Independencia Versus Dependencia

Aquí aprenderás cómo encontrar la probabilidad de dos eventos (llamados eventos independientes) en los cuales un evento no tiene relevancia en la probabilidad del segundo evento. También aprenderás cómo encontrar la probabilidad de dos eventos (llamados eventos dependientes) en los cuales un evento sí tiene una relevancia en la probabilidad del segundo evento.

Digamos que estás jugando un juego en el cual sacas una carta de un mazo estándar y luego tiras un dado. ¿Cómo podrías encontrar la probabilidad de que saques un as y obtengas un 6 en el dado? Una vez que completes esta sección podrás encontrar las probabilidades de eventos independientes como éste.

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CK-12 Foundation: Independent Events

Orientación

Si el resultado de un evento no tiene relevancia en la probabilidad del segundo evento, los llamamos eventos independientes . Por ejemplo, si lanzas una moneda 3 veces y obtienes cara las 3 veces, ¿cuál es la probabilidad de que en el siguiente lanzamiento salga sello? Muchas personas piensan que los lanzamientos anteriores a las caras de alguna manera influyen el lanzamiento para que salga sello o lo hacen “más probable”, pero en realidad los lanzamientos anteriores no tienen nada que ver con el resultado de un nuevo lanzamiento, ¿cómo podría ser así? Una moneda no tiene un cerebro o memoria.

(La idea de que es más probable que aparezca un sello luego de muchas caras en una moneda se llama la falacia del apostador y probablemente proviene de la confusión de la gente sobre algo llamado probabilidad a priori . Ahora que has aprendido un poco sobre probabilidad, sabes que obtener 3 caras y un sello es un poco más probable que obtener cuatro sellos en cuatro lanzamientos de una moneda, entonces antes de que lances la moneda, esperarías que sea más probable que obtengas tres caras que cuatro. Pero después de que hayas lanzado la moneda tres veces, las oportunidades de obtener caras en los primeros tres lanzamientos ya no importan, debido a que ya tienes las tres caras; la probabilidad de obtener esas tres caras ha pasado ¡de 12,5% a 100%! Entonces la única probabilidad que aún importa es la probabilidad de obtener cara en el lanzamiento que queda, el cual es el mismo que en cada lanzamiento de moneda: 50%.)

Ya que un lanzamiento de una moneda no tiene efecto en el resultado de cualquier otro lanzamiento, cada uno de ellos cuenta como un evento independiente .

Para encontrar la probabilidad de múltiples eventos independientes que suceden al mismo tiempo, multiplicamos las probabilidades individuales:

$\text{For independent events}: P(A \ and \ B) = P(A) \cdot P(B)$

Ejemplo A

Encuentra la probabilidad de obtener un 5 con un dado de 6 caras y de obtener cara si lanzas una moneda al mismo tiempo.

Solución

Claramente, el resultado de tirar un dado no influye en lanzar una moneda, entonces los dos eventos son independientes . Por ende: $P(5 \ \text{and heads}) = P(5) \cdot P(\text{heads}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}.$

Ejemplo B

De 480 estudiantes en un colegio, 40 tienen clase de arte el primer semestre; además, 96 estudiantes tienen clases de matemática el primer semestre. Encuentra la probabilidad de que un estudiante elegido al azar tenga clases de matemáticas o de arte en su primer semestre.

Solución

Un estudiante no puede tomar matemáticas y artes durante el primer semestre, por ende los eventos no son coincidentes. Si el evento A es tener artes el primer semestre y el evento B es tener matemáticas el primer semestre, $P(A \ and \ B)=0$ . Queremos encontrar $P(A \ or \ B)$ .

$P(A \ or \ B) = P(A) + P(B) - P(A \ and \ B)$

$P(A \ or \ B) = \frac{40}{480} + \frac{96}{480} - 0$

$P(A \ or \ B) = \frac{96}{480}$

$P(A \ or \ B)=\frac{1}{5}=20\%$

Encontrar la probabilidad de eventos dependientes

Si el resultado de un evento influye en la probabilidad del segundo, los llamamos dependientes . Por ejemplo, si eliges dos cartas de un mazo, las oportunidades de sacar un as en tu primera carta es $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ . Si mantienes ese as y sacas otra carta, las oportunidades de obtener otro as es menor: ahora hay sólo 3 ases en el mazo (de 51 cartas), entonces la posibilidad de obtener otro as es $\frac{3}{51} = \frac{1}{17}$ . Para encontrar la probabilidad de obtener dos ases multiplicamos las dos probabilidades individuales: $\frac{1}{13} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{221}$ .

Ejemplo C

Se sacan tres cartas de un mazo estándar de 52 cartas. Las cartas no se reemplazan. Encuentra la probabilidad de sacar tres reinas.

Solución

Hay 52 cartas y cuatro de ellas son reinas, entonces la probabilidad de sacar una reina en el primer intento es $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ .

Asumiendo que obtienes una reina en el primer intento, hay 51 cartas restantes de las cuales 3 son reinas, por ende la probabilidad de sacar una reina en el segundo intento es $\frac{3}{51} = \frac{1}{17}$ .

Si tuvieras éxito en el segundo intento, habrían 50 cartas restantes de las cuales 2 son reinas, entonces la probabilidad de sacar una reina en el tercer intento es $\frac{2}{50} = \frac{1}{25}$ .

La probabilidad de sacar 3 reinas consecutivas es $\frac{1}{13} \times \frac{1}{17} \times \frac{1}{25} = \frac{1}{5525}$ o 1 en 5,525 .

Mira esto si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Independent Events

Vocabulario

Si el resultado de un evento no tiene relevancia o influencia en la probabilidad del segundo evento, los llamamos eventos independientes .

Si el resultado de un evento influye en la probabilidad del segundo evento, los llamamos eventos dependientes .

Práctica guiada

Se vendieron 100 boletos de una rifa y Peter compró 4. Hay 3 premios y se selecciona a los ganadores al azar de un sombrero que tiene todos los números. Encuentra la probabilidad de que Peter gane los 3 premios.

Solución

Para la primera elección de boleto, los números de Peter cuentan para 4 boletos de 100: $\frac{4}{100} = \frac{1}{25}$

Para la segunda elección, los números que le quedan a Peter (asumiendo que ganó en la primera selección) cuentan para 3 boletos de 99: $\frac{3}{99} = \frac{1}{33}$

FPara la última elección, los Números que le quedan a Peter (asumiendo que ganó las primeras dos elecciones)cuentan para 2 boletos de 98: $\frac{2}{98} = \frac{1}{49}$

La probabilidad de que Peter gane los tres premios es $\frac{1}{25} \times \frac{1}{33} \times \frac{1}{49} = \frac{1}{40425}$ o 1 en 40, 425 .

Práctica

Para los ejercicios del 1 al 6, determina si los eventos son dependientes o independientes.

Conducir de noche y quedarse dormido al volante.
Visitar el zoológico y ver una jirafa.
Los próximos dos autos que veas sean ambos rojos.
Lanzar una moneda dos veces y que las dos veces salga cara.
Recibir 4 ases en una mano de póker.
Que sea tu cumpleaños y sea un día con mucho viento.

Para los ejercicios del 7 al 10, una bolsa contiene 10 canicas de color: 4 rojas, 4 azules y 2 verdes. Calcula la probabilidad de:

Sacar 2 canicas verdes consecutivamente si reemplazas la canica cada vez.
Sacar 2 canicas verdes consecutivamente si no reemplazas la canica cada vez.
Sacar 3 canicas sin reemplazarlas y sacar todas azules.
Sacar 4 canicas sin reemplazarlas y obtener exactamente 3 azules.

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