Probabilidad y Permutaciones

Aquí aprenderás cómo encontrar la probabilidad de eventos que involucren permutaciones.

Digamos que te piden escoger los últimos tres ganadores en un concurso de talentos. ¿De cuántas maneras podrías escoger el primer, segundo y tercer lugar de un total de 20 participantes? Una vez que completes esta sección, podrás calcular probabilidades de eventos como este utilizando permutaciones.

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CK-12 Foundation: Probability and Permutations

Orientación

Cuando hablamos sobre probabilidad, estamos hablando sobre oportunidades. Puede que usemos palabras como “posible” para indicar que algo tiene una oportunidad baja o media de ocurrir, o “probable” para indicar que algo tiene una oportunidad alta de ocurrir.

Cuando realizamos cálculos en probabilidad, generalmente estamos mirando una situación para encontrar el número de resultados favorables en relación el número total de todos los resultados posibles. En matemática, un resultado favorable simplemente significa el resultado que estamos buscando para resolver. En el transcurso de 100 días, un niño podría recibir helado en 25 de esos días. Un matemático miraría la información y concluiría que la fracción de días que el niño recibe helado es un cuarto. También podría concluir que en cualquier día el niño tiene una oportunidad de “una en cuatro” de recibir el helado. Esta es una manera de ver la probabilidad: el número de veces que algo favorable sucede dividido por el número total de resultados. No tenemos cómo estar seguros si el niño recibirá helado hoy, pero podemos estimar la oportunidad que esto sucederá al mirar el número de veces que obtuvo helado y el número de veces que no.

Ejemplo A

En una sección anterior, vimos un ejemplo donde Nadia y Peter iban a ver dos películas en un sábado lluvioso. Nadia escogería la primera película y Peter la segunda. Las cuatro películas que tenían para escoger eran El Rey León, Aladino, Toy Story y Pinocho. Dado que Peter escogería una película distinta a la de Nadia, ¿cuál es la probabilidad que Aladino sea la segunda película que ellos vean?

Solución

Anteriormente descubrimos que hay un total de 12 resultados posibles. De esos 12, Aladino fue la segunda película 3 veces. Entonces la probabilidad es así:

$P(\text{Aladdin being second}) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} =$ uno en cuatro o 25%.

Example B

El juego de cartas “21 corazones” consiste en entregar dos cartas a un jugador y contar los puntos de la siguiente manera: figuras (rey, reina, jota) valen 10 puntos y las cartas numéricas valen su número excepto los aces , que valen 11. El puntaje máximo es 21. Si se juega sólo con 13 cartas con el palo de corazones, ¿cuál es la probabilidad de que un jugador obtenga 21 puntos?

Solución

Para encontrar la respuesta debemos saber dos cosas importantes: 1) el número total de permutaciones que se pueden obtener en el juego y 2) el número de permutaciones que equivalen a 21 puntos.

Para encontrar el número total de permutaciones para el juego, usa la fórmula $_nP_r$ con $n = 13$ y $r = 2$ :

${_{13}}P_2 = \frac{13!}{(13-2)!} =\frac{13!}{11!}= 13 \times 12 = 156 \ \text{permutations}$

Ahora debemos determinar cuántas de esas permutaciones obtienen 21 puntos. Podemos hacer esto simplemente enumerando maneras de obtener 21 puntos. Recuerda que, como estamos hablando de permutaciones, las combinaciones (as, rey) y (rey, as) cada uno cuenta como manos separadas. Las permutaciones para ganar son:

$& (\text{ace, king}) \qquad (\text{king, ace}) \qquad (\text{ace, queen}) \qquad (\text{queen, ace})\\\& (\text{ace, jack}) \qquad (\text{jack, ace}) \qquad \quad (\text{ace}, 10) \qquad \qquad (10, \text{ace})$

Hay 8 manos ganadoras, entonces la probabilidad de obtener 21 puntos se obtiene de:

$P(21) = \frac{8}{132} = \frac{2}{33}=$ dos en treinta y tres o aproximadamente 6%.

A veces, cuando vemos probabilidades (especialmente en juegos de azar), hay demasiadas permutaciones ganadoras como para calcularlas directamente. En tales circunstancias puede ser útil recordar que un jugador puede ganar o perder; es imposible hacer las dos cosas. En estas circunstancias recuerda que:

$P(\text{winning}) + P(\text{losing}) = 1$

Ya que es seguro que pierdas o que ganes y no ambas, la probabilidad de que ganes y la probabilidad de que pierdas suman 1.

Entonces para calcular la probabilidad de perder podemos usar:

$P(\text{winning}) =1 - P(\text{losing})$

Ejemplo C

Un juego en un parque de diversiones consiste en lanzar tres dardos a un blanco que tiene 16 cuadrados enumerados en un cuadro de $4 \times 4$ Los cuadrados están enumerados del 1 al 16 y no se repite ni omite ninguno. Para ganar, un jugador necesita lograr un puntaje de 9 o más. Si un dardo da justo en un cuadrado que ya ha sido marcado por otro dardo o si un dardo no da en el cuadro, el jugador debe lanzar de nuevo. ¿Cuáles son las oportunidades de ganar el juego?

Hay demasiadas permutaciones ganadoras para enumerarlas fácilmente, pero hay pocas permutaciones perdedoras . Si necesitas un puntaje de 9 o más para ganar, entonces con un puntaje de 8 o menos pierdes (recuerda que no puedes repetir un número) y esto puede ocurrir en cualquiera de los siguientes órdenes:

$& \mathbf{1, 2, 3 (=6)} \qquad 1, 3, 2 \qquad 2, 1, 3 \qquad 2, 3, 1 \qquad 3, 1, 2 \qquad 3, 2, 1\\\& \mathbf{1, 2, 4 (=7)} \qquad 1, 4, 2 \qquad 2, 1, 4 \qquad 2, 4, 1 \qquad 4, 1, 2 \qquad 4, 2, 1\\\& \mathbf{1, 2, 5 (=8)} \qquad 1, 5, 2 \qquad 2, 1, 5 \qquad 2, 5, 1 \qquad 5, 1, 2 \qquad 5, 2, 1\\\& \mathbf{1, 3, 4 (=8)} \qquad 1, 4, 3 \qquad 3, 1, 4 \qquad 3, 4, 1 \qquad 4, 1, 3 \qquad 4, 3, 1$

Por lo tanto en total hay 24 permutaciones menores que 9.

El número total de maneras para escoger 3 números de 16 es:

${_{16}}P_3 = \frac{16!}{16-3!}= \frac{16!}{13!} = 16 \times 15 \times 14 = 3360 \ \text{permutations}$

Por ende la probabilidad de perder el juego es $\frac{24}{3360}$ , o $\frac{1}{140}$ . Esto significa que la probabilidad de ganar es:

$P(\text{winning}) = 1 - P(\text{losing}) = 1 - \frac{24}{3360} = 1 - \frac{1}{140} = \frac{139}{140}$ o aproximadamente 99.3% .

Mira esto si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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Vocabulario

La probabilidad de un conjunto de eventos se calcula con

$\text{Probability} = \frac{\text{number of matching events in sample place}}{\text{number of total events in sample place}}$

Una permutación es cuando escogemos $r$ elementos ordenados de un grupo de $n$ elementos, donde el orden escogido importa. El número de permutaciones se calcula con la fórmula:

${_n}P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$

Práctica guiada

¿Cuál es la probabilidad de que un orden generado al azar de tres letras de $M$ , $M$ , y $O$ resulte en la palabra $MOM$ ?

Solución

Para encontrar la probabilidad, primero debemos describir el espacio de muestreo. Puede que se tienda a pensar que las únicas posibilidades son $MMO$ , $MOM$ y $OMM$ . Sin embargo, debemos considerar cada $M$ como una letra distinta. Veámoslas como $M_1$ y $M_2$ . Ya que tenemos 3 distintos objetos y queremos ordenarlos todos, esto es:

$_3P_3=3!=3\cdot 2 \cdot 1=6$

Por ende, hay 6 maneras para ordenar las 3 letras. Veamos cómo se ve:

$M_1 M_2 O \\\MOM=M_1 O M_2\\\M_2 M_1 O \\\MOM= M_2 O M_1\\\O M_1 M_2\\\O M_2 M_1$

2 de estos 6 órdenes dan $MOM$ , o que significa que la probabilidad de hacer la palabra $MOM$ is:

$P(MOM)=\frac{2}{6}\approx 0.67$ .

Práctica

Para los ejercicios del 1 al 5, encuentra el número de permutaciones.

$_5P_2$
$_9P_4$
$_{11}P_5$
¿De cuántas maneras puedes plantar un arbusto con rosas, uno de lavanda y uno de hortensias de manera seguida?
¿De cuántas maneras puedes escoger un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero de un total de 28 personas para el consejo estudiantil?

Para las preguntas del 6 al 10, encuentra las probabilidades.

¿Cuál es la probabilidad de que un orden de 3 letras generado al azar con las letras A, E, L, Q y U resulte en la palabra EQUAL?
¿Cuál es la probabilidad de que un orden de 3 letras generado al azar de las letras en la palabra SPIN termine con la letra N?
Una bolsa contiene ocho fichas numeradas del 1 al 8. Se sacan dos fichas al azar de la bolsa y se colocan en el orden en que fueron sacadas. ¿Cuál es la probabilidad que el número formado de dos dígitos sea divisible por 3?
Una tarjeta de prepago para celulares viene con un PIN de cuatro dígitos seleccionados al azar, usando los dígitos del 1 al 9 sin repetir ninguno. ¿Cuál es la probabilidad que el PIN de una tarjeta escogida al azar no contenga el número 7?
Janine hace una lista de reproducción de 8 canciones y tiene su computador en la opción para que las seleccione al azar. Una de las canciones es del cantante Little Bow Wow; ¿cuál es la probabilidad que esta canción sea la primera en tocar?

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