Problemas de Variación Inversa
En esta sección, aprenderás a usar la división para determinar las asíntotas de una función racional.
Digamos que tienes una función como
¿Cómo puedes reescribirla para encontrar sus asíntotas? Después de terminar esta sección serás capaz de reescribir funciones racionales como ésta usando la división.
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CK-12 Foundation: 1206S Rewriting Rational Functions Using Division
*Este video solo está disponible en inglés
Orientación
En la sección anterior, vimos cómo encontrar las asíntotas verticales y horizontales. Recuerda, la asíntota horizontal muestra el valor de
al que la función se acerca con los valores altos de
. Revisemos nuevamente el método para encontrar las asíntotas horizontales y ver cómo se relaciona con la división polinomial..
En cuanto a encontrar asíntotas, existen básicamente cuatro tipos de funciones racionales.
Caso 1: El polinomio del numerador es de menor grado que el polinomio del denominador.
Ejemplo A
Encuentra la asíntota horizontal de
.
Solución:
No podemos reducir esta fracción, y a medida que
tiene valores más altos, el denominador de la fracción crece mucho más que el numerador, por lo que toda la fracción se acerca a cero.
La asíntota horizontal es
.
Caso 2: El polinomio en el numerador tiene el mismo grado que el polinomio en el denominador.
Ejemplo B
Encuentra la asíntota horizontal de
.
Solución :
En este caso podemos dividir los dos polinomios:
Por lo tanto, la expresión se puede escribir como
.
Ya que el denominador del restante es mayor que el numerador del restante, el restante se acercará a cero para los valores altos de
. La suma del 3 a ese 0 significa que toda la expresión se acercará a 3.
La asíntota horizontal es
.
Caso 3: : El polinomio del numerador es un grado mayor que el polinomio del denominador.
Ejemplo C
Encuentra cualquier asíntota de
.
Solución :
Podemos realizar una división larga nuevamente y reescribir la expresión como
. La fracción aquí se acerca a cero en el caso de los valores altos de
, por lo que toda la expresión se acerca a
.
Cuando la función racional se acerca a la recta en el caso de los valores altos de
, decimos que la función racional tiene una
asíntota oblicua.
En este caso, entonces,
la asíntota oblicua es
.
Caso 4: El polinomio del numerador tiene un grado dos o más veces mayor que el grado del denominador.
Ejemplo D
Encuentra cualquier asíntota de
.
Este es el caso más simple de todos: el polinomio no tiene asíntotas horizontales o asíntotas oblicuas.
Nótese que una función racional puede tener tanto asíntotas horizontales, una asíntota oblicua o ninguna de las dos. En otras palabras, una función no puede tener ambas; de hecho, no puede tener más de una sin importar el tipo. Por otro lado, una función racional puede tener un número indefinido de asíntotas verticales al mismo tiempo que tiene asíntotas horizontales u oblicuas.
Mira esto si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.
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CK-12 Foundation: Rewriting Rational Functions Using Division
*Este video solo está disponible en inglés
Vocabulario
-
Cuando la función racional se acerca a la recta en el caso de los valores altos de
, decimos que la función racional tiene una
asíntota oblicua.
Práctica guiada
Encuentra todas las asíntotas verticales u horizontales de las siguientes funciones racionales.
a)
b)
c)
d)
Solución
a) Cuando simplificamos la función, obtenemos
.
Hay una asíntota horizontal en
.
b) No podemos dividir los dos polinomios.
Hay una asíntota horizontal en
.
c) La potencia del numerador es superior por 3 que la potencia del denominador. No hay asíntotas horizontales o asíntotas oblicuas.
d) Cuando simplificamos la función, obtenemos
.
Hay una asíntota oblicua en
.
Práctica
Encuentra todas las asíntotas de las siguientes funciones racionales:
Grafica las siguientes funciones racionales. Marca todas las asíntotas en el gráfico:
