Adición y Sustracción de Expresiones Racionales

En esta sección, aprenderás a sumar y sustraer expresiones racionales con el mismo denominador y con un denominador diferente.

Digamos que tienes dos expresiones racionales como $\frac{x}{x + 5}$ y $\frac{3}{x - 4}$ que tienen denominadores distintos. ¿Cómo las sumarías y cómo las restarías? Después de completar esta sección, serás capaz de sumar y restar con expresiones racionales como esta.

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CK-12 Foundation: 1210S Adding and Subtracting Rational Expressions

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Mira esto para encontrar más ejemplos de cómo multiplicar y dividir expresiones racionales.

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PatrickJMT: Adding and Subtracting Rational Expressions

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Orientación

Al igual que las fracciones, las expresiones racionales representan una porción de una cantidad. Recuerda que, cuando sumamos o sustraemos fracciones, tenemos que asegurarnos primero de que tienen el mismo denominador. Una vez que las fracciones tienen el mismo denominador, combinamos las diferentes porciones sumando o restando los numeradores y escribiendo la respuesta en el denominador común.

Adición y sustracción de expresiones racionales con el mismo denominador

Las fracciones con denominadores comunes se combinan de la siguiente manera:

$\frac{a}{c}+\frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \qquad \text{and} \qquad \frac{a}{c} - \frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$

Ejemplo A

Simplifica.

a) $\frac{8}{7} - \frac{2}{7} + \frac{4}{7}$

b) $\frac{4x^2-3}{x+5} + \frac{2x^2-1}{x+5}$

c) $\frac{x^2-2x+1}{2x+3} - \frac{3x^2-3x+5}{2x+3}$

Solución

a) Ya que los denominadores son los mismos, combinamos los numeradores:

$\frac{8}{7} - \frac{2}{7} + \frac{4}{7} = \frac{8-2+4}{7} = \frac{10}{7}$

b) $\text{Since the denominators are the same we combine the numerators:} \qquad \frac{4x^2-3+2x^2-1}{x+5}\!\\\\text{Simplify by collecting like terms:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \frac{6x^2-4}{x+5}$

c) Ya que los denominadores son los mismos, combinamos los numeradores. Asegúrate de que el signo de resta está distribuido entre todos los términos de la segunda expresión:

$\frac{x^2-2x+1-(3x^2-3x+5)}{2x+3} = \frac{x^2-2x+1-3x^2+3x-5}{2x+3}= \frac{-2x^2+x-4}{2x+3}$

Encontrar el mínimo común denominador de expresiones racionales

Para sumar y restar fracciones con distintos denominadores debemos primero reescribir todas las fracciones de forma que tengan el mismo denominador. En general, queremos encontrar el mínimo común denominador . Para encontrar el mínimo común denominador debemos encontrar el mínimo común múltiplo (M.C.M.) de las expresiones en los denominadores de las diferentes fracciones. Recuerda que el mínimo común múltiplo de dos o más enteros es el entero positivo más bajo que tenga a todos aquellos enteros como factores.

El procedimiento para encontrar el mínimo común múltiplo de los polinomios es similar. Reescribimos cada polinomio en forma factorizada y, luego, obtenemos el mínimo común múltiplo elevando cada factor a la potencia más alta que aparezca en cualquiera de las expresiones por separado.

Ejemplo B

Encuentra el mínimo común múltiplo de $48x^2y$ y $60xy^3z$ .

Solution

Primero reescribe los enteros en sus factores primos.

$48 & = 2^4 \cdot 3\\\60 & = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

Las dos expresiones se pueden escribir como:

$& 48x^2y=2^4 \cdot 3 \cdot x^2 \cdot y\\\& 60xy^3z=2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot x \cdot y^3 \cdot z$

Para encontrar el mínimo común múltiplo, toma la potencia más alta de cada factor que aparece en cualquier expresión.

$\text{LCM} = 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot x^2 \cdot y^3 \cdot z = 240x^2y^3z$

Ejemplo C

Encuentra el mínimo común múltiplo de $2x^2+8x+8$ y $x^3-4x^2-12x$

Solución

Factoriza los polinomios completamente:

$2x^2+8x+8 & = 2(x^2+4x+4)\\\& = 2(x+2)^2$

$x^3-4x^2-12x & = x(x^2-4x-12)\\\& = x(x+2)(x-6)$

Para encontrar el mínimo común múltiplo, toma la potencia más alta de cada factor que aparece en cualquier expresión.

$\text{LCM} = 2x(x+2)^2 (x-6)$

Es costumbre dejar el mínimo común múltiplo en su forma factorizada, ya que es la forma que nos sirve en la simplificación de expresiones racionales y la búsqueda de valores excluidos.

Adición y sustracción de expresiones racionales con distinto denominador

Ahora estamos listos para sumar y restar expresiones racionales. Usamos el siguiente procedimiento.

Encuentra el mínimo común denominador de las fracciones.
Expresa cada fracción como una fracción equivalente con el mínimo común denominador como el denominador.
Suma o resta y simplifica el resultado.

Ejemplo D

Realiza la siguiente operación y simplifica: $\frac{2}{x+2} - \frac{3}{2x-5}$

Solución

Los denominadores no pueden seguir siendo factorizados, por lo que el mínimo común denominador es solo el producto de los denominadores separados: $(x+2)(2x-5)$ . Esto significa que la primera fracción tiene que ser multiplicada por el factor $(2x-5)$ y la segunda fracción multiplicada por el factor $(x+2)$ :

$\frac{2}{x+2} \cdot \frac{(2x-5)}{(2x-5)} - \frac{3}{2x-5} \cdot \frac{(x+2)}{(x+2)}$

$\text{Combine the numerators and simplify:} \qquad \qquad \frac{2(2x-5)-3(x+2)}{(x+2)(2x-5)} = \frac{4x-10-3x-6}{(x+2)(2x-5)}\!\\\\\\\text{Combine like terms in the numerator:} \qquad \qquad \frac{x-16}{(x+2)(2x-5)} \quad \mathbf{Answer}$

Ejemplo E

Realiza la siguiente operación y simplifica: $\frac{4x}{x-5}-\frac{3x}{5-x}$ .

Solución

Nota que los denominadores son casi los mismos; solo se diferencian por el factor -1.

$\text{Factor out -1 from the second denominator:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \frac{4x}{x-5} - \frac{3x}{-(x-5)}\!\\\\\\\text{The two negative signs in the second fraction cancel:} \qquad \qquad \qquad \qquad \frac{4x}{x-5}+\frac{3x}{(x-5)}\!\\\\\\\text{Since the denominators are the same we combine the numerators:} \ \qquad \frac{7x}{x-5} \quad \mathbf{Answer}$

Mira esto si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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Vocabulario

Suma y resta expresiones racionales con el mismo denominador

Las fracciones con denominadores comunes se combinan de la siguiente manera:

$\frac{a}{c}+\frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \qquad \text{and} \qquad \frac{a}{c} - \frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$

Práctica guiada

a.) Encuentra el mínimo común múltiplo de $x^2-25$ y $x^2+3x+2$ .

b.) Realiza la siguiente operación y simplifica: $\frac{2x-1}{x^2-9}-\frac{3x+4}{x^2-9}$ .

Solución:

a.) Primero factoriza cada polinomio para ver si tienen algún factor común:

$x^2-25=(x+5)(x-5)$ y $x^2+3x+2=(x+2)(x+1)$

Ya que los dos polinomios no tienen ningún factor en común, esto significa que el mínimo común múltiplo de los polinomios es:

$(x^2-25)(x^2+3x+2)=x^4+3x^3-23x^2-75x-50$

b.) Para restar la segunda fracción de la primera, resta el numerador de la segunda del numerador de la primera. Asegúrate de poner el numerador de la segunda fracción en paréntesis, de modo que recuerdes restar cada término.

$\frac{2x-1}{x^2-9}-\frac{3x+4}{x^2-9}=\frac{2x-1-(3x+4)}{x^2-9}=\frac{2x-1-3x-4}{x^2-9}=\frac{-x-5}{x^2-9}$

Práctica

Realiza la siguiente operación y simplifica. Deja el denominador común en su forma factorizada.

$\frac{5}{24}-\frac{7}{24}$
$\frac{2x}{13}-\frac{x}{3}$
$\frac{5}{2x+3}+\frac{3}{2x+3}$
$\frac{1}{5x-7}+\frac{10}{5x-7}$
$\frac{3x-1}{x+9}-\frac{4x+3}{x+9}$
$\frac{1-7x}{3x+10}-\frac{x+20}{3x+10}$
$\frac{4x+7}{2x^2}-\frac{3x-4}{2x^2}$
$\frac{10x-5}{9x^2}-\frac{5}{9x^2}$
$\frac{x^2}{x+5}-\frac{25}{x+5}$
$\frac{.25x^2}{x+100}-\frac{0.1}{x+100}$
$\frac{1}{x}+\frac{2}{3x}$
$\frac{4}{5x^2}-\frac{2}{7x^3}$
$\frac{10}{3x-1}-\frac{7}{1-3x}$
$\frac{10}{x+5}+\frac{2}{x+2}$
$\frac{2x}{x-3}-\frac{3x}{x+4}$
$\frac{4x-3}{2x+1}+\frac{x+2}{x-9}$
$\frac{x^2}{x+4}-\frac{3x^2}{4x-1}$
$\frac{2}{5x+2}-\frac{x+1}{x^2}$
$\frac{x+4}{2x}+\frac{2}{9x}$
$\frac{5x+3}{x^2+x}+\frac{2x+1}{x}$
$\frac{4}{(x+1)(x-1)}-\frac{5}{(x+1)(x+2)}$
$\frac{2x}{(x+2)(3x-4)}+\frac{7x}{(3x-4)^2}$
$\frac{3x+5}{x(x-1)}-\frac{9x-1}{(x-1)^2}$
$\frac{1}{(x-2)(x-3)}+\frac{4}{(2x+5)(x-6)}$
$\frac{3x-2}{x-2}+\frac{1}{x^2-4x+4}$
$\frac{-x^3}{x^2-7x+6}+x-4$
$\frac{2x}{x^2+10x+25}-\frac{3x}{2x^2+7x-15}$
$\frac{1}{x^2-9}+\frac{2}{x^2+5x+6}$
$\frac{-x+4}{2x^2-x-15}+\frac{x}{4x^2+8x-5}$
$\frac{4}{9x^2-49}-\frac{1}{3x^2+5x-28}$

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