Mediciones de Probabilidad

Digamos que estás jugando un juego de mesa en el cual tiras dos dados simultáneamente. Necesitas que los dados den exactamente 11 en tu siguiente turno para que ganes el juego. ¿Cómo podrías determinar la probabilidad de que obtengas un 11? Una vez que completes esta sección, podrás encontrar la probabilidad teórica y calcular las posibilidades de eventos como éste.

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CK-12 Foundation: Theoretical Probability

Orientación

Un espacio de muestreo es el conjunto de todos los resultados posibles para un evento. Cuando lanzamos una moneda, el espacio de muestreo consiste de 2 resultados: obtener cara y obtener sello. Cada uno de estos resultados ( caras y sellos ) se podría considerar un evento . Cada evento tiene un elemento coincidente en el espacio de muestreo .

Por ejemplo, tirar un solo dado tiene 6 resultados posibles: el dado puede mostrar cualquier número del 1 al 6. Podemos decir que el espacio de muestreo de un dado contiene 6 resultados: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si estamos interesados en obtener un 6, entonces obtener 6 es nuestro evento y este evento tiene 1 elemento coincidente en el espacio de muestreo: {6}. Por otro lado, si queremos obtener un número par al tirar el dado, entonces obtener un número par es nuestro evento, y este evento tiene 3 elementos coincidentes en el espacio de muestreo: {2, 4, 6}.

Ejemplo A

Se lanza un par de dados estándar de 6 lados, y el total de los números que se obtienen determina el puntaje del jugador. Encuentra el espacio de muestreo de los resultados posibles y determina cuántos resultados se obtienen para un puntaje de 5.

Solution

Los puntajes que puede obtener un jugador son los que están en el siguiente conjunto: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Pero el espacio de muestreo no es sólo este conjunto de 11 eventos. Por ejemplo, hay sólo una manera de obtener 12: el jugador debe lograr un seis en cada uno de los dados. Pero para obtener un 5, el jugador puede tirar los dados y obtener un 1 y un 4, o un 2 y un 3. Además, hay dos posibilidades para cada una de estas combinaciones (imagina que un dado es rojo y otro dado es verde: podríamos obtener un 1 en el dado rojo y un 4 en el dado verde o podríamos obtener un 4 en el rojo y un 1 en el verde). Aunque los dados que realmente utilizamos pueden parecer idénticos, siguen siendo entidades separadas y qué dado entrega qué número sí hace una diferencia. Entonces hay 4 maneras para que un jugador pueda obtener 5:

Para encontrar el espacio de muestreo completo, debemos considerar todos los resultados posibles. La mejor manera para hacer esto es con una tabla (los resultados que dan un puntaje de 5 aparecen destacados):

El espacio de muestreo (visto arriba) tiene 36 resultados, de los cuales 4 resultan en un puntaje de cinco.

Fíjate que el número de resultados en el espacio de muestreo cuando tiras dos dados es el producto del número de resultados cuando tiras un dado y el número de resultados cuando tiras el otro dado. Esto significa que hay 6 resultados posibles para un dado y 6 resultados para el otro dado, entonces hay resultados posibles cuando tiras ambos dados juntos. Esta propiedad será importante más adelante.

Encontrar la probabilidad teórica de un evento

La probabilidad teórica de un evento es una medición de qué tan probable es un resultado dado (el evento ) para un experimento en particular, tal como lanzar una moneda. Si el experimento fuera llevado a cabo un número infinito de veces, la probabilidad de un evento particular sería la proporción de cuántas veces un evento particular ocurriera con cuántas veces se hizo el experimento.

Escribimos la probabilidad de que un evento particular, , ocurra como:

Por ejemplo, cuando lanzamos una moneda puede que solo estemos interesados en obtener caras. Podemos denotar esta probabilidad como:

Sabemos que el espacio de muestreo para el lanzamiento de una moneda tiene dos elementos: caras y sellos (o y ). Cada una es tan probable de que ocurra como la otra, entonces sabemos que:

Para encontrar la probabilidad de un evento particular, miramos cuántos resultados posibles colaborarían para que ocurra ese evento y dividimos ése número por el número total de resultados en el espacio de muestreo.

Cuando tiramos un dado de 6 caras, sabemos que las oportunidades de obtener 3 son 1 en 6. Esto es, de hecho, la probabilidad de obtener 3:

Ejemplo B

Se lanzan cuatro monedas simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres o más sellos?

Solución

Comenzaremos por enumerar todos los resultados posibles en una tabla. Pero, ¿cuántos elementos tendrá la tabla?

Recuerda que, cuando tiramos 2 dados al mismo tiempo, encontramos el número de resultados al multiplicar el número de resultados para un dado por el número de resultados para el otro dado. Entonces si vamos a lanzar cuatro monedas, tiene sentido multiplicar el número de resultados para cada una de las cuatro monedas juntas. Hay dos posibles resultados para cada moneda, por ende cuando lanzamos las cuatro monedas al mismo tiempo debería haber resultados. Organicemos estos resultados de la siguiente manera:

Una vez que llenemos la tabla, podemos ver que hay, de hecho, 16 resultados posibles y que 5 de esos resultados coinciden con nuestro evento . Entonces la probabilidad de obtener tres o más sellos es .

Encontrar posibilidades a favor y en contra de un evento

Cuando hablamos de probabilidad , generalmente pensamos (como lo hemos visto en esta sección) en la proporción del número de veces que nuestro evento ocurre con el número de veces que el experimento se realizó.

Otra forma para hablar sobre las oportunidades de que un evento ocurra es con posibilidades . Quizás has escuchado las frases “cincuenta y cincuenta” o “posibilidades iguales” para describir una situación impredecible como por ejemplo las oportunidades de obtener cara cuando lanzas una moneda. La frase significa que obtener cara es tan probable como obtener sello (cada evento ocurre el 50% de las veces). Las posibilidades de un evento se obtienen de la proporción del número de veces que un evento ocurre con el número de veces que el evento no ocurre. En términos del espacio de muestreo esto significa que:

Mientras que podríamos describir probabilidad como

Para evitar confusiones con la probabilidad, las posibilidades se dejan generalmente como una proporción tal como 1:5, lo que se podría leer como “uno a cinco”. Cuando se lee la probabilidad como una proporción se escribe generalmente como una fracción, por ejemplo , lo que generalmente se leería “uno en cinco.”

Ejemplo C

Encuentra las posibilidades de los siguientes eventos:

a) Lanzar una moneda y obtener cara.

b) Tirar un dado y obtener un 3.

c) Lanzar 4 monedas y obtener exactamente 3 sellos.

Solución

La clave para encontrar posibilidades es ver cuántos resultados se obtienen en el evento y cuántos no se obtienen :

a) El espacio de muestreo consiste de dos resultados: 1 cara y 1 que no es cara. Las posibilidades de obtener cara son 1 : 1 ( uno a uno , o iguales ).

b) El espacio de muestreo consiste de 6 resultados: 1 tres y 5 que no son 3. Las posibilidades de obtener un tres son 1 : 5 ( uno a cinco ).

c) Mira de nuevo el ejemplo 4 donde encontramos el espacio de muestreo del lanzamiento de 4 monedas. El espacio de muestreo consiste de 4 resultados donde se obtiene exactamente 3 sellos y 12 resultados donde no se obtienen. Entonces las posibilidades de obtener 3 sellos son 3 : 12 = 1 : 4 ( uno a cuatro ).

Mira cuidadosamente la parte b) de arriba. Esto muestra la necesidad de evitar confusión entre posibilidades y probabilidades. Sabemos que la probabilidad de obtener un 3 es o “uno en seis”, pero las posibilidades describen el mismo evento con una proporción de 1 : 5 o “uno a cinco” .

Mira esto si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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Vocabulario

• Un espacio de muestreo es el conjunto de todos los resultados posibles para un evento.

• The posibilidades de un evento se obtienen por la proporción del número de veces que ocurre el evento con el número de veces que el evento no ocurre En términos del espacio de muestreo esto significa:

• Mientras que podríamos describir probabilidad como

Práctica guiada

Determina la probabilidad de obtener 5 como el puntaje combinado del lanzamiento de dos dados.

Solución

Vimos (en el ejemplo 2) que hay 4 maneras en que podemos obtener un puntaje de 5 si lanzamos 2 dados: {(1 & 4), (2 & 3), (3 & 2), (4 & 1)}. El espacio de muestreo consiste de elementos, por ende la probabilidad de obtener un 5 con 2 dados es

Práctica

Para los ejercicios del 1 al 4, encuentra el espacio de resultados en el espacio de muestreo de:

1. Lanzar 3 monedas simultáneamente.
2. Tirar 3 dados y sumar el puntaje.
3. Tirar 3 dados e interpretar el resultado como un dígito de 3 números.
4. Sacar una carta de un mazo estándar de 52 cartas.

Para los ejercicios del 5 al 8, encuentra la probabilidad teórica de:

5. Lanzar 3 monedas simultáneamente y obtener 2 o más caras.
6. Tirar 3 dados, sumar el resultado y obtener 17.
7. Tirar 3 dados e interpretar el resultado como un dígito de 3 números y obtener 333.
8. Sacar un trébol de un mazo estándar de 52 cartas.

Para los ejercicios del 9 al 12, encuentra las posibilidades de:

9. Lanzar 3 monedas simultáneamente y obtener 2 o más caras.
10. Tirar 3 dados, sumar el puntaje y obtener 12.
11. Tirar 3 dados e interpretar el resultado como un número de 3 dígitos y no obtener 333.
12. Sacar un trébol de un mazo estándar de 52 cartas.