Multiplicación de Expresiones Racionales

En esta sección, aprenderás a multiplicar dos expresiones racionales monomias, dos expresiones racionales polinomiales y expresiones racionales por un polinomio.

Digamos que tienes unas expresiones como $\frac{2x^2 - 3}{x - 4}$ y $\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2}$ pero ahora quieres multiplicarlas. ¿Cómo lo harías para que la respuesta quede en su mínima expresión? Luego de terminar esta sección, serás capaz de multiplicar expresiones racionales como esta.

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CK-12 Foundation: 1208S Multiplying Rational Expressions

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

Las reglas para la multiplicación y división de expresiones racionales son las mismas reglas para multiplicar y dividir números racionales, así que comenzamos repasando la multiplicación y división de fracciones. Cuando multiplicamos dos fracciones, multiplicamos los numeradores y los denominadores por separado:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Multiplicación de expresiones racionales que contienen monomios

Ejemplo A

Multiplica la siguiente expresión: $\frac{a}{16b^8} \cdot \frac{4b^3}{5a^2}$ .

Solución

Anula los factores comunes del numerador y el denominador. Los factores comunes son 4, $a$ , y $b^3$ . La anulación nos da $\frac{1}{4b^5} \cdot \frac{1}{5a} = \frac{1}{20ab^5}$ .

Ejemplo B

Multiplica $9x^2 \cdot \frac{4y^2}{21x^4}$ .

Solución

Reescribe el problema como producto de dos fracciones: $\frac{9x^2}{1} \cdot \frac{4y^2}{21x^4}$ Luego, anula los factores comunes del numerador y el denominador.

Los factores comunes son 3 y $x^2$ . La anulación nos da $\frac{3}{1} \cdot \frac{4y^2}{7x^2} = \frac{12y^2}{7x^2}$ .

Multiplicación de expresiones racionales que contienen monomios

Cuando multiplicamos expresiones racionales que incluyen polinomios, primero debemos factorizar todas las expresiones polinomiales lo máximo posible. Luego, seguimos el mismo procedimiento que antes.

Ejemplo C

Multiplica $\frac{4x+12}{3x^2} \cdot \frac{x}{x^2-9}$ .

Solución

Factoriza todas las expresiones polinomiales lo máximo posible: $\frac{4(x+3)}{3x^2} \cdot \frac{x}{(x+3)(x-3)}$

Los factores comunes son $x$ y $(x + 3)$ . La anulación nos da $\frac{4}{3x} \cdot \frac{1}{(x-3)} = \frac{4}{3x(x-3)} = \frac{4}{3x^2-9x}$ .

Multiplicación de expresiones racionales por un polinomio

Cuando multiplicamos una expresión racional por un número entero o un polinomio, podemos escribir el número entero (o polinomio) como una fracción con un denominador igual a uno. Luego procedemos de la misma manera que en los ejemplos anteriores.

Ejemplo D

Multiplica $\frac{3x+18}{4x^2+19x-5} \cdot (x^2+3x-10)$ .

Solución

Reescribe la expresión como producto de fracciones: $\frac{3x+18}{4x^2+19x-5} \cdot \frac{x^2+3x-10}{1}$

Factoriza los polinomios: $\frac{3(x+6)}{(x+5)(4x-1)} \cdot \frac{(x-2)(x+5)}{1}$

El factor común es $(x + 5)$ . Su anulación nos da $\frac{3(x+6)}{(4x-1)} \cdot \frac{(x-2)}{1} = \frac{3(x+6)(x-2)}{(4x-1)} = \frac{3x^2+12x-36}{4x-1}$

Mira esto si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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Vocabulario

Cuando multiplicamos dos fracciones, multiplicamos los numeradores y los denominadores por separado:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Práctica guiada

Multiplica $\frac{12x^2-x-6}{x^2-1} \cdot \frac{x^2+7x+6}{4x^2-27x+18}$ .

Solución

Factoriza los polinomios: $\frac{(3x+2)(4x-3)}{(x+1)(x-1)} \cdot \frac{(x+1)(x+6)}{(4x-3)(x-6)}$ .

Los factores comunes son $(x + 1)$ y $(4x - 3)$ . La anulación nos da $\frac{(3x+2)}{(x-1)} \cdot \frac{(x+6)}{(x-6)} = \frac{(3x+2)(x+6)}{(x-1)(x-6)} = \frac{3x^2+20x+12}{x^2-7x+6}$

Práctica

Multiplica las siguientes expresiones racionales y simplifica la respuesta a su mínima expresión.

$\frac{x^3}{2y^3} \cdot \frac{2y^2}{x}$
$\frac{2x}{y^2} \cdot \frac{4y}{5x}$
$2xy \cdot \frac{2y^2}{x^3}$
$\frac{4y^2-1}{y^2-9} \cdot \frac{y-3}{2y-1}$
$\frac{6ab}{a^2} \cdot \frac{a^3b}{3b^2}$
$\frac{33a^2}{-5} \cdot \frac{20}{11a^3}$
$\frac{2x^2+2x-24}{x^2+3x} \cdot \frac{x^2+x-6}{x+4}$
$\frac{x}{x-5} \cdot \frac{x^2-8x+15}{x^2-3x}$
$\frac{5x^2+16x+3}{36x^2-25} \cdot (6x^2+5x)$
$\frac{x^2+7x+10}{x^2-9} \cdot \frac{x^2-3x}{3x^2+4x-4}$
$\frac{x^2+8x+16}{7x^2+9x+2} \cdot \frac{7x+2}{x^2+4x}$

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