Aplicación de la Suma y Resta de Expresiones Racionales

En esta sección, aprenderás a resolver problemas de circuitería y otros problemas cotidianos que requieren la suma y la resta de expresiones racionales.

Si te toma 3 horas limpiar la casa y a tu hermano le toma 2, ¿cuánto tiempo les tomaría limpiar la casa si trabajan juntos? Después de completar esta sección, serás capaz de resolver problemas cotidianos como este que requieren la suma y la resta de expresiones racionales.

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CK-12 Foundation: 1211S Solve Applications by Adding and Subtracting Rational Expressions

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Orientación

En la sección anterior, aprendiste a sumar y restar expresiones racionales. En esta sección usarás lo aprendido para resolver problemas cotidianos.

Ejemplo A

En un circuito electrónico con dos resistores en paralelo, el recíproco de la resistencia total es igual a la suma de los recíprocos de cada resistencia: $\frac{1}{R_{tot}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$ . Encuentra una expresión para la resistencia total, $R_{tot}$ .

Solución

$\text{Let's simplify the expression} \ \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}.\!\\\\!\\\\text{The lowest common denominator is} \ R_1R_2, \ \text{so we multiply the first fraction by} \ \frac{R_2}{R_2} \ \text{and the}\!\\\\!\\\\text{second fraction by} \ \frac{R_1}{R_1}: \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \frac{R_2}{R_2} \cdot \frac{1}{R_1} + \frac{R_1}{R_1} \cdot \frac{1}{R_2}\!\\\\!\\\\text{Simplify:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \frac{R_2 + R_1}{R_1R_2}\!\\\\!\\\\text{The total resistance is the reciprocal of this expression:} \qquad R_{tot}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2} \quad \mathbf{Answer}$

Ejemplo B

La suma de un número y su recíproco es $\frac{53}{14}$ . Encuentra los números.

Solución

Define las variables:

Considera $x$ como el número; entonces su recíproco es $\frac{1}{x}$ .

Crea una ecuación:

La ecuación que describe la relación entre los números es $x+\frac{1}{x}=\frac{53}{14}$

Resuelve la ecuación:

$\text{Find the lowest common denominator:} \ \qquad \text{LCM} = 14x\!\\\\!\\\\text{Multiply all terms by} \ 14x: \qquad \qquad \qquad \quad \ 14x \cdot x + 14x \cdot \frac{1}{x}=14x \cdot \frac{53}{14}$

(Nótese que estamos multiplicando los términos por $14x$ en vez de por $\frac{14x}{14x}$ . Podemos hacerlo porque estamos multiplicando ambos lados de la ecuación por el mismo valor, entonces no tenemos que mantener iguales los valores actuales de los términos. También podríamos multiplicarlo por $\frac{14x}{14x}$ , pero entonces los denominadores solo se anularían unos pasos más adelante.)

$\text{Cancel common factors in each term:} \qquad \qquad \ 14x \cdot x + 14x \cdot \frac{1}{x} = 14x \cdot \frac{53}{14}\!\\\\!\\\\text{Simplify:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad 14x^2 + 14 = 53x\!\\\\!\\\\text{Write all terms on one side of the equation:} \qquad 14x^2 - 53x + 14 = 0\!\\\\!\\\\text{Factor:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (7x-2)(2x-7) = 0\!\\\\!\\\{\;} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad x=\frac{2}{7} \ \text{and} \ x=\frac{7}{2}$

Nota que hay dos respuestas para $x$ , pero en verdad son partes de la misma solución. Una respuesta representa el número y la otra respuesta representa su recíproco.

Revisión:

$\frac{2}{7}+\frac{7}{2}=\frac{4+49}{14}=\frac{53}{14}$ . La respuesta es correcta.

Los problemas de cálculo de trabajo trabajo son problemas en los que dos personas o dos máquinas trabajan juntas para completar un trabajo. Los problemas de cálculo de trabajo, a menudo, contienen expresiones racionales. Generalmente ordenamos dichos problemas calculando la parte de la tarea completada por cada persona o máquina. La tarea completada es la suma de las partes de las tareas completadas por cada individuo o cada máquina.

Para determinar la parte de la tarea completada por cada persona o máquina nos basamos en:

$\text{Part of the task completed} = \text{rate of work} \times \text{time spent on the task}$

Por lo general, es bastante útil crear una tabla en la que se puedan enumerar las variables conocidas y desconocidas para cada persona o máquina y, luego, combinar las partes de la tarea completada por cada persona o máquina al final.

Ejemplo C

Mary puede pintar una casa en 12 horas. John puede pintar una casa en 16 horas. ¿Cuánto tardarían en pintar la casa si trabajaran juntos?

Solución

Define las variables:

Considera $t =$ como el tiempo que le toma a Mary y John pintar juntos la casa.

Crea una tabla:

Ya que a Mary le toma 12 horas pintar la casa, en una hora ella pinta $\frac{1}{12}$ de la casa.

Ya que a John le toma 16 horas pintar la casa, en una hora él pinta $\frac{1}{16}$ de la casa.

Mary y John trabajan juntos por $t$ horas para pintar la casa. Usando

$Part \ of \ the \ task \ completed = rate \ of \ work \cdot time \ spent \ on \ the \ task$

Podemos escribir que Mary completó $\frac{t}{12}$ de la casa y John completó $\frac{t}{16}$ de la casa en el mismo tiempo.

Esta información se resume en la tabla siguiente:

Pintor	Tasa de trabajo (por hora)	Tiempo trabajado	Parte de la tarea
Mary	$\frac{1}{12}$	$t$	$\frac{t}{12}$
John	$\frac{1}{16}$	$t$	$\frac{t}{16}$

Crea una ecuación:

En $t$ horas, Mary pintó $\frac{t}{12}$ de la casa y John pintó $\frac{t}{16}$ de la casa, juntos pintaron 1 casa entera. Por lo que nuestra ecuación es $\frac{t}{12}+\frac{t}{16}=1$ .

Resuelve la ecuación:

$\text{Find the lowest common denominator:} \qquad \qquad \quad \qquad \text{LCM} = 48\!\\\\\\\text{Multiply all terms in the equation by the LCM:} \qquad \ \ 48 \cdot \frac{t}{12}+48 \cdot \frac{t}{16}=48 \cdot 1\!\\\\\\\text{Cancel common factors in each term:} \qquad \qquad \qquad \quad \ 4 \cdot \frac{t}{1}+3 \cdot \frac{t}{1}=48 \cdot 1\!\\\\\\\text{Simplify:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 4t+3t=48\!\\\\\\{\;} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ 7t=48 \Rightarrow t=\frac{48}{7}=6.86 \ hours$

Revisión: La respuesta es lógica. Esperábamos que el trabajo tomara más de la mitad del tiempo que le tomaría a Mary pero menos de la mitad del tiempo que le tomaría a John, ya que Mary trabaja más rápido que John.

Mira esto si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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Vocabulario

La resistencia total puede encontrarse usando la expresión: $R_{tot}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$

Práctica guiada

Suzie y Mike tardan dos horas en cortar un jardín cuando trabajan juntos. A Suzie le toma 3.5 horas cortar el mismo jardín. ¿Cuánto tardaría Mike en cortar el mismo jardín si trabaja solo?

Solución

Define las variables:

Considera $t =$ el tiempo que le toma a Mike cortar el jardín.

Crea una tabla:

Pintor	Tasa de trabajo (por hora)	Tiempo trabajado	Parte de la tarea
Suzie	$\frac{1}{3.5}=\frac{2}{7}$	2	$\frac{4}{7}$
Mike	$\frac{1}{t}$	2	$\frac{2}{t}$

Crea una ecuación:

Ya que Suzie completó $\frac{4}{7}$ del jardín y Mike completó $\frac{2}{t}$ del jardín y juntos cortaron el jardín en 2 horas, podemos escribir la ecuación: $\frac{4}{7}+\frac{2}{t}=1$

Resuelve la ecuación:

$\text{Find the lowest common denominator:} \qquad \qquad \quad \qquad \text{LCM} = 7t\!\\\\\\\text{Multiply all terms in the equation by the LCM:} \qquad \ \ 7t \cdot \frac{4}{7}+7t \cdot \frac{2}{t}=7t \cdot 1\!\\\\\\\text{Cancel common factors in each term:} \qquad \qquad \qquad \quad \ t \cdot \frac{4}{1}+7 \cdot \frac{2}{1}=7t \cdot 1\!\\\\\\\text{Simplify:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 4t+14=7t\!\\\\\\{\;} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ 3t=14 \Rightarrow t=\frac{14}{3}=4 \frac{2}{3} \ hours$

Revisión: La respuesta es lógica. Esperabamos que Mike trabajara más lento.

Práctica

Para los ejercicios 1 a 5, realiza la siguiente operación y simplifica. Deja el denominador común en su forma factorizada.

$\frac{4x}{x+1}-\frac{2}{2(x+1)}$
$\frac{10}{21}+\frac{9}{35}$
$\frac{2x}{x-4}+\frac{x}{4-x}$
$\frac{5}{2x+3}-3$
$\frac{5x+1}{x+4}+2$

Para los ejercicios 6 a 8, encuentra la resistencia que falta.

$R_1=4, R_2=6, R_{tot}=?$
$R_1=1, R_2=?, R_{tot}=\frac{2}{3}$
$R_1=?, R_2=12, R_{tot}=\frac{36}{15}$

Resuelve los siguientes problemas de cálculo de trabajo.

Andrea puede limpiar las ventanas de la casa en 30 minutos y Jorge puede limpiar las ventanas de la casa en 40 minutos. ¿Cuánto tiempo les tomaría limpiar juntos las ventanas?
Una piscina puedes llenarse con una manguera en 5 horas y con otro tipo de manguera en 7 horas. ¿Cuánto tiempo tomaría llenar la piscina con las dos mangueras?

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