Medidas de Tendencia Central y Dispersión
Aquí aprenderás cómo encontrar las mediciones de la tendencia central (la media, la mediana y la moda) para un conjunto de información.
Digamos que haces una encuesta con 20 adultos y les preguntas cuánto dinero ahorran para su jubilación cada año. Registras los resultados. ¿Cómo podrías describir numéricamente la cantidad promedio que tus participantes están ahorrando anualmente? Una vez que completes esta sección, podrás calcular y comparar medidas de tendencia central para describir un conjunto de información como éste.
Mira esto
Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)
CK-12 Foundation: Measures of Central Tendency
Mira esto
El siguiente video es una introducción a la media, la mediana y la moda.
Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)
Khan Academy: Statistics: The Average
El narrador expone el cálculo de la media, la mediana y la moda de un grupo de números. A pesar de que esto es similar a algo del contenido más adelante, podrías considerarlo una comparación útil de lo que muestran las medidas de tendencia central.
Orientación
La palabra “promedio” se usa a menudo para describir las características generales de un grupo de objetos desiguales. Matemáticamente, un promedio es un solo número que se puede usar para resumir una colección de valores numéricos. En matemáticas, hay varios tipos de “promedios”, siendo los más comunes la media , la mediana y la moda .
Media
La media aritmética de un grupo de números se obtiene al dividir la suma de los números por el número de valores en el grupo. En otras palabras, sumamos todos los números juntos y dividimos por el número de números.
Ejemplo A
Encuentra la media de los números 11, 16, 9, 15, 5, 18.
Solución
Hay seis números separados, por ende la media es
.
La media aritmética es lo que la mayoría de la gente automáticamente piensa cuando se usa la palabra promedio con los números. Generalmente es una forma adecuada de tomar el promedio, pero puede ser confuso cuando un número pequeño de valores está posicionado muy lejos del resto. Un ejemplo clásico sería cuando calculamos el ingreso promedio. Si una persona (como el ex presidente de Microsoft Corporation, Bill Gates) gana mucho más que cualquier otra persona encuestada, entonces ése único valor puede influir la media considerablemente respecto de la mayoría de lo que gana las demás personas.
Ejemplo B
Los ingresos anuales de 8 profesiones se muestran a continuación. De esta información, calcula el ingreso medio anual de las 8 profesiones.
| Profesión | Ingreso anual |
|---|---|
| Agricultura, pesca y silvicultura | $19,630 |
| Ventas y retail | $28,920 |
| Arquitectura e ingeniería | $56,330 |
| Área de la salud | $49,930 |
| Legal | $69,030 |
| Enseñanza y educación | $39,130 |
| Construcción | $35,460 |
| Jugador profesional de béisbol* | $2,476,590 |
( Fuente: Bureau of Labor Statistics, excepto (*)-The Baseball Players' Association (playbpa.com)).
Solución
Hay 8 valores, por ende la media es
Como puedes ver, la media del ingreso anual es sustancialmente más grande que el ingreso de 7 de las 8 profesiones. El efecto del valor sobresaliente (el jugador de béisbol) tiene un efecto dramático en la media, por ende la media no es un buen método para representar el “promedio” de los sueldos en este caso.
Mediana
La mediana es otro tipo de promedio. Se define como el valor en el medio de un grupo de números. Para encontrar la mediana, primero debemos ordenar todos los números del más pequeño al más grande .
Ejemplo C
Encuentra la mediana de los números 11, 21, 6, 17, 9.
Solución
Primero organizamos los números en orden ascendente: 6, 9, 11 , 17, 21.
La mediana es el valor en el medio del conjunto (en negrita).
La mediana es 11 . Hay dos valores mayores que 11 y dos valores menores que 11.
Si hay un número par de valores, entonces la mediana es una media aritmética de los dos números del medio (en otras palabras, el número en la mitad de ambos números).
La mediana es una medida útil del promedio cuando el conjunto de información está altamente desbalanceado por un número pequeño de puntos que son extremadamente grandes o extremadamente pequeños. Tales valores sobresalientes tendrán un gran efecto en la media, pero no afectarán en gran parte a la mediana.
Moda
La moda puede ser una medida útil de información cuando la información recae en un número más pequeño de categorías. Simplemente es una medida del número más común o de la elección más popular. La moda es un concepto especialmente útil para conjuntos de información que contienen información no numérica tales como encuestas sobre el color de ojo o el sabor favorito de helado.
Por supuesto, un conjunto de información puede contener más de una moda; cuando esto sucede, se le conoce como multimodal . De hecho, cada valor en un conjunto de información podría ser una moda, si cada valor aparece un número igual de veces. Sin embargo, esta situación es más bien poco común. Podrías encontrar conjuntos de información con dos o incluso tres modas, pero más modas en un conjunto sería improbable a menos que estés trabajando con conjuntos de muestra muy pequeños.
Ejemplo D
Jim está ayudando a recaudar fondos en la venta de pasteles de su iglesia, pintándoles la cara a los niños que llegan. Él anota las edades de sus clientes y muestra esta información en el gráfico abajo. Encuentra la media, la mediana y la moda de las edades mostradas.
Solución
Al leer el gráfico podemos ver que hubo un niño de 2 años, tres de 3 años, cuatro de 4 años, etc. En total
clientes.
La media de las edades se encuentra sumando todas las edades multiplicadas por el número de veces que cada edad aparece, y luego dividiendo todo por 30:
Ya que hay 30 niños, la mediana está ubicada entre el
y el
número más grande (de esta manera hay 15 más jóvenes y 15 mayores que la edad mediana). Tanto el
como el
mayor entran en el rango de 6 años, por lo tanto la mediana es 6.
La moda se obtiene del grupo de edades con la mayor frecuencia. Leyendo directamente del gráfico, podemos ver que la moda es 7; hay más niños de 7 años que de cualquier otra edad.
Vocabulario
- La media aritmética de un grupo de números se encuentra dividiendo la suma de los números más el número de valores en el grupo. En otras palabras, sumamos todos los números juntos y dividimos por el número de números.
- La mediana es otro tipo de promedio. Se define como el valor en el medio del grupo de números. Para encontrar la mediana, debemos primero ordenar todos los números de menor a mayor . Una fórmula útil para encontrar el valor en el medio es la siguiente:
Si hay
valores en el conjunto de información, la mediana es el valor
.
- La moda es el(los) número(s) más frecuente(s). Si ningún número se repite, no hay moda. Puede haber más de una moda.
Práctica guiada
Encuentra la media, la mediana y la moda de los números 2, 17, 1, -3, 12, 8, 12, 16.
Solución:
Primero organizamos los números en orden ascendente: -3, 1, 2, 8, 12, 12, 16, 17.
La mediana es el valor en el medio del conjunto, por ende la mediana se ubica entre 8 y 12. En la mitad entre 8 y 12 está el 10, entonces 10 es la mediana .
La moda es el número más frecuente de números. El único número que se repite es 12, entonces 12 es la moda.
Práctica
- Encuentra la mediana y la moda de los sueldos dados en el ejemplo A.
- Encuentra la mediana y la moda de los sueldos dados en el ejemplo B.
-
Encuentra la media, la mediana y la moda del conjunto:
-
Encuentra la media, la mediana y la moda del conjunto:
.
-
Encuentra la media, la mediana y la moda del conjunto:
- Encuentra la media, la mediana y la moda de de los siguientes números. ¿Cuál de éstos sería el mejor promedio ? 15, 19, 15, 16, 11, 11, 18, 21, 165, 9, 11, 20, 16, 8, 17, 10, 12, 11, 16, 14
- En la tabla siguiente, se muestran diez casas en venta en Encinitas, California. Encuentra la media, la mediana y la deviación estándar de los precios de venta. Explica, utilizando la información, por qué la mediana del precio de las casas se usa más a menudo como una medida de precios de casas en un área.
| Dirección | Precio de venta | Fecha de venta |
|---|---|---|
| 643 3RD ST | $1,137,000 | 6/5/2007 |
| 911 CORNISH DR | $879,000 | 6/5/2007 |
| 911 ARDEN DR | $950,000 | 6/13/2007 |
| 715 S VULCAN AVE | $875,000 | 4/30/2007 |
| 510 4TH ST | $1,499,000 | 4/26/2007 |
| 415 ARDEN DR | $875,000 | 5/11/2007 |
| 226 5TH ST | $4,000,000 | 5/3/2007 |
| 710 3RD ST | $975,000 | 3/13/2007 |
| 68 LA VETA AVE | $796,793 | 2/8/2007 |
| 207 WEST D ST | $2,100,000 | 3/15/2007 |
Para los ejercicios del 8 al 10, determina cuál promedio de medida central (media, mediana y moda) sería la más apropiada para los siguientes casos.
- La expectativa de vida de un pez de colores comprado en una tienda.
- La edad en años de la audiencia de un programa de televisión para niños.
- El peso de una bolsa de papas que una tienda etiqueta como una “bolsa de 5 libras”.
