Valores Excluidos de las Expresiones Racionales

En esta sección, aprenderás a reducir las expresiones racionales a sus términos más simples. También aprenderás a encontrar los valores excluidos de las expresiones racionales.

Digamos que tienes una expresión racional como $\frac{x + 2}{x^2 + 3x + 2}$ ¿Cómo la simplificarías? Después de completar esta sección, serás capaz de reducir las expresiones racionales como ésta a sus términos más simples y encontrar sus valores excluidos.

Mira esto

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: 1207S Rational Expressions

*Este video solo está disponible en inglés

Para encontrar más ejemplos de simplificación de expresiones racionales, mira el siguiente video.

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

YourTeacher: Simplifying Rational Expressions

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

Se dice que una expresión racional está simplificada cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes. Para simplificar una expresión a su mínima expresión , factorizamos el numerador y el denominador tanto como podamos y anulamos los factores comunes del numerador y el denominador.

Simplificación de expresiones racionales

Ejemplo A

Simplifica cada expresión racional a su mínima expresión.

a) $\frac{4x-2}{2x^2+x-1}$

b) $\frac{x^2-2x+1}{8x-8}$

c) $\frac{x^2-4}{x^2-5x+6}$

Solución

a) $\text{Factor the numerator and denominator completely:} \qquad \frac{2(2x-1)}{(2x-1)(x+1)}\!\\\\\\\text{Cancel the common factor} \ (2x - 1): \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \frac{2}{x+1}$

b) $\text{Factor the numerator and denominator completely:} \qquad \frac{(x-1)(x-1)}{8(x-1)}\!\\\\\\\text{Cancel the common factor}\ (x - 1): \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \frac{x-1}{8}$

c) $\text{Factor the numerator and denominator completely:} \qquad \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)}\!\\\\\\\text{Cancel the common factor} (x - 2): \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \frac{x+2}{x-3}$

Cuando factorizas fracciones, sólo puedes anular los factores comunes del denominador pero NO los términos comunes. Por ejemplo, en la expresión $\frac{(x+1) \cdot (x-3)}{(x+2) \cdot (x-3)}$ , podemos anular el factor $(x - 3)$ porque $\frac{(x-3)}{(x-3)}=1$ . Pero en la expresión $\frac{x^2+1}{x^2-5}$ no podemos anular los términos $x^2$ .

¿Por qué no podemos? Cuando anulamos los términos que son parte de una suma o una diferencia estamos violando el orden de las operaciones (PEMDAS). Recuerda, la barra de fracción indica división. Cuando trabajamos con la operación $\frac{x^2+1}{x^2-5}$ , en verdad estamos haciendo la división $(x^2+1) \div (x^2-5)$ y el orden de las operaciones dice que primero debemos llevar a cabo las operaciones dentro del paréntesis antes de que hagamos la división.

El uso de números, en vez de variables, realza el hecho de que la anulación de términos individuales no funciona. Puedes notar que $\frac{9+1}{9-5}=\frac{10}{4}=2.5$ pero si anulamos primero los nueves, obtenemos $\frac{1}{-5}$ , o -0.2.

Encontrar los valores excluidos de las expresiones racionales

Cuando hay una expresión variable en el denominador de la fracción, tenemos que recordar que el denominador podría ser cero cuando la variable independiente proviene de ciertos valores. Dichos valores, correspondientes a las asíntotas verticales de la función, se denominan valores excluidos . Para encontrar los valores excluidos, simplemente tenemos que igualar el denominador a cero y resolver la ecuación resultante.

Ejemplo B

Encuentra los valores excluidos de las siguientes expresiones.

a) $\frac{x}{x+4}$

b) $\frac{2x+1}{x^2-x-6}$

Solución

a) $\text{When we set the denominator equal to zero we obtain:} \quad \ \ x+4=0 \Rightarrow x=-4\!\\\\\\\text{So} \ \mathbf{-4} \ \text{is the excluded value.}$

b) $\text{When we set the denominator equal to zero we obtain:} \qquad x^2-x-6=0\!\\\\\\\text{Solve by factoring:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \qquad \qquad \qquad (x-3)(x+2)=0\!\\\\\\{\;} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \qquad \qquad \Rightarrow x=3 \ \text{and}\ x = -2\!\\\\\\\text{So}\ \mathbf{3}\ \mathbf{and}\ \mathbf{-2} \ \text{are the excluded values.}$

Ceros removibles

Los ceros removibles son aquellos ceros presentes en la expresión original pero que no son ceros de las versiones simplificadas de la expresión. Sin embargo, tenemos que considerarlos ya que fueron ceros en la expresión original. Esto sucede en los siguientes ejemplos.

Ejemplo C

Determina los valores removibles de $\frac{4x-2}{2x^2+x-1}$ .

Solución:

Nótese que en las expresiones del Ejemplo A, quitamos una división por cero cuando simplificamos el problema. Por ejemplo, reescribimos $\frac{4x-2}{2x^2+x-1}$ como $\frac{2(2x-1)}{(2x-1)(x+1)}$ . El denominador de esta expresión es cero cuando $x = \frac{1}{2}$ o cuando $x = -1$ .

Sin embargo, cuando anulamos los factores comunes, simplificamos la expresión a $\frac{2}{x+1}$ . Esta forma reducida nos da el valor $x = \frac{1}{2}$ , por lo que $x = -1$ es su único valor excluido.

écnicamente, la expresión original y la expresión simplificada no son lo mismo. Cuando simplificamos una expresión radical a su mínima expresión, deberíamos especificar el valor excluido. En otras palabras, debemos escribir nuestra respuesta final como $\frac{4x-2}{2x^2+x-1}=\frac{2}{x+1}, x \neq \frac{1}{2}$ .

Ejemplo D

Determina los valores removibles de las expresiones del Ejemplo A, en las partes b y c.

Solución:

Deberíamos escribir la respuesta para el Ejemplo A, parte b como $\frac{x^2-2x+1}{8x-8}=\frac{x-1}{8}, x \neq 1$ .

La respuesta para el Ejemplo A, parte c como $\frac{x^2-4}{x^2-5x+6}=\frac{x+2}{x-3}, x \neq 2$ .

Mira esto si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

CK-12 Foundation: Rational Expressions

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

Cuando hay una expresión variable en el denominador de la fracción, tenemos que recordar que el denominador podría ser cero cuando la variable independiente considera ciertos valores. Dichos valores, que corresponden a las asíntotas verticales de la función, se denominan valores excluidos .

Los ceros removibles son aquellos ceros de la expresión original, pero no de las versiones simplificadas de la expresión.

Práctica guiada

Encuentra los valores excluidos de $\frac{4}{x^2-5x}$ .

Solución

$\text{When we set the denominator equal to zero we obtain:} \quad \ \ x^2-5x=0\!\\\\\\\text{Solve by factoring:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ x(x-5)=0\!\\\\\\{\;} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \Rightarrow x=0 \ \text{and} \ x = 5\!\\\\\\\text{So} \ \mathbf{0 \ and \ 5}\ \text{are the excluded values.}$

Práctica

Simplifica cada fracción a su mínima expresión.

$\frac{4}{2x-8}$
$\frac{x^2+2x}{x}$
$\frac{9x+3}{12x+4}$
$\frac{6x^2+2x}{4x}$
$\frac{x-2}{x^2-4x+4}$
$\frac{x^2-9}{5x+15}$
$\frac{x^2+6x+8}{x^2+4x}$
$\frac{2x^2+10x}{x^2+10x+25}$
$\frac{x^2+6x+5}{x^2-x-2}$
$\frac{x^2-16}{x^2+2x-8}$
$\frac{3x^2+3x-18}{2x^2+5x-3}$
$\frac{x^3+x^2-20x}{6x^2+6x-120}$

Encuentra los valores excluidos de cada expresión racional.

$\frac{2}{x}$
$\frac{4}{x+2}$
$\frac{2x-1}{(x-1)^2}$
$\frac{3x+1}{x^2-4}$
$\frac{x^2}{x^2+9}$
$\frac{2x^2+3x-1}{x^2-3x-28}$
$\frac{5x^3-4}{x^2+3x}$
$\frac{9}{x^3+11x^2+30x}$
$\frac{4x-1}{x^2+3x-5}$
$\frac{5x+11}{3x^2-2x-4}$
$\frac{x^2-1}{2x^2+x+3}$
$\frac{12}{x^2+6x+1}$
En un circuito electrónico con resistores en paralelo, el recíproco de la resistencia total es igual a la suma de los recíprocos de cada resistencia. $\frac{1}{R_c}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$ . Si $R_1 = 25 \ \Omega$ y la resistencia total es $R_c = 10 \ \Omega$ , ¿Cuál es la resistencia $R_2$ ?
Supón que dos objetos se atraen con una fuerza gravitacional de 20 Newtons. Si la distancia entre los dos objetos se duplica, ¿Cuál es la nueva fuerza de atracción entre los dos objetos?
Supón que dos objetos se atraen con una fuerza gravitacional de 36 Newtons. Si la masa de ambos objetos se duplica, y si la distancia entre ambos objetos se duplica, ¿Cuál sería la fuerza de atracción entre los dos objetos?
28. Una esfera con un radio de $R$ tiene un volumen de $\frac{4}{3} \pi R^3$ y una superficie de $4 \pi R^2$ . Encuentra la proporción entre la superficie y el volumen de la esfera.
El lado de un cubo incrementa por un factor de 2. Encuentra la proporción entre el volumen antiguo y el volumen nuevo.
El radio de una esfera disminuye en 4 unidades. Encuentra la proporción entre volumen antiguo y el volumen nuevo.

Prev Next

Valores Excluidos de las Expresiones Racionales

Mira esto

Orientación

Ejemplo A

Ejemplo B

Ejemplo C

Ejemplo D

Vocabulario

Práctica guiada

Práctica

Licencia