x+3 \overline{ ) x^2+4x+5 \;}}\\\& \qquad \underline{-x^2 - 3x}\\\& \qquad \qquad \quad \ x$

Ahora bajamos el 5, el siguiente término en el dividendo.

$& \overset{\qquad x}{x+3 \overline{ ) x^2+4x+5 \;}}\\\& \qquad \underline{-x^2 - 3x\;\;\;\;\;\;}\\\& \qquad \qquad \quad \ x + 5$

Luego hacemos el procedimiento una vez más. Primero, dividimos el primer término de $x + 5$ por el primer término del divisor. $x$ dividido por $x$ es 1, por lo que ubicamos esta respuesta en la línea que está sobre el término constante del dividendo:

$& \overset{\qquad \qquad \quad x \ + \ 1}{x+3 \overline{ ) x^2+4x+5 \;}}\\\& \qquad \underline{-x^2 - 3x\;\;\;\;\;\;}\\\& \qquad \qquad \quad \ x + 5$

Multiplica 1 por el divisor, $x + 3$ , y escribe la respuesta bajo $x + 5$ , agrupando los términos similares.

$& \overset{\qquad \qquad \quad x \ + \ 1}{x+3 \overline{ ) x^2+4x+5 \;}}\\\& \qquad \underline{-x^2 - 3x\;\;\;\;\;\;}\\\& \qquad \qquad \quad \ x + 5\\& \qquad \qquad \quad \ x + 3$

Resta $x + 3$ de $x + 5$ cambiando los signos de $x + 3$ a $-x -3$ y sumando los términos similares:

$& \overset{\qquad \qquad \quad x \ + \ 1}{x+3 \overline{ ) x^2+4x+5 \;}}\\\& \qquad \underline{-x^2 - 3x\;\;\;\;\;\;}\\\& \qquad \qquad \quad \ x + 5\\& \qquad \qquad \ \ \underline{-x - 3}\\& \qquad \qquad \qquad \quad 2$

Ya que no hay más términos del dividendo para bajar, hemos finalizado la tarea. El cociente es $x + 1$ y el restante 2.

Recuerda que para las divisiones con restante la respuesta es $\text{quotient}+\frac{\text{remainder}}{\text{divisor}}$ . Por lo tanto, la respuesta a este problema de división es $\frac{x^2+4x+5}{x+3}=x+1+\frac{2}{x+3}$ .

Revisión

Para revisar la respuesta de un problema de división larga nos basamos en

$(\text{divisor} \times \text{quotient}) + \text{remainder} = \text{dividend}$

Para el problema anterior, revisaremos de la siguiente forma:

$(x+3)(x+1)+2 & = x^2+4x+3+2\\\& = x^2+4x+5$

La respuesta es correcta.

Mira esto si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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Vocabulario

Una expresión racional se forma con el cociente de dos polinomios.

Práctica guiada

Divide $\frac{x^2+8x+17}{x+4}$ .

Solución

Cuando realizamos la división, la expresión en el numerador se denomina dividendo y la expresión en el denominador se denomina divisor .

Para comenzar la división, reescribimos el problema de la siguiente forma:

$& {x+4 \overline{ ) x^2+8x+17 }}$

Comenzamos dividiendo el primer término del dividendo por el primer término del divisor: $\frac{x^2}{x}=x$ .

Ponemos nuestra respuesta sobre la línea por encima del término $x$ :

$& \overset{\qquad x}{x+4 \overline{ ) x^2+8x+17 \;}}$

Luego, multiplicamos el término $x$ en la respuesta por el divisor, $x + 4$ , y ubicamos el resultado bajo el dividendo, agrupando los términos similares. $x$ multiplicado por $(x + 4)$ es $x^2+4x$ , por lo que lo ubicamos bajo el divisor:

$& \overset{\qquad x}{x+4 \overline{ ) x^2+8x+17\;}}\\\& \qquad \ \ x^2 + 4x$

Ahora restamos $x^2+4x$ de $x^2+8x+17$ . Es muy útil cambiar los signos de los términos de $x^2+4x$ a $-x^2-4x$ y sumar los términos similares verticalmente:

$& \overset{\qquad x}{x+4 \overline{ ) x^2+8x+17 \;}}\\\& \qquad \underline{-x^2 - 4x}\\\& \qquad \qquad \quad \ 4x$

Ahora bajamos el 17, el siguiente término en el dividendo.

$& \overset{\qquad x}{x+4 \overline{ ) x^2+8x+17 \;}}\\\& \qquad \underline{-x^2 - 4x\;\;\;\;\;\;}\\\& \qquad \qquad \quad \ 4x + 17$

Luego hacemos el procedimiento una vez más. Primero, dividimos el primer término de $4x + 17$ por el primer término del divisor. $4x$ dividido por $x$ es 4, por lo que ubicamos esta respuesta en la línea que está sobre el término constante del dividendo:

$& \overset{\qquad \qquad \quad x \ + \ 4}{x+4 \overline{ ) x^2+8x+17 \;}}\\\& \qquad \underline{-x^2 - 4x\;\;\;\;\;\;}\\\& \qquad \qquad \quad \ x + 17$

Multiplica 4 por el divisor, $x + 4$ , y escribe la respuesta bajo $4x + 16$ , agrupando los términos similares.

$& \overset{\qquad \qquad \quad x \ + \ 4}{x+4 \overline{ ) x^2+8x+17 \;}}\\\& \qquad \underline{-x^2 - 4x\;\;\;\;\;\;}\\\& \qquad \qquad \quad \ 4x + 17\\\& \qquad \qquad \quad \ 4x + 16$

Resta $4x + 16$ de $4x + 17$ cambiando los signos de $4x + 16$ a $-4x -16$ y sumando los términos similares:

$& \overset{\qquad \qquad \quad x \ + \ 4}{x+4 \overline{ ) x^2+8x+17 \;}}\\\& \qquad \underline{-x^2 - 4x\;\;\;\;\;\;}\\\& \qquad \qquad \quad \ x + 17\\& \qquad \qquad \ \ \underline{-4x - 16}\\& \qquad \qquad \qquad \quad 1$

Ya que no hay más términos del dividendo para agrupar, hemos finalizado la tarea. El cociente es $x + 4$ y el restante 1.

Recuerda que, para las divisiones con restante, la respuesta es $\text{quotient}+\frac{\text{remainder}}{\text{divisor}}$ . Considerando esto, la respuesta a este problema de división es $\frac{x^2+8x+17}{x+4}=x+4+\frac{1}{x+4}$ .

Revisión

Para revisar la respuesta de un problema de división larga, nos basamos en

$(\text{divisor} \times \text{quotient}) + \text{remainder} = \text{dividend}$

Para el problema anterior, revisaremos de la siguiente forma:

$(x+4)(x+4)+1 & = x^2+8x+16+1\\\& = x^2+8x+17$

La respuesta es correcta.

Práctica

Divide los siguientes polinomios:

$\frac{2x+4}{2}$
$\frac{x-4}{x}$
$\frac{5x-35}{5x}$
$\frac{x^2+2x-5}{x}$
$\frac{4x^2+12x-36}{-4x}$
$\frac{2x^2+10x+7}{2x^2}$
$\frac{x^3-x}{-2x^2}$
$\frac{5x^4-9}{3x}$
$\frac{x^3-12x^2+3x-4}{12x^2}$
$\frac{3-6x+x^3}{-9x^3}$
$\frac{x^2+3x+6}{x+1}$
$\frac{x^2-9x+6}{x-1}$
$\frac{x^2+5x+4}{x+4}$
$\frac{x^2-10x+25}{x-5}$
$\frac{x^2-20x+12}{x-3}$
$\frac{3x^2-x+5}{x-2}$
$\frac{9x^2+2x-8}{x+4}$
$\frac{3x^2-4}{3x+1}$
$\frac{5x^2+2x-9}{2x-1}$
$\frac{x^2-6x-12}{5x^4}$

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