Ecuaciones Racionales que Usan Proporciones

En esta sección, aprenderás a usar los productos cruzados y el mínimo común denominador para resolver ecuaciones racionales.

Digamos que tienes una expresión racional como $\frac{x + 2}{x} - 2 = \frac{1}{x + 3}$ ¿Cómo encontrarías x Después de completar esta sección serás capaz de resolver ecuaciones racionales como ésta usando los productos cruzados y el mínimo común denominador.

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CK-12 Foundation: 1212S Solutions of Rational Equations

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Orientación

Se denomina ecuación racional a la ecuación que contiene expresiones racionales. Puede ser una ecuación que contenga coeficientes racionales o una ecuación que contenga términos racionales en donde la variable aparezca en el denominador.

Un ejemplo del primer tipo de ecuación es: $\frac{3}{5}x+\frac{1}{2}=4$ .

Un ejemplo del segundo tipo de ecuación es: $\frac{x}{x-1}+1=\frac{4}{2x+3}$ .

El primer paso para resolver una ecuación racional es eliminar todos los denominadores. De esta forma, podemos transformar una ecuación racional en una ecuación polinomial que podemos resolver con los métodos que hemos aprendido hasta ahora.

Resolución de ecuaciones racionales usando productos cruzados

Una ecuación racional que contiene solo un término en cada lado puede ser resuelta fácilmente con la multiplicación cruzada. Analiza la siguiente ecuación:

$\frac{x}{5}=\frac{x+1}{2}$

Nuestra primera meta es eliminar los denominadores de ambas expresiones racionales. Para quitar el 5 del denominador de la primera fracción, debemos multiplicar ambos lados de la ecuación por 5:

$5 \cdot \frac{x}{5} &= 5 \cdot \frac{x+1}{2}\\\x &= \frac{5(x+1)}{2}$

Luego, quitamos el 2 del denominador de la segunda fracción multiplicando ambos lados de la ecuación por 2:

$2 \cdot x &= 2 \cdot \frac{5(x+1)}{2}\\\2x &= 5(x+1)$

Ahora podemos resolver la ecuación para $x$ .

Nótese que esta ecuación es lo que obtendríamos si simplemente multiplicamos cada numerador de la ecuación original por el denominador del lado opuesto de la ecuación. Siempre podemos simplificar una ecuación racional con solo dos términos multiplicando cada numerador por el denominador opuesto; esto se denomina multiplicación cruzada.

Ejemplo A

Resuelve la ecuación $\frac{2x}{x+4}=\frac{5}{x}$ .

Solución

$\text{Cross-multiply. The equation simplifies to:} \qquad \qquad \quad 2x^2=5(x+4)\!\\\\\\\text{Simplify:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 2x^2=5x+20\!\\\\\\\text{Move all terms to one side of the equation:} \qquad \qquad \quad \ 2x^2-5x-20=0\!\\\\\\\text{Solve using the quadratic formula:} \qquad \qquad \qquad \qquad \quad x=\frac{5 \pm \sqrt{185}}{4} \Rightarrow \underline{\underline{x=-2.15}} \ \text{or} \ \underline{\underline{x=4.65}}$

Es importante incluir nuestra respuesta en la ecuación original cuando la variable aparece en cualquier denominador de la ecuación, ya que la respuesta puede ser un valor excluido de una de las expresiones racionales: Si la respuesta obtenida hace que cualquier denominador sea igual a cero, ese valor no es una solución real a la ecuación.

Revisión: $\frac{2x}{x+4} = \frac{5}{x} \Rightarrow \frac{2(-2.15)}{-2.15+4} {\overset{?}=} \frac{5}{-2.15} \Rightarrow \frac{-4.30}{1.85} {\overset{?}=} -2.3 \Rightarrow -2.3=-2.3.$ La respuesta es correcta.

$\frac{2x}{x+4} = \frac{5}{x} \Rightarrow \frac{2(4.65)}{4.65+4} {\overset{?}=} \frac{5}{4.65} \Rightarrow \frac{9.3}{8.65} {\overset{?}=} 1.08 \Rightarrow 1.08=1.08.$ La respuesta es correcta.

Resolución de ecuaciones racionales utilizando el mínimo común denominador

Otra forma de eliminar los denominadores de una ecuación racional es multiplicar todos los términos de la ecuación por el mínimo común denominador. Puedes usar este método incluso cuando hay más de dos términos en la ecuación.

Ejemplo B

Resuelve $\frac{3}{x+2}-\frac{4}{x-5}=\frac{2}{x^2-3x-10}$ .

Solución

$\text{Factor all denominators:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \frac{3}{x+2}-\frac{4}{x-5}=\frac{2}{(x+2)(x-5)}\!\\\\\\\text{Find the lowest common denominator:} \qquad \qquad \qquad \qquad \text{LCD} = (x+2)(x-5)\!\\\\\\\text{Multiply all terms in the equation by the LCD:}$

$(x+2)(x-5) \cdot \frac{3}{x+2}-(x+2)(x-5) \cdot \frac{4}{x-5}=(x+2)(x-5) \cdot \frac{2}{(x+2)(x-5)}$

$\text{The equation simplifies to:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 3(x-5)-4(x+2)=2\!\\\\\\\text{Simplify:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 3x-15-4x-8=2\!\\\\\\{\;} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \underline{\underline{x=-25}}$

Revisión: $\frac{3}{x+2}-\frac{4}{x-5}=\frac{2}{x^2-3x-10} \Rightarrow \frac{3}{-25+2}-\frac{4}{-25-5} {\overset{?}=} \frac{2}{(-25)^2-3(-25)-10} \Rightarrow .003=.003.$ La respuesta es correcta.

Ejemplo C

Resuelve $\frac{2x}{2x+1}+\frac{x}{x+4}=1$ .

Solución

$\text{Find the lowest common denominator:} \qquad \qquad \quad \text{LCD} = (2x+1)(x+4)\!\\\\\\\text{Multiply all terms in the equation by the LCD:}$

$(2x+1)(x+4) \cdot \frac{2x}{2x+1}+(2x+1)(x+4) \cdot \frac{x}{x+4}=(2x+1)(x+4)$

$\text{Cancel all common terms.} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ 2x(x+4)+x(2x+1)=(2x+1)(x+4)\!\\\\text{The simplified equation is:} \!\\\\!\\\\text{Eliminate parentheses:} \quad \ \qquad \qquad \qquad \qquad \ \qquad 2x^2+8x+2x^2+x=2x^2+9x+4\!\\\\!\\\\text{Collect like terms:} \qquad \quad \ \qquad \qquad \qquad \qquad \ \qquad 2x^2=4\!\\\\!\\\{\;} \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \qquad x^2=2 \Rightarrow \underline{\underline{x=\pm\sqrt{2}}}$

Revisión: $\frac{2x}{2x+1}+\frac{x}{x+4} = \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+1}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+4}=0.739+0.261=1.$ La respuesta es correcta.

$\frac{2x}{2x+1}+\frac{x}{x+4} = \frac{2\left(-\sqrt{2}\right)}{2\left(-\sqrt{2}\right)+1}+\frac{-\sqrt{2}}{-\sqrt{2}+4}=1.547-0.547=1.$ La respuesta es correcta.

Mira esto si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Solving Rational Equations

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Vocabulario

Para una ecuación cuadrática en forma estándar, $ax^2 + bx + c = 0$ , la fórmula cuadrática es:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Práctica guiada

Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:

1. $\frac{3}{5}x+\frac{1}{2}=4$ .

2. $\frac{x}{x-1}+1=\frac{1}{x+3}$ .

Soluciones:

$\text{Start with the originl equation:} \qquad \qquad \qquad \quad \frac{3}{5}x+\frac{1}{2}=4\!\\\\\\\text{Multiply by the LCD:} \qquad \qquad \qquad 10 \cdot \left(\frac{3}{5}x+\frac{1}{2}\right)=10\cdot 4\!\\\\\\\text{Simplify:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 6x+5=40\!\\\\\\\text{Isolate x first by subtracting 5 from each side:} \qquad \qquad \quad \ 6x+5-5=40-5\!\\\\\\\text{Simplify:} \qquad \qquad \quad \ 6x=35\!\\\\\\\text{Isolate x by dividing by 6:} \qquad \qquad \quad \ \frac{6x}{6}=\frac{35}{6}\!\\\\\\\text{Simplify:} \qquad \qquad \quad \ x=5 \frac{5}{6}$

$\text{Start with the originl equation:} \qquad \qquad \qquad \quad \frac{x}{x-1}+1=\frac{1}{x+3}.\!\\\\\\\text{Multiply by the LCD:} \qquad \qquad \qquad \quad (x-1)(x+3)\cdot\left(\frac{x}{x-1}+1\right)=(x-1)(x+3)\cdot\frac{1}{2x+3}.\!\\\\\\\text{Simplify:} \qquad \qquad \qquad \quad x(x+3)+1(x-1)(x+3)=1(x-1)\!\\\\\\\text{Distribute:} \qquad \qquad \qquad \quad x^2+3x+x^2+3x-1x-3=x-1\!\\\\\\\text{Combine like terms:} \qquad \qquad \qquad \quad 2x^2+5x-3=x-1\!\\\\\\\text{Set one side equal to 0:} \qquad \qquad \qquad \quad 2x^2+4x+-2=0$

Ahora tenemos una ecuación cuadrática. Ya que no es factorizable (¡compruébalo!), tenemos que usar la fórmula cuadrátic.

$\text{Start with the quadratic formula.} \qquad x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\\\text{Substitute in the appropriate values.} \qquad x &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)}\\\\text{Simplify.} \qquad x &= \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{4}=\frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{4}=-1 \pm \sqrt{2}$

Esto significa que $x=-1+\sqrt{2} \approx 0.4$ o $x=-1-\sqrt{2} \approx -2.4$

Práctica

Resuelve las siguientes ecuaciones racionales.

$\frac{2x+1}{4}=\frac{x-3}{10}$
$\frac{4x}{x+2}=\frac{5}{9}$
$\frac{5}{3x-4}=\frac{2}{x+1}$
$\frac{7}{x+3}=\frac{x+1}{2x-3}$
$\frac{7x}{x-5}=\frac{x+3}{x}$
$\frac{2}{x+3}-\frac{1}{x+4}=0$
$\frac{3}{2x-1}+\frac{2}{x+4}=2$
$\frac{2x}{x-1}-\frac{x}{3x+4}=3$
$\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-4}{x+4}=3$
$\frac{x}{x-2}+\frac{x}{x+3}=\frac{1}{x^2+x-6}$
$\frac{2}{x^2+4x+3}=2+\frac{x-2}{x+3}$
$\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x-5}=\frac{1-x}{x+5}$
$\frac{x}{x^2-36}+\frac{1}{x-6}=\frac{1}{x+6}$
$\frac{2x}{3x+3}-\frac{1}{4x+4}=\frac{2}{x+1}$
$\frac{-x}{x-2}+\frac{3x-1}{x+4}=\frac{1}{x^2+2x-8}$

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