Propiedades de la suma de números reales
Aquí aprenderá las propiedades de la suma que se aplican a los números reales: la propiedad conmutativa, la propiedad de clausura, la propiedad asociativa, la propiedad de identidad y la propiedad inversa.
El primer día de clases, usted se viste con sus prendas nuevas. Al vestirse, se colocó un calcetín en el pie izquierdo y un calcetín en el pie derecho. ¿Habría sido diferente si se colocaba un calcetín en el pie derecho primero y luego un calcetín en el pie izquierdo?
Guía
Hay cinco propiedades de la suma que es importante conocer.
Propiedad conmutativa
En álgebra, la operación de suma es conmutativa. El orden en el cual suma dos números reales no modifica el resultado, como se ve a continuación:
El orden en que suma los números no altera la respuesta. Esto se denomina propiedad conmutativa de la suma. En general, la propiedad conmutativa de la suma establece que el orden en el cual se suman dos números no afecta a la suma. Si
y
son números reales, entonces
.
Propiedad de clausura
La suma de dos números reales cualesquiera dará como resultado un número real. Esto se conoce como propiedad de clausura de la suma. El resultado siempre será un número real. En general, la propiedad de clausura establece que la suma de dos números reales cualesquiera es un número real único. Si
y
son números reales, entonces
.
Propiedad asociativa
El orden en el cual se agrupan tres o más números reales para sumarlos no afectará a la suma. Esto se conoce como propiedad asociativa de la suma. El resultado siempre será el mismo número real. En general, la propiedad asociativa establece que el orden en el cual se agrupan los números para sumarlos no modifica la suma. Si
y
son números reales, entonces
.
Identidad aditiva
Si se suma cero a cualquier número real, la respuesta siempre será el número real. El cero se conoce como la identidad aditiva o el elemento de identidad de la suma. La suma de un número y cero es ese número. Esto se denomina propiedad de identidad de la suma. Si
es un número real, entonces
.
Inverso aditivo
La suma de cualquier número real y su inverso aditivo es cero. Esto se denomina propiedad inversa de la suma. Si
es un número real, entonces
.
Ejemplo A
Use una recta numérica para demostrar que
.
Solución: En una recta numérica, se suma un número positivo desplazándose a la derecha sobre la recta numérica y se suma un número negativo desplazándose a la izquierda sobre la recta numérica.
Se coloca el punto rojo en +5. Luego se suma (–3) desplazándose tres lugares a la izquierda. El resultado es +2.
Se coloca el punto azul en –3. Luego se suma (+5) desplazándose tres lugares a la derecha. El resultado es +2.
Ejemplo B
¿Es
un número real?
Solución:
El resultado es –8. Es un número entero. Un entero es un número real. Éste es un ejemplo de la propiedad de clausura
Ejemplo C
¿Es
?
Solución:
Se coloca el punto rojo en –4. Luego se suma (+7) desplazándose siete lugares a la derecha. Luego se suma (+5) desplazándose cinco lugares a la derecha. El resultado es +8.
Se coloca el punto azul en +7. Luego se suma (+5) desplazándose cinco lugares a la derecha. Luego se suma (–4) desplazándose cuatro lugares a la izquierda. El resultado es +8.
Los números del problema eran los mismos, pero estaban agrupados de maneras diferentes. La respuesta fue la misma en ambos casos. Éste es un ejemplo de la propiedad asociativa de la suma.
Ejemplo D
¿Es
?
Solución:
Se coloca el punto rojo en –5. Si se suma cero a un número, no hay desplazamiento a la derecha ni a la izquierda. Entonces, el resultado es –5.
Éste es un ejemplo del uso de la identidad aditiva.
Ejemplo E
¿Es
?
Solución:
Se coloca el punto rojo en +6. Luego se suma (–6) desplazándose seis lugares a la izquierda. El resultado es 0.
Cuando a cualquier número real se le suma su opuesto, el resultado siempre será cero. Si
es un número real cualquiera, su opuesto es
. El opuesto,
, también se conoce como el inverso aditivo de
.
Revisión del problema de concepto
Recuerde la pregunta sobre los calcetines. El orden en el cual se coloca los calcetines no afecta al resultado: tiene un calcetín en cada pie.
Es como la propiedad conmutativa en álgebra. El orden en el que suma dos números reales no modifica el resultado.
Vocabulario
- Identidad aditiva
- La identidad aditiva para la suma de números reales es cero.
- Inverso aditivo
-
El
inverso aditivo
de la suma es el opuesto del número real y la suma del número real y su inverso aditivo es cero. Si
es un número real cualquiera, su inverso aditivo es
.
- Propiedad asociativa
-
La
propiedad asociativa de la suma
establece que el orden en el cual se agrupan tres o más números reales para sumarlos no afectará a la suma. Si
y
son números reales, entonces
.
- Propiedad de clausura
-
La
propiedad de clausura de la suma
establece que la suma de dos números reales cualesquiera es un número real único. Si
y
son números reales, entonces
.
- Propiedad conmutativa
-
La
propiedad conmutativa
de la suma establece que el orden en el cual se suman dos números no afecta a la suma. Si
y
son números reales, entonces
.
- Elemento de identidad de la suma
- El término elemento de identidad de la suma es otro nombre para la identidad aditiva de la suma. Por lo tanto, el elemento de identidad de la suma es cero.
- Propiedad de identidad
-
La
propiedad de identidad de la suma
establece que la suma de un número y cero es ese número. Si
es un número real, entonces
.
- Propiedad inversa
-
La
propiedad inversa de la suma
establece que la suma de cualquier número real y su inverso aditivo es cero. Si
es un número real, entonces
.
Práctica guiada
1. Sume aplicando las propiedades de la suma:
2. ¿Qué propiedad justifica la expresión?
3. Aplique la propiedad conmutativa de la suma en el siguiente problema.
Respuestas:
1.
2. Propiedad asociativa
3. Esto es lo mismo que
.
Práctica
Asocie cada una las siguientes expresiones de suma con la propiedad de suma correcta.
- Propiedad conmutativa
- Propiedad de clausura
- Propiedad inversa
- Propiedad de identidad
- Propiedad asociativa
Sume lo siguiente aplicando las propiedades de la suma:
Indique la propiedad de la suma que se muestra en cada una de las siguientes expresiones de suma:
