División de Expresiones Racionales

En esta sección, aprenderás a dividir una expresión racional por un polinomio. También aprenderás a resolver problemas cotidianos que necesitan la multiplicación y división de expresiones racionales.

¿Digamos que tienes dos expresiones como $\frac{x + 5}{x}$ y $\frac{x^2 + 6x + 5}{x - 2}$ pero ahora quieres dividirlas. ¿Cómo lo harías para que la respuesta quede en su mínima expresión? Después de terminar esta sección, serás capaz de multiplicar expresiones racionales como esta.

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CK-12 Foundation: 1209S Dividing Rational Expressions

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RobiChaudd: Multiply or divide rational expressions

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Orientación

Al igual que con las fracciones comunes, primero debemos reescribir el problema de división como un problema de multiplicación y, luego, llevar a cabo dicha multiplicación como indica el ejemplo anterior.

Nota: Recuerda que $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ . La primera fracción se mantiene igual y usamos el recíproco de la segunda fracción. No caigas en el error de voltear la primera fracción.

Ejemplo A

Divide $\frac{4x^2}{15} \div \frac{6x}{5}$ .

Solución

Primero convierte el problema en un problema de multiplicación volteando la segunda fracción y, luego, simplificando como de costumbre:

$\frac{4x^2}{15} \div \frac{6x}{5} = \frac{4x^2}{15} \cdot \frac{5}{6x} = \frac{2x}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2x}{9}$

División de expresiones racionales por un polinomio

Cuando dividimos una expresión racional por un número entero o un polinomio, podemos escribir el número entero (o polinomio) como una fracción con un denominador igual a uno y, luego, proceder de la misma manera que en los ejemplos anteriores.

Ejemplo B

Divide $\frac{9x^2-4}{2x-2} \div (21x^2-2x-8)$ .

Solución

Reescribe la expresión como una división de fracciones y, luego, conviértela en un problema de multiplicación tomando el recíproco del divisor:

$\frac{9x^2-4}{2x-2} \div \frac{21x^2-2x-8}{1} = \frac{9x^2-4}{2x-2} \cdot \frac{1}{21x^2-2x-8}$

Luego factoriza y resuelve:

$\frac{9x^2-4}{2x-2} \cdot \frac{1}{21x^2-2x-8} = \frac{(3x-2)(3x+2)}{2(x-1)} \cdot \frac{1}{(3x-2)(7x+4)} = \frac{(3x+2)}{2(x-1)} \cdot \frac{1}{(7x+4)} = \frac{3x+2}{14x^2-6x-8}$

Resolución de problemas de aplicación con multiplicación y división de expresiones racionales

Ejemplo C

Supón que Marciel está entrenando para una carrera a pie. La velocidad de Marciel (en millas por hora) cuando corre cada mañana es dada por la función $x^3-9x$ , donde $x$ es el número de tazones de cereal que comió al desayuno, La distancia (en millas) que recorre Marciel en su entrenamiento si come $x$ tazones de cereal es $3x^2-9x$ . ¿Cuál es la función para el tiempo de Marciel? ¿Cuánto le toma a Marciel terminar su entrenamiento si come cinco tazones de cereal la mañana del martes

Solución

$\text{time} = \frac{\text{distance}}{\text{speed}}\!\\\\\\\text{time} = \frac{3x^2-9x}{x^3-9x} = \frac{3x(x-3)}{x(x^2-9)} = \frac{3x(x-3)}{x(x+3)(x-3)}\!\\\\\\\text{time} = \frac{3}{x+3}\!\\\\\\\text{If} \ x = 5, \ \text{then}\!\\\\\\\text{time} = \frac{3}{5+3}=\frac{3}{8}$

Marciel correrá por $\frac{3}{8}$ de hora.

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CK-12 Foundation: 1209 Dividing Rational Expressions

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Vocabulario

Cuando multiplicamos dos fracciones, multiplicamos los numeradores y los denominadores por separado:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Cuando dividimos dos fracciones, reemplazamos la segunda fracción con su recíproco ya que matemáticamente es la misma operación:

$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Práctica guiada

Divide $\frac{3x^2-15x}{2x^2+3x-14} \div \frac{x^2-25}{2x^2+13x+21}$ .

Solución

$\frac{3x^2-15x}{2x^2+3x-14} \cdot \frac{2x^2+13x+21}{x^2-25} = \frac{3x(x-5)}{(2x+7)(x-2)} \cdot \frac{(2x+7)(x+3)}{(x-5)(x+5)} = \frac{3x}{(x-2)} \cdot \frac{(x+3)}{(x+5)} = \frac{3x^2+9x}{x^2+3x-10}$

Práctica

Divide las funciones racionales y simplifica la respuesta a su mínima expresión.

$2xy \div \frac{2x^2}{y}$
$\frac{2x^3}{y} \div 3x^2$
$\frac{3x+6}{y-4} \div \frac{3y+9}{x-1}$
$\frac{x^2}{x-1} \div \frac{x}{x^2+x-2}$
$\frac{a^2+2ab+b^2}{ab^2-a^2b} \div (a+b)$
$\frac{3-x}{3x-5} \div \frac{x^2-9}{2x^2-8x-10}$
$\frac{x^2-25}{x+3} \div (x-5)$
$\frac{2x+1}{2x-1} \div \frac{4x^2-1}{1-2x}$
$\frac{3x^2+5x-12}{x^2-9} \div \frac{3x-4}{3x+4}$
$\frac{x^2+x-12}{x^2+4x+4} \div \frac{x-3}{x+2}$
$\frac{x^4-16}{x^2-9} \div \frac{x^2+4}{x^2+6x+9}$
La receta de María requiere $2 \frac{1}{2}$ veces más harina que azúcar. ¿Cuántas tazas de harina debe mezclar si usa $3 \frac{1}{3}$ tazas de azúcar?
George conduce de San Diego a Los Angeles. En el viaje de vuelta, aumenta su velocidad en 15 millas por hora. En cuanto a su velocidad inicial, ¿Por qué factor se reduce el tiempo de conducción en el viaje de vuelta?
La ley de Ohm establece que en un circuito electrónico $I = \frac{V}{R_c}$ . La resistencia total de los resistores en paralelo es dada por: $\frac{1}{R_{tot}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ . Escribe la fórmula para la corriente eléctrica en cuanto a las resistencias: $R_1$ y $R_2$ .

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