Notación decimal

Aquí aprenderá la diferencia entre un número decimal exacto y un número decimal periódico. También aprenderá a expresar una fracción en forma decimal y a expresar un número en forma decimal como fracción.

¿Cuál es mayor, $\frac{18}{99}$ o $\frac{15}{80}$ ? ¿Cómo puede usar los decimales para ayudarle a resolver este problema?

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Khan Academy Converting Fractions to Decimals (Conversión de fracciones en decimales) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Para convertir una fracción en un número en forma decimal, debe dividir el numerador por el denominador. Puede hacer esta cálculo con la división larga o usando una calculadora. Si, después de la división, los números después del separador decimal son de una cantidad limitada, es un decimal exacto. Si, después de la división, los números después del separador decimal se repiten en una secuencia indefinidamente, es un decimal periódico.

$\frac{3}{4}=3\div 4=0.75$ . Éste es un decimal exacto.
$\frac{3}{13}=3\div 13=0.230769230769...$ . Éste es un decimal periódico. El período es 230769 porque es el conjunto de números que se repite.

Tenga en cuenta que un número racional es cualquier número que se puede escribir en la forma $\frac{a}{b}$ donde $b \ne 0$ . Por lo tanto, tanto los decimales periódicos como los decimales exactos son números racionales.

Ejemplo A

¿Qué fracción es igual a 0.45454545... ?

Solución: Éste es un decimal periódico. El período tiene longitud 2 porque la secuencia que se repite consiste de 2 dígitos. Para expresar el número como una fracción, siga estos pasos:

Paso 1: En este caso $x=0.45454545$

Paso 2: Los dígitos que se repiten son 45. Coloque los dígitos que se repiten a la izquierda del separador decimal desplazando el separador decimal 2 lugares a la derecha.

45.454545

Para desplazar el separador decimal dos lugares a la derecha, el número decimal se multiplicó por 100. Si vuelve al paso 1, verá la ecuación $x=0.45454545$ . Si multiplica un lado de la ecuación por 100, debe multiplicar el otro lado por 100. Ahora tiene $100x=45.454545$

Paso 3: Reste las dos ecuaciones y halle $x$ .

$&100x=45.454545\\\& \underline{\;\; -x=0.45454545}\\\& \frac{99x}{99}=\frac{45}{99}\\\& \quad \ x=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$

Ejemplo B

¿Qué fracción es igual a 0.125?

Solución: Se ve que este número es un número decimal exacto. Los pasos a seguir para expresar 0.125 como una fracción son:

Paso 1: Exprese el número como un número entero desplazando el separador decimal a la derecha. En este caso, el separador decimal se debe desplazar tres lugares a la derecha.

Paso 2: $0.125=125$

Exprese 125 como una fracción con denominador 1 seguido de tres ceros. Los tres ceros representan la cantidad de lugares que se desplazó el separador decimal.

$\frac{125}{1000}$

Paso 3: Si es posible, simplifique la fracción. Si no está seguro de la forma simplificada, puede hacer los cálculos con la calculadora gráfica.

Por lo tanto, el número decimal 0.125 es equivalente a la fracción $\frac{1}{8}$ .

El método que se explicó arriba se puede usar si no recuerda el valor de posición asociado con los números decimales. Si recuerda los valores de posición, simplemente puede escribir el decimal como fracción y simplificar dicha fracción.

Ejemplo C

¿Los siguientes números decimales son exactos o periódicos? Si son periódicos, ¿cuál es el período y cuál es su longitud?

i) 0.318181818...

ii) 0.375

iii) 0.3125

iv) 0.1211221112...

Solución:

i) Un decimal periódico cuyo período es 18. La longitud del período es 2.

ii) 0.375 es un decimal exacto.

iii) 0.3125 es un decimal exacto.

iv) 0.1211221112 no es un decimal exacto ni es un decimal periódico. Por lo tanto, este decimal no es un número racional. Los decimales que no son periódicos pertenecen al conjunto de los números irracionales.

Revisión del problema de concepto

Puede convertir ambas fracciones a decimales para ver cuál es mayor.

$\frac{18}{99}=.1818...$

$\frac{15}{80}=.1875$

Puede ver que $\frac{15}{80}$ es mayor.

Vocabulario

Números irracionales: Un número irracional es el conjunto de números decimales no periódicos. Algunos ejemplos de números irracionales son $\sqrt{3},\sqrt{2}$ y $\pi$ .

Decimal periódico: Un decimal periódico es un número decimal que tiene una secuencia de dígitos que se repite. El número decimal 0.1465325325... es un decimal periódico.

Números racionales: Un número racional es cualquier número que se puede escribir en la forma $\frac{a}{b}$ donde $b \ne 0$ . Por lo tanto, los números decimales periódicos y los números decimales exactos son números racionales.

Decimal exacto: Un decimal exacto es un número decimal que tiene fin. El proceso de dividir la fracción finaliza cuando el resto es cero. El número decimal 0.25 es un decimal exacto.

Práctica guiada

1. Exprese 2.018181818 en la forma $\frac{a}{b}$ .

2. Exprese $\frac{15}{11}$ en forma decimal.

3. Si un comprimido de micro K contiene 0.5 gramos de potasio, ¿cuánto contienen $2\frac{3}{4}$ comprimidos?

Respuestas:

1. En este caso $x=2.018181818$ El período es 18.

$1000x=2018.181818$

$10x=20.18181818$

$& 1000 x=2018.181818 \qquad \text{These are the two equations that must be subtracted.}\\\& \underline{-10x=20.18181818}\\\& \frac{990x}{990}=\frac{1998}{990} \qquad \qquad \quad \ \ \text{Solve for} \ x.\\\& \quad \ \ x=\frac{1998}{990}$

Use una calculadora para simplificar la fracción.

$x=\frac{1998}{990}$

$x=\frac{111}{55}$

2. $\frac{15}{11}=1.3636...$

3. La cantidad de comprimidos está indicada como un número mixto. $2 \frac{3}{4}=2.75$ . $2.75 \times 0.5=1.375 \ grams$ .

Práctica

Exprese las siguientes fracciones en forma decimal.

$\frac{1}{12}$
$\frac{6}{11}$
$\frac{3}{20}$
$\frac{1}{13}$
$\frac{3}{8}$

Exprese los siguientes números en la forma $\frac{a}{b}$ .

0.325
3.72727272...
0.245454545...
0.618
0.36363636...

Complete la siguiente tabla.

	Fracción	Decimal
11.	$\frac{5}{64}$
12.	$\frac{11}{32}$
13.	$\frac{1}{20}$
14.		$0.0703125$
15.		$0.1875$

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