Aplicación de las Ecuaciones Racionales

En esta sección, aprenderás a resolver problemas de distancia y otros problemas cotidianos que requieren el uso de ecuaciones racionales. .

Digamos que tomas un vuelo en avión. La corriente de la propulsión a chorro es de 100 millas por hora. Te tomó la misma cantidad de tiempo viajar 3.000 millas sin la corriente que viajar 2.000 millas con la corriente. ¿Cómo puedes determinar la velocidad del avión volando en condiciones de viento en calma? Luego de terminar esta sección, serás capaz de resolver problemas cotidianos como este usando ecuaciones racionales.

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CK-12 Foundation: 1213S Solve Applications Using Rational Equations

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

Un problema de movimiento sin aceleración se rige por la fórmula $distance = speed \times time$ . Estos problemas pueden requerir la adición y sustracción de expresiones racionales.

Ejemplo A

El fin de semana pasado Nadia anduvo en canoa por el Río Snake. La corriente del río es de tres millas por hora. A Nadia le tomó la misma cantidad de tiempo viajar 12 millas río abajo que subir 3 millas río arriba. Determina qué tan rápido iría la canoa de Nadia si viajara en aguas tranquilas.

Solución

Define las variables:

Considera $s =$ la velocidad de la canoa en aguas calmas

Luego, $s + 3 =$ la velocidad de la canoa río abajo

$s - 3 =$ la velocidad de la canoa río arriba

Crea una tabla:

Dirección	Distancia (millas)	Velocidad	Tiempo
Río abajo	12	$s + 3$	$t$
Río arriba	3	$s - 3$	$t$

Escribe la ecuación:

Ya que $distance = rate \times time$ , podemos decir que $time=\frac{distance}{rate}$ .

$\text{The time to go downstream is:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad t=\frac{12}{s+3}\!\\\\\\\text{The time to go upstream is:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad t=\frac{3}{s-3}\!\\\\\\\text{Since the time it takes to go upstream and downstream are the same, we have:} \qquad \frac{3}{s-3}=\frac{12}{s+3}$

Resuelve la ecuación:

$\text{Cross-multiply:} \qquad \qquad \qquad \qquad 3(s+3)=12(s-3)\!\\\\\\\text{Simplify:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ 3s+9=12s-36\!\\\\\\\text{Solve:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad s=5 \ mi/h$

Revisión: Revisión: $t=\frac{12}{8}=1 \frac{1}{2} \ hour$ ; río abajo : $t=\frac{3}{2}=1 \frac{1}{2} \ hour$ . La respuesta es correcta.

Ejemplo B

Peter pasea en su bicicleta. Cuando va cuesta arriba, tiene una velocidad promedio de 8 millas por hora y cuando va cuesta abajo promedia una velocidad de 14 millas por hora. Si la distancia total que viaja es de 40 millas y el tiempo total que le toma el paseo es cuatro horas, ¿Cuánto tiempo anduvo a cada velocidad?

Solución

Define las variables:

Considera $d =$ la distancia que Peter recorre cerro arriba a 8 millas por hora.

Construct a table:

Crea una tabla	Distancia (millas)	Velocidad (mph)	Tiempo (horas)
Uphill	$d$	8	$t_1$
Downhill	$40 - d$	14	$t_2$

Escribe la ecuación:

Sabemos que $time=\frac{distance}{rate}$ .

$\text{The time to go uphill is:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad t_1=\frac{d}{8}\!\\\\\\\text{The time to go downhill is:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad t_2=\frac{40-d}{14}\!\\\\\\\text{We also know that the total time is} \ 4 \ \text{hours:} \qquad \ \frac{d}{8}+\frac{40-d}{14}=4$

Resuelve la ecuación:

$\text{Find the lowest common denominator:} \qquad \qquad \qquad \qquad \ \text{LCD}=56\!\\\\\\\text{Multiply all terms by the common denominator:} \qquad \qquad 7d+160-4d=224\!\\\\\\\text{Solve:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \qquad \qquad \qquad d=21.3 \ mi$

Revisión: Cuesta arriba: $t=\frac{21.3}{8}=2.67 \ hours$ ; cuesta abajo : $t=\frac{40-21.3}{14}=1.33 \ hours$ . La respuesta es correcta.

Ejemplo C

Un grupo de amigos decide reunir su dinero y comprar un regalo que cuesta $200 dólares. Más tarde, 12 amigos deciden no participar. Esto significa que cada persona pagó $15 dólares más que los contados en su participación original. En un principio, ¿cuánta gente había en el grupo?

Solución

Define las variables:

Considera $x =$ como el número de amigos en el grupo original.

Crea una tabla:

	Número de personas	Precio del regalo	Cantidad del aporte
Grupo original	$x$	200	$\frac{200}{x}$
Grupo final	$x - 12$	200	$\frac{200}{x-12}$

Escribe la ecuación:

Ya que la participación de cada persona subió $15 dólares luego de que 12 se negaran a pagar, escribimos la ecuación $\frac{200}{x-12}=\frac{200}{x}+15$

Resuelve la ecuación:

$\text{Find the lowest common denominator:} \qquad \quad \text{LCD} =x(x-12)\!\\\\\\\text{Multiply all terms by the LCD:} \qquad \qquad \qquad x(x-12) \cdot \frac{200}{x-12}=x(x-12) \cdot \frac{200}{x}+x(x-12) \cdot 15\!\\\\\\\text{Cancel common factors and simplify:} \qquad \qquad \ 200x=200(x-12)+15x(x-12)\!\\\\\\\text{Eliminate parentheses:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ 200x=200x-2400+15x^2-180x\!\\\\\\\text{Get all terms on one side of the equation:} \qquad 0=15x^2=180x-2400\!\\\\\\\text{Divide all terms by} \ 15: \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \ 0=x^2-12x-160\!\\\\\\\text{Factor:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad 0=(x-20)(x+8)\!\\\\\\\text{Solve:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \quad \ x=20, x=-8$

La respuesta lógica es $x = \mathbf{20}$ personas.

Revisión: Originalmente los $200 dólares compartidos entre 20 personas nos da una cuota de $10 dólares cada uno. Luego de que 12 personas dejaran el grupo, los $200 dólares entre 8 personas significan una cuota de $25 dólares cada uno, por lo que cada persona paga $15 dólares má. La respuesta es correcta.

Mira esto si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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Vocabulario

Ya que $distance = rate \times time$ , podemos decir que $time=\frac{distance}{rate}$ .

Práctica guiada

Carrie es una corredora. Cuando va cuesta arriba tiene una velocidad promedio de 2 millas por hora y cuando va cuesta abajo promedia una velocidad de 5 millas por hora. Si corre por las empinadas calles de San Francisco, la distancia total que recorre es 13,5 millas y el total del tiempo que corre es 4,5 horas, ¿Cuánto tiempo corrió cuesta arriba y cuánto tiempo corrió cuesta abajo?

Solución

Define las variables:

Considera $t_1 =$ el tiempo que Carrie corre cuesta arriba.

Considera $t_2 =$ el tiempo que Carrie corre cuesta abajo.

Considera $d =$ la distancia que Carrie recorre cuesta arriba.

Crea una tabla:

Dirección	Distancia (millas)	Velocidad (mph)	Tiempo (horas)
Cuesta arriba	$d$	2	$t_1$
Cuesta abajo	$13.5 - d$	5	$t_2$

Escribe la ecuación:

Sabemos que $time=\frac{distance}{rate}$ .

$\text{The time to go uphill is:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad t_1=\frac{d}{2}\!\\\\\\\text{The time to go downhill is:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad t_2=\frac{13.5-d}{5}\!\\\\\\\text{We also know that the total time is} \ 4.5 \ \text{hours:} \qquad \ \frac{d}{2}+\frac{13.5-d}{5}=4.5$

Resuelve la ecuación:

$\text{Find the lowest common denominator:} \qquad \qquad \qquad \qquad \ \text{LCD}=2\cdot 5=10\!\\\\\\\text{Multiply all terms by the common denominator:} \qquad \qquad 5d+27-2d=45\!\\\\\\\text{Solve:} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \qquad \qquad \qquad d=6 \ mi$

Ya que $d=6$ es la distancia que Carrie corrió cuesta arriba, entonces $13.5-d=13.5-6=7.5$ es la distancia que Carrie corrió cuesta abajo.

Revisión: Cuesta arriba: $t=\frac{6}{2}=3 \ hours$ ; cuesta abajo: $t=\frac{13.5-6}{5}=1.5 \ hours$ . La respuesta es correcta.

Práctica

Para los ejercicios 1 a 4, resuelve $x$ .

$\frac{3x^2+2x-1}{x^2-1}=-2$
$x+\frac{1}{x}=2$
$-3+\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x}$
$\frac{1}{x}-\frac{x}{x-2}=2$

Para los ejercicios 5 a 10, resuelva las siguientes aplicaciones.

Juan trota una cierta distancia y camina otra distancia. Cuando trota, promedia una velocidad de 7 millas por hora y cuando camina, una velocidad de 3,5 millas por hora. Si camina y trota un total de 6 millas en 1,2 horas, ¿Qué distancia trota y qué distancia camina?
Un bote viaja 60 millas río abajo en el mismo tiempo que viaja 40 millas río arriba. La velocidad del bote en aguas calmas es de 20 millas por hora. Encuentra la velocidad de la corriente.
Paul deja San Diego conduciendo a 50 millas por hora. Dos horas más tarde, su madre se da cuenta de que Paul olvidó algo y conduce en la misma dirección a 70 millas por hora. ¿Cuánto tiempo le tarda alcanzar a Paul?
En un viaje, un avión vuela a una velocidad constante contra el viento y en el viaje de vuelta el avión vuela junto al viento. Al avión le toma la misma cantidad de tiempo volar 300 millas contra el viento que volar 420 millas con viento a favor. El viento sopla a 30 millas por hora. ¿Cuál es la velocidad del avión cuando no hay viento?
Un grupo de amigos comparte equitativamente una deuda de $420 dólares. Cuando cinco de los amigos deciden que no pagarán, la cuota de los otros amigos sube en $25 dólares. ¿Cuántos amigos más habían en el grupo original?
Una organización sin fines de lucro recolectó $2250 en donaciones igualitarias de sus miembros para costear la mejora de un parque. Si hubiera treinta miembros más, entonces cada miembro contribuiría $20 dólares menos. ¿Cuántos miembros tiene esta organización?

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