Eventos Mutuamente Excluyentes

Aquí aprenderás cómo encontrar la probabilidad de dos o más eventos (llamados eventos mutuamente excluyentes) en los cuales la probabilidad de que ambos ocurran juntos es cero. Además, encontrarás la probabilidad de dos o más eventos (llamados eventos coincidentes) en los cuales la probabilidad de que ambos ocurran juntos no es cero.

Digamos que tiras un par de dados. ¿Cómo podrías encontrar la probabilidad de que obtengas un 1 o un 12? Una vez que completes esta sección, podrás encontrar la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes como éste.

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CK-12 Foundation: Mutually Exclusive Events

Orientación

Imagina que vas a ver una película. Tu amigo compró los boletos y no estás seguro qué película verán. Hay 4 películas en cartelera. Harry Potter (que ya has visto, pero tu amigo no) es una de ellas.

¿Cuáles son las probabilidades de que verás Harry Potter?
¿Cuáles son las probabilidades de que NO veas Harry Potter?

Este es un ejemplo fácil de eventos mutuamente excluyentes: o verás Harry Potter o no lo harás. ¡No puedes hacer ambas!

Encontrar la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes es fácil; lo que no es fácil es encontrar la probabilidad de eventos que puedan coincidir dependiendo de cada uno. En esta sección, aprenderás cómo encontrar la probabilidad de cualquiera de dos eventos que pueden estar relacionados entre sí.

Encontrar la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes

En probabilidad, cuando dos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ambos ocurran juntos es cero.

Ejemplos de eventos mutuamente excluyentes en probabilidad incluyen:

Lanzar una moneda y:
- Obtener cara
- Obtener sello
Sacar una carta de un mazo y:
- Sacar un as
- Sacar un 7
- Sacar una reina
- etc.
Sacar una una canica de color de una bolsa y:
- Sacar una canica roja
- Sacar una canica azul
- Sacar una canica verde
- etc.

Lo que esto significa matemáticamente es doble. Si nuestros dos eventos mutuamente excluyentes son $A$ y $B$ :

$P(A \ and \ B) = 0.$ No hay posibilidad de que ambos eventos ocurran.
$P(A \ or \ B) = P(A) + P(B).$ Para encontrar la probabilidad de que ambos eventos ocurran, suma las probabilidades individuales.

Ejemplo A

Hay 7 canicas en una bolsa: 4 verdes, 2 azules y una roja. Peter se acerca a la bolsa y a ciegas saca una canica. Las siguientes letras hacen referencia a los eventos:

$A$ – la canica es roja
$B$ – la canica es azul
$C$ – la canica es verde

Encuentra las siguientes probabilidades:

a. $P(A)$

b. $P(B)$

c. $P(C)$

d. $P(B \ or \ A)$

e. $P(C \ or \ A)$

f. $P(C \ or \ B \ or \ A)$

g. $P(A \ and \ C)$

Solución

Mira los 3 eventos $A, B$ y $C$ . Deben ser mutuamente excluyentes: si sacamos una sola canica de la bolsa entonces puede ser roja o azul o verde. No hay posibilidad de que sea azul y verde!

a. Hay 7 canicas y solo una es roja, entonces $P(A) = \frac{1}{7}$ .

b. Hay 7 canicas y 2 son azules, entonces $P(B) = \frac{2}{7}.$

c. Hay 7 canicas y 4 son verdes, entonces $P(C) = \frac{4}{7}$ .

d. Los eventos son mutuamente excluyentes, por lo tanto $P(B \ or \ A) = P(B) + P(A) = \frac{2}{7} + \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$ .

e. Los eventos son mutuamente excluyentes, por lo tanto $P(C \ or \ A) = P(C) + P(A) = \frac{4}{7} + \frac{1}{7} = \frac{5}{7}$ .

f. Los eventos son mutuamente excluyentes, por lo tanto $P(C \ or \ B \ or \ A) = P(C) + P(B) + P(A) = \frac{4}{7} + \frac{2}{7} + \frac{1}{7} = \frac{7}{7} =1.$

g. Los eventos son mutuamente excluyentes, entonces $P(A \ and \ C) = 0$ .

Los últimos dos resultados tienen sentido: $P(C \ or \ B \ or \ A)$ significa la probabilidad de que la canica sea verde, azul o roja. Debe ser uno de estos colores. Además $P(A \ and \ C)$ es la probabilidad de que la canica sea roja y verde al mismo tiempo. ¡No hay tales canicas en la bolsa!

Anteriormente, aprendimos sobre permutaciones y combinaciones. A menudo tenemos que usar estos cálculos cuando determinamos la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes.

Ejemplo B

Hay 7 canicas en la bolsa: 4 verdes, 2 azules y 1 roja. Peter se acerca a la bolsa y saca a ciegas 4 canicas. Encuentra la probabilidad de que saque a lo menos 3 canicas verdes.

Solución

Hay 2 maneras distintas para que esto pueda ocurrir:

a) Que Peter saque 3 canicas verdes y una de otro color.

b) Que Peter saque 4 canicas verdes.

Estos eventos son mutuamente excluyentes; Peter no puede sacar (tres verdes y una de otro color) y (cuatro verdes) al mismo tiempo. Si encontramos $P(A)$ y $P(B)$ sabemos que la probabilidad total es $P(A \ or \ B) = P(A) + P(B)$ .

Estamos escogiendo 4 canicas de una bolsa que contiene 7 canicas. El número total de combinaciones de canicas que hay es $_7C_4 = \frac{7!}{4! 3!} =35$ combinaciones posibles.

a) El número de combinaciones que contienen 3 canicas verdes+1 de otro color:

Primero, las 3 verdes. Estamos escogiendo 3 canicas verdes de un total de 4 canicas: $_4C_3 = \frac{4!}{3! 1!} =4$

Ahora para escoger 1 de otro color. Estamos escogiendo 1 canica de 3 que no son verdes: $_3C_1 = \frac{3!}{2! 1!} =3$

El número total de combinaciones de 3 canicas verdes con 1 de otro color = $_4C_3 \times _3C_1 = 4 \times 3 = 12$

Entonces $P(A) = \frac{12}{35}$ .

b) El número de combinaciones que contienen 4 canicas verdes:

Estamos escogiendo 4 canicas de 4 posibles canicas verdes: $_4C_4 = 1$ combinación posible

Entonces $P(B) =\frac{1}{35}$

$P(A \ or \ B) = P(A) + P(B)$ , entonces la probabilidad de obtener por lo menos 3 canicas verdes es $\frac{12}{35} + \frac{1}{35} =\frac{13}{35}$ o ligeramente mayor que 1 en 3 .

Encontrar la probabilidad de eventos coincidentes

A veces deseamos ver eventos coincidentes. En esencia, esto significa que dos eventos NO SON mutuamente excluyentes. Por ejemplo, si sacas una carta al azar de un mazo estándar de cartas, ¿cuál es la probabilidad de que saques una carta que sea un siete o una de diamante? Usemos esto como nuestro próximo ejemplo:

Ejemplo C

Si sacas una carta al azar de un mazo estándar de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de que obtengas una carta que sea un siete o una de diamantes?

Solución

Una cosa que podemos asegurar es que estos dos eventos no son mutuamente excluyentes (es posible sacar una carta que pueda ser tanto un siete como un diamante). Primero que todo, veamos la información que tenemos:

Hay 52 cartas. Las oportunidades de sacar cualquier carta en particular es $\frac{1}{52}$ .
Hay 4 sietes (de diamante, de corazón, de trébol, de espada). Las oportunidades de sacar un siete es $\frac{4}{52} =\frac{1}{13}$ .
Hay 13 diamantes (del as al rey). Las oportunidades de sacar un diamante es $\frac{13}{52} =\frac{1}{4}$ .
Las oportunidades de sacar un siete de diamantes es $\frac{1}{52}$ .

Entonces hay 4 sietes, 13 diamantes y una carta que es ambos (un siete y un diamante). Esto significa que no podemos solo sumar el número de sietes con el número de diamantes, ya que si lo hiciéramos, estaríamos contando el siete de diamantes dos veces .En vez de esto, tenemos que sumar del número de sietes con el número de diamantes y luego restar el número de cartas que encajan en ambas categorías. Esto significa que hay $(4 + 13 - 1) = 16$ cartas que son siete o diamante. La probabilidad de sacar un siete o un diamante es por lo tanto $\frac{16}{52}=\frac{4}{13}$ .

Podemos comprobar esto hacienda una lista de todas las cartas en el mazo y subrayando aquellas que son sietes o diamantes:

Puedes ver que hay 16 cartas que coinciden, no las 17 que tendríamos si hubiéramos sumado los sietes y los diamantes.

Mira de nuevo los números: el número de cartas que son siete o diamante es (el número de sietes) más (el número de diamantes) menos (el número de siete y diamante). En términos de probabilidad, podemos escribir esto como:

$P(\text{seven or diamonds}) = P(\text{seven}) + P(\text{diamonds}) - P(\text{seven and diamonds})$

Esto nos lleva a una fórmula general:

$\text{For overlapping events}: P(A \ or \ B) = P(A) + P(B) - P(A \ and \ B)$

Mira esto si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Mutually Exclusive Events

Vocabulario

Si nuestros dos eventos $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes :

$P(A \ and \ B) = 0.$ No hay posibilidad de que ambos eventos ocurran.

$P(A \ or \ B) = P(A) + P(B).$ Para encontrar la probabilidad de que ambos eventos ocurran, suma las probabilidades individuales.

Si nuestros dos eventos $A$ y $B$ son coincidentes :

$P(A \ and \ B) \ne 0$

$P(A \ or \ B) = P(A) + P(B) - P(A \ and \ B)$

Práctica guiada

Un refrigerador contiene 6 latas de Sprite, 9 latas de Coca-Cola, 4 de Dr. Pepper y 7 de Pepsi. Si se selecciona una lata al azar, calcula la probabilidad de que sea o Pepsi o Coca-Cola.

Solución:

Seleccionar una Pepsi o una Coca-Cola son eventos mutuamente excluyentes. Esto significa que podemos usar la fórmula $P(A\text{ or }B)=P(A)+P(B).$

Encontrar la probabilidad de cada evento por separado:

$P(\text{Pepsi})=\frac{\text{Cans of Pepsi}}{\text{Total cans of soda}}=\frac{7}{26}\approx 0.269$

$P(\text{Coke})=\frac{\text{Cans of Coke}}{\text{Total cans of soda}}=\frac{9}{26}\approx 0.346$

Esto significa que la probabilidad de seleccionar una Pepsi o una Coca-Cola es:

$P(\text{Pepsi or Coke})=P(\text{Pepsi})+P(\text{Coke})=0.269+0.346=0.615.$

Hay una probabilidad de un 61,5% de seleccionar una Pepsi o una Coca-Cola.

Práctica

Para las preguntas del 1 al 6, determina si los siguientes pares de eventos son mutuamente excluyentes o coincidentes:

El próximo auto que uses sea rojo; el próximo auto que uses sea un Ford.
Un tren que llega a la hora; un tren que está lleno.
Lanzar una moneda y obtener cara; lanzar una moneda y obtener sello.
Seleccionar 3 cartas y sacar un as; seleccionar 3 cartas y sacar un rey.
Seleccionar 3 cartas y sacar 2 ases; seleccionar 3 cartas y sacar 2 reyes.
La edad de una persona sea un número par; la edad de una persona sea un número primo.

Para las preguntas del 7 al 10, se selecciona una carta al azar de un mazo estándar de 52 cartas. Calcula la probabilidad de que:

La carta sea, al mismo tiempo, una carta roja o o un número par (2, 4, 6, 8 or 10).
La carta sea una carta roja y un número par.
La carta sea roja o par pero no ambas .
La carta sea negra o roja pero no un as .

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