Propiedades de la multiplicación de números reales

Aquí aprenderá las propiedades de la multiplicación que se aplican a los números reales: la propiedad conmutativa, la propiedad de clausura, la propiedad asociativa, la propiedad de identidad y la propiedad inversa.

¿Da $(-2)\times(-3)$ el mismo resultado que $(-3)\times(-2)$ ?

Guía

Hay cinco propiedades de la multiplicación que es importante conocer.

Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa de la multiplicación establece que el orden en el cual se multiplican dos números no afecta al producto. Si $a$ y $b$ son números reales, entonces $a\times b=b\times a$ .

Propiedad de clausura

El producto de dos números reales cualesquiera dará como resultado un número real. Esto se conoce como propiedad de clausura de la multiplicación. De forma general, la propiedad de clausura establece que el producto de dos números reales cualesquiera es un número real único. Si $a, b$ y $c$ son números reales, entonces $a\times b=c$ .

Propiedad asociativa

El orden en el cual se agrupan tres o más números reales para multiplicarlos no afectará al producto. Esto se conoce como propiedad asociativa de la multiplicación. El resultado siempre será el mismo número real. En general, la propiedad asociativa establece que el orden en el cual se agrupan los números para multiplicarlos no modifica al producto. Si $a, b$ y $c$ son números reales, entonces $(a\times b)\times c=a \times(b \times c)$ .

Identidad multiplicativa

Cuando se multiplica cualquier número real por el número uno, el número real no cambia. Esto es verdadero ya sea que el número real es positivo o negativo. El número 1 se denomina identidad multiplicativa o elemento de identidad de la multiplicación. El producto de un número y uno es ese número. Esto se denomina propiedad de identidad de la multiplicación. Si $a$ es un número real, entonces $a \times 1 =a$ .

Inverso multiplicativo

Si $a$ es un número real distinto de cero, entonces el recíproco o inverso multiplicativo de $a$ es $\frac{1}{a}$ . El producto de cualquier número real distinto de cero y su recíproco siempre es uno. El número 1 se denomina identidad multiplicativa o elemento de identidad de la multiplicación. Por lo tanto, el producto de $a$ y su recíproco es el elemento de identidad de la multiplicación (uno). Esto se conoce como propiedad inversa de la multiplicación. Si $a$ es un número real distinto de cero, entonces $a \times \frac{1}{a}=1$ .

Ejemplo A

¿Es $(-3)\times(+2)=(+2)\times(-3)$ ?

Solución: $(-3)\times(+2)=(+2)\times(-3) = -6$ .

Éste es un ejemplo de la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Ejemplo B

¿Es $(-6)\times(+3)=$ un número real?

Solución: $(-6)\times(+3)=-18$ , un número real. Éste es un ejemplo de la propiedad de clausura de la multiplicación.

Ejemplo C

¿Es $(-3\times 2)\times 2=-3 \times (2 \times 2)$ ?

Solución: $(-3\times 2)\times 2=-3 \times (2 \times 2)=-12$ . Aunque los números estén agrupados de maneras diferentes, el resultado es el mismo. Éste es un ejemplo de la propiedad asociativa de la multiplicación.

Ejemplo D

¿Es $8 \times 1=8$ ?

Solución: Sí. Éste es un ejemplo de la propiedad de identidad de la multiplicación.

Ejemplo E

¿Es $7 \times \frac{1}{7}=1$ ?

Solución: Sí. Éste es un ejemplo de la propiedad inversa de la multiplicación.

Revisión del problema de concepto

$(-2)\times (-3)=(-3)\times(-2)=6$ .

El orden en el cual multiplicó los números no afectó a la respuesta. Éste es un ejemplo de la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Vocabulario

Identidad multiplicativa: La identidad multiplicativa para la multiplicación de números reales es uno.

Inverso multiplicativo: El inverso multiplicativo de la multiplicación es el recíproco del número real distinto de cero y el producto del número real y su inverso multiplicativo es uno. Si $a$ es un número real cualquiera distinto de cero, su inverso multiplicativo es $\frac{1}{a}$ .

Propiedad asociativa: La propiedad asociativa de la multiplicación establece que el orden en el cual se agrupan tres o más números reales para multiplicarlos no afectará al producto. Si $a, b$ y $c$ son números reales, entonces $(a \times b)\times c=a \times(b \times c)$ .

Propiedad de clausura: La propiedad de clausura de la multiplicación establece que el producto de dos números reales cualesquiera es un número real único. Si $a, b$ y $c$ son números reales, entonces $a \times b = c$ .

Propiedad conmutativa: La propiedad conmutativa de la multiplicación establece que el orden en el cual se multiplican dos números no afecta al producto. Si $a$ y $b$ son números reales, entonces $a \times b= b \times a$ .

Elemento de identidad de la multiplicación: El término elemento de identidad de la multiplicación es otro nombre para la identidad multiplicativa de la multiplicación. Por lo tanto, el elemento de identidad de la multiplicación es uno.

Propiedad de identidad: La propiedad de identidad de la multiplicación establece que el producto de un número y uno es ese número. Si $a$ es un número real, entonces $a \times 1=a$ .

Propiedad inversa: La propiedad inversa de la multiplicación establece que el producto de cualquier número real y su inverso multiplicativo es uno. Si $a$ es un número real distinto de cero, entonces $a \times \left(\frac{1}{a}\right)=1$ .

Práctica guiada

1. Multiplique usando las propiedades de la multiplicación: $\left(6 \times \frac{1}{6} \right)\times(3 \times -1)$

2. ¿Qué propiedad de la multiplicación justifica la expresión $(-9 \times 5)\times 2= -9 \times (5 \times 2)$ ?

3. ¿Qué propiedad de la multiplicación justifica la expresión $-176 \times 1=-176$ ?

Respuestas:

1. $\left(6 \times \frac{1}{6} \right)\times(3 \times -1)=\frac{6}{6}\times -3=1\times -3=-3$

2. Propiedad asociativa de la multiplicación

3. Propiedad de identidad de la multiplicación

Práctica

Asocie cada una las siguientes expresiones de multiplicación con la propiedad de multiplicación correcta.

$9 \times \frac{1}{9}=1$
$(-7 \times 4)\times 2 = -7 \times(4 \times 2)$
$-8 \times (4) = -32$
$6 \times(-3)=(-3) \times 6$
$-7 \times 1=-7$

Propiedad conmutativa
Propiedad de clausura
Propiedad inversa
Propiedad de identidad
Propiedad asociativa

En cada una de las siguientes preguntas, encierre la respuesta correcta con un círculo.

¿A qué es igual ?
1. –20
2. –4
3. +20
4. +4

¿Cuál es otro nombre para el recíproco de cualquier número real?
1. identidad aditiva
2. identidad multiplicativa
3. inverso multiplicativo
4. inverso aditivo

¿Cuál es la identidad multiplicativa?
1. –1
2. 1
3. 0
4. $\frac{1}{2}$

¿Cuál es el producto de un número real distinto de cero y su inverso multiplicativo?
1. 1
2. –1
3. 0
4. no tiene producto

¿Cuál de las siguientes afirmaciones NO es verdadera?
1. El producto de cualquier número real y menos uno (-1) es el opuesto de ese número real.
2. El producto de cualquier número real y cero siempre es cero.
3. El orden en el cual se multiplican dos números reales no afecta al producto.
4. El producto de cualquier número real y menos uno (-1) siempre es un número negativo.

Indique la propiedad de la multiplicación que se muestra en cada una de las siguientes expresiones de multiplicación:

$(-6\times 7)\times 2=-6 \times(7 \times 2)$
$-12 \times 1 =-12$
$25 \times 3 = 3 \times 25$
$10 \times \frac{1}{10}=1$
$-12 \times 3=-36$

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