Probabilidad y Estadísticas
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Probabilidad y Combinaciones

Aquí aprenderás cómo encontrar la probabilidad de eventos que involucran combinaciones.

Digamos que tienes una bolsa con 5 canicas rojas, 4 canicas azules y una canica blanca. Escoges al azar tres canicas. ¿Cuál es la probabilidad de que una de esas canicas sea la blanca? Una vez que completes esta sección, podrás calcular la probabilidad de eventos como éste que involucran combinaciones.

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CK-12 Foundation: Probability and Combinations

Orientación

Al igual que con las permutaciones, las combinaciones aparecen frecuentemente en probabilidad. En muchos juegos de cartas, el objetivo es lograr una mano ganadora. Para hacer esto, es útil para los jugadores saber qué tan probable es obtener cierta mano ganadora y además saber la probabilidad de que otro jugador tenga una mejor mano. Los matemáticos han estudiado tales juegos de azar durante siglos.

Ejemplo A

En un juego de palabras, los jugadores deben seleccionar cuatro piezas de una bolsa que tiene 26 de estas piezas, cada una con las letras de la A a la Z. Si cada letra aparece sólo una vez, ¿cuál es la probabilidad de que un jugador pueda formar la palabra CATS con sus piezas?

Solución

Ya que un jugador necesita las letras C , A , T y S en cualquier orden , estamos frente a un cálculo de combinaciones Primero, debemos determinar cuántas combinaciones hay al escoger 5 letras de un total de 26:

Escoger 4 de 26:

_{26}C_4 &= \frac{26!}{(26-4)! 4!} = \frac{26!}{22! 4! }\\\ &= \frac{26 \times 25 \times 24 \times 23 }{ 4 \times 3 \times 2 \times 1}\\\ &= 59,800 \ \text{combinations.}

Ya que solo una combinación permite que el jugador forme la palabra CATS, la probabilidad de obtener esa combinación es \frac{1}{59,800} .

Ejemplo B

Un juego en un parque de diversiones consiste en sacar fichas enumeradas de una bolsa. El juego comienza con nueve fichas enumeradas del 1 al 9 y los jugadores pueden sacar tres fichas. Un jugador gana al sacar la ficha con el número 7. ¿Cuál es la probabilidad de que gane un jugador?

Solución

Para encontrar la probabilidad de ganar este juego necesitamos dos informaciones: 1) el número total de combinaciones para el juego y 2) el número de combinaciones que contienen un 7.

Para encontrar el número total de combinaciones para el juego, usa la fórmula _nC_r donde n = 9 y r =3 :

{_9}C_2 = \frac{9!}{(9-3)! 3!} = \frac{9!}{6! 3! } = \frac{9 \times 8 \times 7 }{ 3 \times 2 \times 1} = 84 \ \text{combinations}

Ahora debemos determinar cuántas combinaciones contienen un 7. Podemos resolver esto razonando de la siguiente manera: ya que DEBE haber un 7 en la lista, el número de combinaciones que contienen un siete es el mismo número de combinaciones de escoger dos números cualquiera de las ocho fichas que no sea el 7, ¿cuántas maneras habría para escoger las otras dos fichas?

Para encontrar ese número usamos la fórmula _nC_r donde n =8 y r =2 :

{_8}C_2 = \frac{8!}{(8-2)! 2!} = \frac{8!}{6! 2! } = \frac{8 \times 7 }{ 2 \times 1} = 28 \ \text{combinations}

Entonces la probabilidad se obtiene con:

P(\text{getting a} \ 7) = \frac{84}{28} = \frac{1}{3} = \text{or one in three}.

Ejemplo C

Calcula la probabilidad de que recibas cuatro ases en una mano de póker de cinco cartas.

Solución

Lo primero que necesitamos saber para resolver este problema es el número total de manos únicas. Ya que los jugadores pueden organizar sus cartas de la manera que deseen, el orden de las cartas no es importante. Entonces, calcularemos, mediante la fórmula, el número de combinaciones para escoger 5 cartas de un mazo de 52 cartas.

Escoger 5 de 52: _{52}C_5 = \frac{52!}{(52-5)! 5!} = \frac{52!}{47! 5! } = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48 }{ 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2,598,960 manos únicas

Luego, necesitamos calcular cuántas manos hay que contengan cuatro ases. Esto parece difícil, pero lo podemos ver de la siguiente manera:

  • Si una mano contiene cuatro ases, debe también contener exactamente UNA carta distinta.
  • Ya que lo que se necesita son los cuatro ases, hay 48 (esto es 52 - 4) cartas restantes en el mazo.

Ya que una mano única es independiente del orden en la cual se entregan las cartas, debe haber 48 manos únicas que contienen cuatro ases (una mano única para cada carta en el mazo que no es un as).

Hay 48 manos posibles que contienen cuatro ases. Por ende la probabilidad de recibir cuatro ases en el póker es:

P(\text{four aces})= \frac{48}{2,598,690} = \frac{1}{54,145}

Mira esto si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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Vocabulario

  • La probability de un conjunto de eventos se obtiene con la fórmula

\text{Probability} = \frac{\text{number of matching events in sample place}}{\text{number of total events in sample place}}

Práctica guiada

Práctica

Para los ejercicios del 1 al 3, calcula el número de combinaciones:

  1. _8C_4
  2. _{11}C_5
  3. _{20}C_2

Para los ejercicios del 4 al 8, la lotería de una ciudad requiere que los jugadores escojan tres números diferentes del 1 al 36.

  1. ¿Cuántas combinaciones diferentes hay?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que los números de un jugador coincidan con los tres números escogidos por el computador?
  3. ¿Cuál es la probabilidad de que dos números de un jugador coincidan con los números escogidos por el computador?
  4. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los números de un jugador coincida con los números escogidos por el computador?
  5. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los números de un jugador coincida con los números escogidos por el computador?
  1. Una bolsa contiene 13 fichas de dominó. Cada ficha tiene un número diferente de puntos y los números son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, y 12. Peter selecciona 2 fichas al azar de la bolsa. ¿Cuál es la probabilidad de que el número total de puntos en las dos fichas que él seleccionó sea 7?
  2. Mirando las posibilidades que descubriste en la pregunta 4, diseña un plan de pago equitativo para la lotería; en otras palabras, ¿Qué tan grandes deberían ser los precios para los jugadores que acertaron 1, 2 o los 3 números? Asume que los boletos cuestan $1. No olvides tomar en cuenta lo siguiente:
    1. La ciudad usa la lotería para recaudar dinero para colegios y clubes de deporte.
    2. Vender boletos le cuesta a la ciudad una cierta cantidad de dinero.
    3. Si los pagos son bajos, ¡nadie jugará!
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