Combinaciones

Aquí aprenderás otro método para calcular el número de maneras con las cuales se pueden ordenar objetos, una manera en la cual el orden no importa, conocida como combinación. Además usarás notaciones factoriales en una fórmula para encontrar el número de combinaciones.

Digamos que estas comprando una copa de helado. Puedes escoger tres sabores de un total de 12 sabores para hacerlo. ¿Cuántas combinaciones de helado tienes para escoger? Una vez que completes esta sección podrás calcular combinaciones como ésta usando una fórmula.

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CK-12 Foundation: Combinations

Orientación

En la sección anterior vimos situaciones donde el orden de una organización de objetos es importante. Por ejemplo, cuando miramos números de 3 dígitos, el número 123 es muy distinto al número 312, a pesar de que contengan los mismos números. Pero en algunas situaciones el orden no es importante; por ejemplo, cuando miramos cartas en una mano de póker o cuando escogemos ingredientes para poner en una pizza. En estas situaciones donde el orden no es importante , estamos trabajando con combinaciones de elementos. Por ejemplo, si fueras un jugador de póker querrías saber la probabilidad de que te entreguen cuatro ases en una mano de cinco cartas. No te importa en qué orden las recibes, sólo el hecho de tener los cuatro ases es importante.

Contar combinaciones

Al igual que con las permutaciones, a veces es más fácil calcular las combinaciones enumerando todas las posibilidades disponibles y contarlas. Por ejemplo, una mano de póker que es (as, as, as, as, rey de $\clubsuit$ ) es idéntica a (as, as, as, rey de $\clubsuit$ , as), (as, as, rey de $\clubsuit$ , as, as), (as, rey de $\clubsuit$ , as, as, as) y a (rey de $\clubsuit$ , as, as, as ,as). Por ende debemos ser cuidadosos al usar un método de enumeración que incluya todas las combinaciones sin repetir una que sea la misma. Examinemos una situación donde es relativamente más directo hacer esto.

Ejemplo A

Anne quiere tejer para ella un chaleco a rayas. Tiene 4 colores de lana disponibles: rojo, azul, verde y amarillo. ¿Cuántas combinaciones distintas de dos colores tiene para escoger?

Solución

Cuando solo escogemos pares de colores, habrá menos combinaciones de las que habría si contáramos permutaciones como en la sección anterior. Por ejemplo rojo y azul es equivalente a azul y rojo , rojo y deberíamos contar sólo una como un par único. Comenzamos con enumerar los pares de colores pero además escribiremos pares equivalentes al mismo tiempo. Esto nos ayudará a prevenir combinaciones repetidas:

Par	Pares equivalentes (no cuentan)
Rojo & azul	Azul & rojo
Rojo & verde	Verde & rojo
Rojo & amarillo	Amarillo & rojo
Verde & azul	Azul & verde
Verde & amarillo	Amarillo & verde
Amarillo & azul	Azul & amarillo

Entonces hay 6 combinaciones distintas. Además hay 6 pares “repetidos”; para cada par de colores que escogemos hay 1 combinación pero 2 permutaciones. Anne puede escoger seis pares distintos de colores para su chaleco .

Ejemplo B

La empresa Triominoes Pizza Company se especializa en pizzas de 3 ingredientes. S los ingredientes disponibles son queso, pepperoni, champiñones, piña y aceitunas, ¿cuántas combinaciones diferentes de 3 ingredientes pueden escoger los clientes?

Solución

Comenzaremos haciendo una tabla con la primera elección, la segunda y la tercera:

$1^{st}$ ingrediente	$2^{nd}$ ingrediente	$3^{rd}$ ingrediente
Queso	Pepperoni	Champiñón
Queso	Pepperoni	Piña
Queso	Pepperoni	Aceitunas
Queso	Champiñón	Piña
Queso	Champiñón	Aceitunas
Queso	Piña	Aceitunas
Pepperoni	Champiñón	Piña
Pepperoni	Champiñón	Aceitunas
Pepperoni	Piña	Aceitunas
Champiñón	Piña	Aceitunas

Fíjate que a medida que avanzamos en la elección para el primer ingrediente, el número de combinaciones que tenemos para el segundo y tercer ingrediente se hace más pequeño. Esto es porque algunas combinaciones ya se han usado en un orden distinto.

Al contar el número de opciones en la tabla podemos ver que hay 10 posibilidades para una pizza de 3 ingredientes.

Determinar combinaciones observando permutaciones

Puedes ver que siempre hay menos combinaciones que permutaciones en una situación dada, pero también debes ver que saber qué combinaciones ya han sido utilizadas es importante para evitar contar combinaciones dos veces. Una combinación puede dar varias permutaciones del mismo objeto.

Otra manera para calcular combinaciones es esta: si sabemos cuántas permutaciones hay en un sistema y cuántas permutaciones hay para cada combinación , entonces podemos dividir el número de permutaciones por el número de permutaciones de cada combinación para obtener el número de combinaciones .

Para ilustrar esto, mira de nuevo el menú de Trimanoes Pizza. Si viéramos las permutaciones de ingredientes, rápidamente podríamos calcular que hay $5 \times 4 \times 3 = 60$ permutaciones. Pero para cada elección de 3 ingredientes cada una hay varias permutaciones las cuales son todas equivalentes. Por ejemplo, las siguientes opciones son todas las mismas pizzas:

$& \text{Cheese, pepperoni} \ \& \ \text{mushroom} \quad \text{Cheese, mushroom} \ \& \ \text{pepperoni}\\\& \text{Pepperoni, cheese} \ \& \ \text{mushroom} \quad \ \text{Pepperoni, mushroom} \ \& \ \text{cheese}\\\& \text{Mushroom, cheese} \ \& \ \text{pepperoni} \quad \ \text{Mushroom, pepperoni} \ \& \ \text{cheese}$

Entonces, para cada combinación diferente hay 6 permutaciones distintas. Ya que tenemos una fórmula para contar permutaciones, podemos usarla para descubrir cuántas permutaciones hay en total y simplemente dividir ese número por 6:

$\text{Combinations} = \frac{1}{6} \cdot _5P_3 = \frac{1}{6} \cdot \frac{5!}{2!} = \frac{1}{6} \cdot \frac{5 \times 4 \times 3 \times \cancel{2} \times \cancel{1}}{\cancel{2} \times \cancel{1}} = \frac{60}{6} = 10$

Encontrar combinaciones usando una fórmula

Si miras de nuevo los ejemplos 1 y 2, puedes ver que el número de permutaciones es un simple múltiplo del número de combinaciones. En el ejemplo 1, hay dos veces tantas permutaciones como combinaciones. En el ejemplo 2, hay seis veces tantas permutaciones como combinaciones. Una pregunta que podrías estar haciéndote es: “¿cómo saber la manera en que el número de combinaciones está relacionado al número de permutaciones?”

Una pregunta más importante sería “¿de dónde vienen los números dos y seis?” . Si piensas cuidadosamente, deberías darte cuenta que cada vez que escoges 2 objetos, sólo hay 2 maneras de ordenarlos, mientras que si escoges 3 objetos hay 3! maneras de ordenarlos (6 maneras). Similarmente, si escoges 7 objetos hay 7! maneras de ordenarlos. Podemos usar este hecho cuando calculamos combinaciones. El número de combinaciones es el número de permutaciones dividido por el número de formas de ordenar los elementos que escogiste. Si escoges $r$ objetos de una colección de $n$ objetos hay $r!$ maneras de ordenar lo que escogiste. En forma de ecuación, el número de combinaciones es por lo tanto:

${_n}C_r = \frac{n!}{(n-r)! r!}$

En otras palabras, el número de combinaciones es igual al número de permutaciones dividido por $r!$ (ya que $r!$ es el número de permutaciones para cada combinación). Podemos usar esta nueva fórmula para calcular rápidamente combinaciones sin listarlas todas.

Ejemplo C

Andrew está haciendo su maleta para irse de viaje. Tiene doce camisas y quiere llevar sólo cinco. ¿Cuántas combinaciones de camisas tiene para escoger?

Solución

Ya que el orden en que empaca sus camisas no es importante, estamos buscando una combinación. Va a escoger cinco camisas de un total de doce:

Escoger 5 de 12: $_{12}C_5 = \frac{12!}{(12-5)! 5!} = \frac{12!}{7! 5! } = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 }{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792 \ \text{combinations.}$

Mira esto si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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Vocabulario

Una combinación es cuando escogemos $r$ elementos ordenados de un grupo de $n$ elementos, donde el orden escogido no importa. El número de combinaciones se obtiene con la fórmula:

${_n}C_r = \frac{n!}{(n-r)! r!}$

Práctica guiada

En el colegio Summerfield High School, el consejo estudiantil tiene 8 estudiantes, de los cuales 3 deben estar en el comité del baile de fin de año. ¿De cuántas formas se puede escoger el comité del baile de fin de año?

Solución: :

Hay:

${_n}C_r &= \frac{n!}{(n-r)! r!}\\\{_8}C_3 &= \frac{8!}{(8-3)! 3!}\\\{_8}C_3 &= \frac{8!}{5! 3!}\\\{_8}C_3 &= \frac{8\cdot 7\cdot 6}{ 3!}\\\{_8}C_3 &= 8\cdot 7= 56$

56 maneras para escoger el comité.

Práctica

Para las preguntas del 1 al 4, ¿cuántas combinaciones son posibles en las siguientes situaciones?

Comprar un hot dog con dos de los siguientes ingredientes: kétchup, mostaza, ají, queso y pepinillos.
Escoger 5 CD de una colección de 8.
Seleccionar 3 juegos de una caja que tiene los juegos de mesa Scrabble, Twister, Conect-4, Snap y Mousetrap.
¿Qué puedes ver en las respuestas desde la parte a a la c? ¿Cómo se podría explicar esto con la fórmula para encontrar números de combinaciones?

Para las preguntas del 5 al 14, calcula los siguientes ejercicios:

$_3C_1$
$_7C_1$
$_6C_2$
$_8C_8$
$_9C_3$
$_9C_6$
$_7C_3$
$_{17}C_4$
$_{30}C_{11}$
$_{10}C_0$

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