Permutaciones

Aquí aprenderás un método para calcular el número de maneras con las cuales se pueden organizar objetos, conocido como permutación. Además aprenderás a usar notación factorial en una fórmula para encontrar el número de permutaciones.

Digamos que fuiste escogido para ser el juez en el concurso de pasteles en tu feria local. Puedes escoger tres de las 10 concursantes para que pasen a la final. ¿De cuántas maneras podrías escoger tus tres favoritos? Una vez que completes esta sección, podrás calcular permutaciones como ésta usando factoriales.

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CK-12 Foundation: Permutations

Orientación

En esta sección veremos maneras para organizar cosas. Para ilustrar lo que queremos decir con esto, veamos un ejemplo simple. Piensa en escoger tu color favorito de la siguiente lista de opciones; rojo, azul, verde, amarillo, rosado, morado, anaranjado, café, negro . Claramente hay nueve colores diferentes, por ende hay nueve opciones posibles que puedes escoger.

Ahora piensa en escoger los tres colores que más te gusten en orden de preferencia. Hay muchas maneras distintas con las que puedes escoger los tres que más te gusten. Podrías escoger el rojo como tu color favorito, seguido del negro y luego el verde. Otra persona podría escoger los mismos colores que tú, pero en un orden distinto. Cuando escoges elementos de una lista y el orden en que los escoges es importante , la organización de ellos se conoce como permutación . ¿Cuántas permutaciones distintas crees que hay para esta situación?

En esta sección usaremos métodos de conteo para determinar cuántas permutaciones tiene una situación. También descubriremos una fórmula para calcular permutaciones cuando el conteo por sí solo es impráctico.

Permutaciones de conteo

En casos simples, a veces es más fácil calcular permutaciones sólo con enumerar todas las posibilidades y contarlas. Examinemos una situación donde es relativamente más directo hacer esto.

Ejemplo A

Nadia y Peter van a ver dos películas un sábado muy lluvioso. Nadia escogerá la primera película y Peter la segunda. Las cuatro películas que tienen para escoger son El Rey León, Aladino, Toy Story y Pinocho. Ya que Peter escogerá una película distinta a la de Nadia, ¿cuántas permutaciones existen para las películas que verán?

Solución

Ya que el orden en que ellos verán las películas es importante y no pretenden escoger la misma película dos veces, podemos enumerar todas las distintas posibilidades en una tabla:

Primera película	Segunda película
Rey León	Aladino
Rey León	Toy Story
Rey León	Pinocho
Aladino	Rey León
Aladino	Toy Story
Aladino	Pinocho
Toy Story	Rey León
Toy Story	Aladino
Toy Story	Pinocho
Pinocho	Rey León
Pinocho	Aladdin
Pinocho	Toy Story

Puedes ver que esta tabla contiene todas las posibilidades para esta situación. Hay cuatro películas que Nadia puede escoger. Para cada película que Nadia escoge primero, Peter tiene tres opciones restantes para su película. Simplemente al contar las filas en la tabla puedes ver que hay 12 permutaciones en esta situación.

Ejemplo B

Tengo 5 cartas con los números del 1 al 5. Tomo tres cartas y las organizo para formar un número de tres dígitos. ¿Cuántos números de 3 dígitos puedo hacer?

Ya que los números que podemos hacer calzan en un patrón de ordenación numérico, podemos enumerar las posibilidades en un orden creciente:

$& 123 \ 124 \ 125 \ 132 \ 134 \ 135 \ 142 \ 143 \ 145 \ 152 \ 153 \ 154\\\& 213 \ 214 \ 215 \ 231 \ 234 \ 235 \ 241 \ 243 \ 245 \ 251 \ 253 \ 254\\\& 312 \ 314 \ 315 \ 321 \ 324 \ 325 \ 341 \ 342 \ 345 \ 351 \ 352 \ 354\\\& 412 \ 413 \ 415 \ 421 \ 423 \ 425 \ 431 \ 432 \ 435 \ 451 \ 452 \ 453\\\& 512 \ 513 \ 514 \ 521 \ 523 \ 524 \ 531 \ 532 \ 534 \ 541 \ 542 \ 543$

Al organizar la tabla de esta manera, puedes ver cómo el número de opciones restantes disminuye mientras escogemos números. Hay cinco opciones para el primer número, cuatro opciones para el segundo número y tres opciones para el tercer número. Contar las opciones de la tabla entrega un total de 60 permutaciones .

Si miramos con atención los dos últimos ejemplos podemos ver que un patrón comienza a aparecer. Los matemáticos aman los patrones, los cuales llevan a fórmulas y así nos hacen la vida mucho más fácil. Después de todo, ¿para qué pasar horas contando posibilidades cuando una fórmula puede calcularlas en segundos?

En el ejemplo A, Nadia tenía cuatro opciones y Peter tres. El número de permutaciones era $4 \times 3 = 12.$

En el ejemplo B había 5 opciones para el primer dígito, seguido de 4 opciones para el segundo dígito y luego 3 opciones para el tercer dígito. El número total de permutaciones era $5 \times 4 \times 3 = 60$ .

En la introducción, pensamos en escoger nuestros tres colores favoritos de una lista de nueve colores. Ahora deberías poder hacer esto. Incluso sin enumerar todas las posibilidades, puedes ver que tienes 9 opciones para tu favorito, 8 opciones para tu segundo favorito y 7 opciones para tu tercero. El número de permutaciones es por lo tanto $9 \times 8 \times 7 = 504$ .

Notación factorial

Mira de nuevo la lista de colores en la introducción y piensa esta vez en escribir cada color en tu orden de preferencia. Tendrías 9 opciones para tu favorito, seguido de 8 opciones para tu segundo favorito, luego 7, luego 6, luego 5 y así sucesivamente. Para determinar el número de permutaciones para cualquier lista posible, haríamos el siguiente cálculo:

$\text{Color Permutations} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

Este tipo de patrón nos presenta un gran problema en estadística, probabilidad y teoría numérica. Es tan común que tiene su propia notación: $4 \times 3 \times 2 \times 1$ se escribe como 4! y se le llama cuatro factorial . Por ende el número de permutaciones del color que vimos anteriormente es nueve factorial = 9! = 362,880.

Entonces ¿qué pasa cuando queremos sólo los primeros términos en un factorial? Por ejemplo, el número de permutaciones para organizar TODOS los colores es 362.880, pero el número de permutación para los tres primeros es 504.

Una forma para obtener este resultado es dividir un factorial por otro. Probemos nueve factorial dividido por seis factorial:

$\frac{9!}{6!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times \cancel{6} \times \cancel{5} \times \cancel{4} \times \cancel{3} \times \cancel{2} \times \cancel{1}}{\cancel{6} \times \cancel{5} \times \cancel{4} \times \cancel{3} \times \cancel{2} \times \cancel{1}} = 9 \times 8 \times 7 = 504$

Los elementos en el factorial seis eliminan todos los del factorial nueve a excepción de los primeros tres. Deberías notar que si quisiéramos los primeros cuatro elementos dividiríamos por 5! , o sólo para los primeros dos términos dividiríamos por 7! . En general, sin importar cuántos elementos queramos mantener, dividimos por el factorial de la cantidad:

$(number \ of \ items \ in \ list) - (number \ of \ items \ we \ are \ choosing)$

Entonces, para obtener los primeros cinco términos en un factorial doce utilizaríamos la fórmula $\frac{12!}{(12-5)!} = \frac{12!}{7!}$ .

Fórmulas como ésta son útiles si tienes una calculadora que puede calcular factoriales: puedes tan solo ingresar $\frac{12!}{7!}$ en vez de $12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8$ . Sin embargo, algunas factoriales son muy grandes para algunas calculadoras y en estos casos necesitarías simplificar la fracción y hacer la multiplicación.

Ejemplo C

¿De cuántas maneras puede Dale escoger sus 5 canciones favoritas del actual ranking de Billboard Hot $100^{TM}$ ?

Solución

Para encontrar la respuesta, considera cuántas opciones tiene Dale en cada etapa. Para su primera elección, tiene 100 canciones para escoger, luego 99, luego 98 y así sucesivamente. Necesitamos sólo las cinco primeras canciones, por ende nuestro cálculo es:

$\text{Permutations} = \frac{100!}{(100-5)!} = \frac{100!}{95!} &= 100 \times 99 \times 98 \times 97 \times 96 \\\ &= 9,034,502,400$

Fíjate que es un número bastante grande, ¡demasiado grande como para ingresarlo en una tabla! Esta es la razón por la que necesitamos fórmulas para ayudarnos a contar permutaciones.

Encontrar permutaciones utilizando una fórmula

Acabamos de ver que una fórmula para determinar el número de permutaciones para escoger 3 objetos de una lista de 9 objetos es:

Ahora estamos listos para trabajar con una fórmula para determinar permutaciones. Cuando escogemos $r$ elementos ordenados de un grupo de $n$ elementos, el número de permutaciones se obtiene de los primeros $r$ términos en $n!$ Utilizamos la notación $_nP_r$ para esto y la fórmula general para calcular permutaciones es:

${_n}P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$

Ejemplo D

¿Cuántas formas hay para escoger un mix de 5 canciones de un CD que contiene 12 canciones?

Solución

Escoger 5 de 12: $_{12}P_5 =\frac{12!}{(12-5)!}=\frac{12!}{7!} =12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 = 95,040 \ ways$

Mira esto si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Permutations

Vocabulario

Una permutación es cuando escogemos $r$ elementos ordenados de un grupo de $n$ elementos, donde el orden escogido importa. El número de permutaciones se obtiene con la fórmula:

${_n}P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$

Práctica guiada

¿Cuántas “palabras” de tres letras se pueden hacer de las letras que hay en la palabra “computador”? (las palabras NO necesitan ser reales, o incluso pronunciables, por ejemplo “rtp” contaría como palabra)

Solución

Escoger 3 de 8: $_8P_3 =\frac{8!}{(8-3)!}=\frac{8!}{5!} =8 \times 7 \times 6 = 336 \ words$

Práctica

¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras $a, b, c, d, e$ ?
¿De cuántas maneras se pueden ordenar los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
De una colección de 12 libros, se van a seleccionar 5 y se pondrán en un orden particular dentro de un estante. ¿Cuántas maneras hay para ordenarlos?
Se escogen 3 cartas al azar de un mazo de 52 cartas y se ponen en una fila. ¿Cuántos resultados posibles hay para el orden de las cartas?
¿Cuántas permutaciones distintas de 3 letras puedes hacer de las letras en la palabra en inglés HEXAGON?
¿Cuántas permutaciones distintas de 2 letras puedes hacer de las letras en la palabra en inglés GEESE?
Una máquina de discos tiene 50 canciones. Si se paga $1,00 por tres canciones, ¿cuántas permutaciones hay para escoger tres diferentes canciones?

Para los problemas del 8 al 16, calcula los siguientes ejercicios:

$_3P_1$
$_7P_1$
$_6P_2$
$_8P_8$
$_9P_3$
$_7P_3$
$_{19}P_7$
$_{99}P_3$
$_3P_0$

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