Orden de las operaciones con números reales negativos

Aquí practicará el orden estándar de las operaciones para los cálculos aritméticos con números reales negativos.

Ginny entró a la clase de Matemáticas y vio el siguiente problema en la pizarra.

Halle el valor de la siguiente expresión, donde $a = -2, b = 3, c = -1, d = 1$

$\boxed{(4a+c)\div b-(bd)\div (ac)}$

¿Puede responder esta pregunta?

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Guía

El orden estándar de operaciones implica pasos específicos para realizar los cálculos matemáticos presentados en una expresión matemática. Estos pasos están representados por las letras PEMDAS.

P (Paréntesis): Resuelva todos los cálculos entre paréntesis.

E (Exponentes): Resuelva todos los cálculos que implican exponentes.

M/D (Multiplicación/División): Resuelva toda multiplicación y división, en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.

A/S (Adición/Sustracción): Resuelva toda adición y sustracción, en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.

Estos pasos son los mismos, ya sea que se apliquen a números reales positivos o a números reales negativos. Las reglas para sumar, restar, multiplicar y dividir números reales negativos se debe aplicar al calcular expresiones que requieren usar el método PEMDAS.

Ejemplo A

Realice los siguientes cálculos: $32 \div 4^2 \times 2-21$

Solución: No hay cálculos entre paréntesis. El primer paso es calcular el valor con exponente.

$=32\div {\color{blue}16}\times 2-21$

El paso siguiente es realizar toda división o multiplicación, en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.

$={\color{blue}2} \times 2-21$

$={\color{blue}4}-21$

El último paso es volver a escribir la expresión como una suma y cambiar el signo del número que originalmente se estaba restando.

$=4{\color{blue}+-}21$

Al sumar dos números con signos diferentes, reste los números y el signo del número de mayor magnitud será el signo de la respuesta.

$= {\color{blue}-17}$

Ejemplo B

Halle el valor de la siguiente expresión, donde $a = -2, b = 3, c = -1, d = 1$ .

$(4a^2c^2)-(3ac^3)$

Solución: Comience por reemplazar las variables con los valores dados. Use corchetes para agrupar las operaciones que estaban entre paréntesis.

$=[4(-2)^2(-1)^2] - [3(-2)(-1)^3]$

En el primer par de corchetes, realice los cálculos de los números con exponentes.

$=[4({\color{blue}4})({\color{blue}1})] - [3(-2)(-1)^3]$

En el segundo par de corchetes, realice los cálculos de los números con exponentes.

$=[4(4)(1)]-[3(-2)({\color{blue}-1})]$

En el primer par de corchetes, realice la multiplicación. Ahora puede eliminar los corchetes.

$={\color{blue}16}-[3(-2)({\color{blue}-1})]$

En el segundo par de corchetes, realice la multiplicación. Ahora puede eliminar los corchetes.

$=16-{\color{blue}6}$

Reste los números.

$={\color{blue}10}$

Ejemplo C

¿Cuál es el valor de $3-2 \left[\frac{8(-1)-7}{-3(2)-4}\right]$ ?

Solución: = $3-2\left[\frac{{\color{blue}-8}-7}{-3(2)-4}\right]$

$=3-2\left[\frac{-8-7}{{\color{blue}-6}-4}\right]$

$=3-2 \left[\frac{-8{\color{blue}+-}7}{-6{\color{blue}+-}4}\right]$

$=3-2\left[{\color{blue}\frac{-15}{-10}}\right]$

$=3- {\color{blue}\frac{-30}{-10}}$

$=3-{\color{blue}3}$

$={\color{blue}0}$

Revisión del problema de concepto

Halle el valor de la siguiente expresión, donde $a = -2, b = 3, c = -1, d = 1$

$\boxed{(4a+c)\div b-(bd)\div (ac)}$

Ginny no tuvo inconvenientes para resolver el problema porque recordaba los pasos establecidos en el orden estándar de las operaciones. Al ver que los valores de dos de las variables eran números negativos, se dio cuenta de que debería tener cuidado al hacer los cálculos porque también debía aplicar las reglas aprendidas para sumar, restar, multiplicar y dividir números reales negativos.

$(4a+c)\div b-(bd) \div(ac)$

Ginny comenzó por reemplazar las variables con los valores dados.

$(4(-2)+(-1))\div 3-((3)(1))\div((-2)(-1))$

Para evitar errores en los cálculos, Ginny escribió todos los valores entre paréntesis. Ahora la expresión tiene paréntesis entre paréntesis. Esto puede parecer confuso y podría distorsionar el orden en el que se deben resolver las operaciones. Ginny preguntó al profesor cómo escribir la expresión de otra manera. El profesor le aconsejó que reemplazara los paréntesis exteriores con corchetes [ ]. Los corchetes son otro tipo de símbolo de agrupación. Al calcular una expresión que tiene símbolos de agrupación (paréntesis) dentro de símbolos de agrupación (corchetes), realice primero las operaciones dentro del par de símbolos interiores. No es necesario cumplir esta regla, pero es bueno aplicarla.

Ginny volvió a escribir la expresión utilizando corchetes y paréntesis.

$[4(-2)+(-1)]\div 3-[(3)(1)] \div [(-2)(-1)]$

$=[{\color{blue}-8}+(-1)]\div 3 - [(3)(1)] \div [(-2)(-1)]$

$=[-8+(-1)] \div 3-[3]\div[2]$

$=[{\color{blue}-9}] \div 3-[3] \div [2]$

$=-9\div 3-3\div 2$

$={\color{blue}-3}-3 \div 2$

$=-3- 1.5$

$=-3- 1.5 \rightarrow -3+ -1.5$

$=-3+ -1.5$

$={\color{blue}-4.5}$

Vocabulario

Corchetes: Los corchetes , [ ], son símbolos que se usan para agrupar números en matemáticas.

Paréntesis: Los paréntesis , ( ), son símbolos que se usan para agrupar números en matemáticas.

PEMDAS: Las letras PEMDAS representan el orden estándar de las operaciones para realizar cálculos con expresiones matemáticas.

P: Paréntesis; E: Exponentes; M: Multiplicación; D: División; A: Adición; S: Sustracción

Práctica guiada

1. Realice las siguientes operaciones: $8 \times -9 +19 \div (-30+11)-14 \times (-1)^2$

2. Encuentre la respuesta de: $\left(\frac{-12-6}{6+3}\right)+\left(\frac{-36}{-4}\right)+(-8 \times 2)$

3. Una fórmula de geometría es $V=\frac{h}{6}(B+4M+b)$ . Halle $V$ , donde $h = -15, B = 12,M = 8, b = 4$ .

Respuestas:

$& 8 \times -9+19 \div (-30+11)-14 \times (-1)^2\\\& =8 \times 9 +19 \div {\color{blue}-19}-14 \times (-1)^2 \\\& =8 \times9+19 \div {\color{blue}-19}-14 \times (-1)^2 \\\& ={\color{blue}72}+19 \div -19-14\times 1\\\& =72+{\color{blue}-1}-14 \times 1 \\\& =72+-1-{\color{blue}14} \\\& ={\color{blue}71}-14 \\\& ={\color{blue}57}$

$& \left(\frac{-12-6}{6+3}\right)+\left(\frac{-36}{-4}\right)+(-8 \times 2)\\\& =\left({\color{blue}\frac{-18}{9}}\right)+\left(\frac{-36}{-4}\right)+(-8 \times 2)\\\& ={\color{blue}-2}+\left(\frac{-36}{-4}\right)+(-8 \times 2)\\\& =-2+{\color{blue}9}+(-8 \times 2)\\\& =-2+9+{\color{blue}-16}\\\& ={\color{blue}-9}$

$& V=\frac{h}{6}(B+4M+b).\\\& V=\frac{-15}{6}(12+4(8)+4)\\\ & V=\frac{-15}{6}(12+{\color{blue}32}+4)\\\& V=\frac{-15}{6}(\color{blue}48)\\\& V={\color{blue}-2.5}(48)\\\& V={\color{blue}-120}$

Práctica

Si y , ¿cuál es el valor de ? _______
1. 221
2. 59
3. –49
4. 43
Calcule , donde y : _______
1. 1
2. $\frac{1}{12}$
3. $\frac{2}{5}$
4. $\frac{5}{2}$
Calcule: , donde y _______
1. 75
2. 2
3. 3
4. 4
Simplifique lo siguiente: _______
1. –6
2. –2
3. 2
4. –19
Realice las siguientes operaciones y calcule: _______
1. 109
2. 5
3. 11
4. 25
¿Qué expresión tiene el mayor valor si y ?
1. $3[a^2+b^2-2ab-2(a^2-b^2)]$
2. $3(a-b)-2(b-a)+3(a-2b)$
3. $b(a-b)-a(b-a)-ab$

Realice los cálculos indicados.

$\frac{6-(24-14)}{-10-[2-(-4)^2]}$
$\frac{[12-(-15+6)]\times 4 -16}{-4}$
$3\left(-2 \times \frac{20}{-4 \times -1}-5-7\right)$
$-3 \times 5 -[3(3+9)-9\times -3]$
$4^2-(4+8-2-4-2\times 7)$
$2\times -18+9\div -3-5\times -2$
$-4\times (-12-8)\div -2$
$-15-6\div 3$
$\frac{-2-(15-5)}{-4\times -2-12+-6\div 3}$

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