Orden de las operaciones con números reales positivos

Aquí aprenderá el orden estándar de las operaciones para los cálculos aritméticos.

Rosa entró a la clase de Matemáticas y vio el siguiente problema en la pizarra.

$\boxed{6+12 \div 2 \times 3+1}$

La profesora, la Sra. Black, pidió a la clase que calcularan el valor de la expresión matemática. Cuando los estudiantes habían terminado la asignación, la Sra. Black pidió a varios estudiantes que transcribieran su trabajo en la pizarra. Estos son los resultados:

¿Qué respuesta es correcta?

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Khan Academy Introduction to Order of Operations (Introducción al orden de las operaciones) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

$\boxed{6+12 \div 2 \times 3+1}$

Para evitar confusiones al calcular el valor de expresiones matemáticas como la anterior, los matemáticos han adoptado un orden estándar de operaciones para los cálculos aritméticos. Este estándar de operaciones consiste en las siguientes reglas:

Primero realice todos los cálculos dentro de los p aréntesis.
Resuelva todos los cálculos con los términos que tienen e xponentes.
Realice toda m ultiplicación y d ivisión, en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.
Realice toda a dición (suma) y s ustracción (resta), en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.

Si mira las letras de arriba que están destacadas, verá que forman la palabra PEMDAS (paréntesis, exponentes, multiplicación, división, adición, sustracción). La palabra PEMDAS sirve como método para recordar el orden en que se realizan los cálculos aritméticos.

Ejemplo A

Aplique el método PEMDAS para realizar los siguientes cálculos.

$360 \div (18+6\times 2)-2$

Solución: Al realizar los cálculos de los números entre paréntesis, aplique las reglas para el orden de las operaciones.

$360 \div(18+{\color{blue}12})-2$

Al haber resuelto los cálculos de los paréntesis, los paréntesis ya no son necesarios.

$360 \div {\color{blue}30} -2$

No hay exponentes en este problema. El próximo paso es realizar la división.

${\color{blue}12}-2$

El último paso es restar 2 a 12. La respuesta final es 10.

$= 10$

Ejemplo B

$\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{6}\right) \times (5 \times 3^2-5)$

Solución: Hay dos pares de paréntesis. Haga los cálculos de izquierda a derecha en el primer par de paréntesis.

${\color{blue}\frac{11}{12}} \times (5 \times 3^2-5)$

$\frac{11}{12} \times (5 \times {\color{blue}9} -5)$

$\frac{11}{12} \times ({\color{blue}45}-5)$

$\frac{11}{12} \times {\color{blue}40}$

$=36 \frac{2}{3}$

Ejemplo C

$(1+6)^2 - \frac{2+4 \times 12}{18-4 \times 2}+(72 \div 8)$

Solución: Para comenzar, sume los números dentro del primer paréntesis.

$({\color{blue}7})^2 - \frac{2+4 \times 12}{18-4 \times 2}+(72 \div 8)$

${\color{blue}49} - \frac{2+4 \times 12}{18-4 \times 2}+(72 \div 8)$

$49- \frac{2+4 \times 12}{18-4 \times 2}+ {\color{blue}9}$

Recuerde que la línea de una fracción implica dividir. Antes de poder completar la división, debe obtener una respuesta para los cálculos del numerador y del denominador. Debe aplicar el método PEMDAS para hacer los cálculos.

$49 - \frac{2+{\color{blue}48}}{18-{\color{blue}8}}+9$

$49 - \frac{{\color{blue}50}}{{\color{blue}10}}+9$

$49-{\color{blue}5}+9$

$={\color{blue}53}$

Ejemplo D

$6.12+8.6\times0.9-(10.26\div3.8)$

Solución:

$& =6.12+8.6\times 0.9- {\color{blue}2.7} \\\& =6.12+{\color{blue}7.74}-2.7 \\\& ={\color{blue}13.86}-2.7 \\\& ={\color{blue}=11.16}$

Ejemplo E

Si $m=2$ y $n=3$ , calcule $m^2+3n-7$ .

Solución: El primer paso es reemplazar los valores en la expresión dada.

$m^2+3n-7$

$=(2)^2+3 \times 3-7$

$&= {\color{blue}4}+3\times 3-7 \\\& =4+{\color{blue}9}-7\\\& ={\color{blue}13}-7 \\\& = {\color{blue}6}$

Revisión del problema de concepto

La última solución es la correcta.

La Sra. Black habría reducido la confusión a un mínimo si hubiera escrito la expresión con paréntesis.

$\boxed{6+(12\div2\times 3)+1}$

Vocabulario

Paréntesis: Los paréntesis , ( ), son símbolos que se usan para agrupar números en matemáticas.

PEMDAS: Las letras PEMDAS representan el orden estándar de las operaciones para realizar cálculos con expresiones matemáticas.

P: Paréntesis; E: Exponentes; M: Multiplicación; D: División; A: Adición; S: Sustracción

Práctica guiada

1. Realice las siguientes operaciones usando PEMDAS: $8\times 9+19 \div(30-11)-6$

2. Un trabajo de remodelación requiere 132 pies cuadrados de mostradores. Se consideran dos opciones. La opción más costosa es usar solamente Corian a $66 por pie cuadrado. La opción más económica es usar 78 pies cuadrados de granito a $56 por pie cuadrado y 54 pies cuadrados de laminado a $23 por pie cuadrado. Escriba una expresión matemática para calcular la diferencia en costo entre la opción más costosa y la más económica. ¿Cuál es la diferencia en costos?

3. Encuentre la respuesta de $\frac{12+6}{6+3}+\frac{36}{4}-(12\div 12)$ aplicando las reglas para el orden estándar de operaciones.

Respuestas:

$& 8 \times 9 + 19 \div(30-11)-6\\\& 8 \times 9 +19 \div {\color{blue}19}-6 \\\& {\color{blue}72}+19\div 19-6 \\\& 72+{\color{blue}1}-6 \\\& {\color{blue}73}-6 \\\& {\color{blue}= 67}$

2. La primera opción cuesta $3102 más que la segunda opción.

$& (132 \times \$ 66)-(78 \times \$ 56 + 54 \times \$ 23)\\\ & {\color{blue} \$8712}-(78 \times \$ 56+54 \times \$ 23) \\\& \$8712 - ({\color{blue}\$4368+\$1242}) \\\& \$ 8712 - {\color{blue}\$5610} \\\& = \$3102$

$& \frac{12+6}{6+3} + \frac{36}{4} - (12 \div 12)\\\& \frac{12+6}{6+3} + \frac{36}{4} - {\color{blue}1} \\\& \frac{12+6}{6+3}+{\color{blue}9}-1 \\\& {\color{blue}\frac{18}{9}}+9-1 \\\& {\color{blue}2}+9-1 \\\& {\color{blue}11}-1 \\\& ={\color{blue}10}$

Planteo y resolución de problemas

Realice los cálculos indicados, usando PEMDAS para determinar la respuesta.

$\frac{4^2(8+7)}{6}$
$\frac{2 \times 6}{4}(5-2)$
$\frac{15 \times 3}{5}+4(7 \times 1)-2 \times 3$
$4+27 \div 3\times 2-6$
$7^2-3 \times 2^3-5$

Para cada uno de los siguientes problemas, escriba una sola expresión matemática para representar el problema. A continuación, use la expresión para determinar la respuesta.

Al comienzo del día lunes, la cafetería tiene 520 paquetes de tortilla. El supervisor estima que necesitará 68 paquetes cada día. El jueves llegará un nuevo envío con 300 paquetes. Calcule la cantidad de paquetes que tendrá el viernes al finalizar el día.
Los estudiantes inscritos en el curso de albañilería calculan el costo para la construcción de una pared de piedra y una puerta. Estiman que requerirán 40 horas para terminar el trabajo. Necesitarán los servicios de dos trabajadores y se les pagará $12 la hora. También necesitarán tres albañiles y se les pagará $16 la hora. El costo de los materiales es $2140. ¿Cuál es el costo estimado del trabajo?
La Sra. Forsythe compró 15 calculadoras científicas a $19 cada una y recibió un crédito de $8 por cada una de las siete calculadoras simples que devolvió. ¿Cuánto dinero gastó para comprar las calculadoras científicas?
Un jardinero cobró a su cliente $472 por la mano de obra y $85 por cada una de ocho porciones de tierra con plantones. ¿Cuál fue el costo total del trabajo?
Un pintor tenía un billete de cien dólares cuando fue a la ferretería para comprar materiales para un trabajo. Compró 2 cuartos de galón de pintura látex blanca a $8 cada cuarto de galón, y 4 galones de esmalte blanco a $19 cada galón. ¿Cuánto recibió de vuelto?

Si $a=2, b=3$ y $c=5$ , calcule la respuesta usando PEMDAS.

$6a-3b+4c$
$2a^2-3a+b^2$
$3ac-2ab+bc$
$a^2+b^2+c^2$
$3a^2(4c-3b)$

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