Gráficos en la recta numérica real

Aquí repasará los conjuntos de números que constituyen el sistema de los números reales. Además, aprenderá a representar desigualdades en una recta numérica real.

¿Puede describir el número 13? ¿Puede decir a qué conjuntos de números pertenece el número 13?

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Khan Academy Inequalities on a Number Line (Desigualdades en una recta numérica) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Todos los números sobre los que ha aprendido algo hasta ahora en matemáticas pertenecen al sistema de números reales. Los positivos, los negativos, las fracciones y los decimales son todos parte del sistema de números reales. El siguiente diagrama muestra cómo se agrupan todos los números del sistema de números reales.

Cualquier número del sistema de números reales se puede representar en una recta numérica real. También puede representar desigualdades en una recta numérica real. Para representar desigualdades, asegúrese de conocer los siguientes símbolos:

El símbolo > significa “es mayor que”.
EL símbolo < significa “es menor que”.
El símbolo $\geq$ significa “es mayor o igual que”.
El símbolo $\leq$ significa “es menor o igual que”.

El símbolo de desigualdad indica el tipo de punto que se coloca en el punto de inicio, y el conjunto de números indica si se dibuja una flecha sobre la recta numérica o si se usan puntos.

Ejemplo A

Represente $x>4$ donde $x$ es un entero, en una recta numérica.

Solución:

El punto hueco sobre el cuatro significa que 4 no está incluido en la representación de todos los enteros mayores que 4. Los puntos pequeños sobre 5, 6, 7 y 8 significan que estos números sí están incluidos en el conjunto de los enteros mayores que 4. La flecha que señala a la derecha significa que todos los enteros a la derecha de 8 también están incluidos en la representación de todos los enteros mayores que 4.

Ejemplo B

Represente esta expresión de desigualdad en una recta numérica $\{x \ge -2 | x \ \in \ R\}$ .

Solución: La expresión se puede leer como “ $x$ es mayor o igual que –2, tal que x pertenece a los números reales”. En otras palabras, represente todos los números reales mayores o iguales que –2.

El símbolo de desigualdad indica que $x$ es mayor o igual que –2. Esto quiere decir que –2 se incluye en la representación. Se coloca un punto relleno sobre –2 y sobre todos los números a la derecha de –2. Se traza la línea sobre la recta numérica para indicar que todos los números reales mayores que –2 también se incluyen en la representación.

Ejemplo C

Represente esta expresión de desigualdad, también conocida como notación de conjuntos, en una recta numérica $\{x|2 < x \le 7, x \ \in \ N\}$ .

Solución: Esta expresión de desigualdad se puede leer como $x$ tal que $x$ es mayor que 2 y menor o igual que 7 y $x$ pertenece a los números naturales. En otras palabras, todos los números naturales mayores que 2 y menores o iguales que 7.

La expresión de desigualdad que se debe representar en la recta numérica incluye los números naturales mayores que 2 y menores o iguales que 7. Esos son los únicos números que se representan. No hay flecha sobre la recta numérica.

Revisión del problema de concepto

¿A qué conjunto o conjuntos de números pertenece el número 13?

El número 13 es un número natural porque está en el conjunto $N=\{1,2,3,4 \ldots\}$ .

El número 13 es un número cardinal porque está en el conjunto $W=\{0,1,2,3 \ldots\}$ .

El número 13 es un número entero porque está en el conjunto $Z=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots\}$ .

El número 13 es un número racional porque está en el conjunto $Q=\{\frac{a}{b}, b \ne 0 \}$ .

El número 13 pertenece al sistema de números reales.

Vocabulario

Desigualdad: Una desigualdad es una proposición matemática que relaciona expresiones utilizando uno o más símbolos de desigualdad. Los símbolos de desigualdad son $>,<,\ge,\le$ .

Entero: Todos los números naturales, sus opuestos y el cero son enteros . Un número de la lista $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \ldots$

Números irracionales: Los números irracionales son aquellos que no se pueden expresar como la relación entre dos números. Los números irracionales incluyen a los números decimales no exactos y a los números decimales no periódicos.

Números naturales: Los números naturales son números para contar y consisten en todos los números enteros positivos. Los números naturales son los números de la lista $1, 2, 3\ldots$ y se suele hacer referencia a ellos como los enteros positivos.

Recta numérica: Una recta numérica es una recta que asocia un conjunto de puntos y un conjunto de números uno a uno. Se suele usar en matemáticas para mostrar cálculos matemáticos.

Números racionales: Los números racionales son números que se pueden escribir como la relación entre dos números $\frac{a}{b}$ y $b \ne 0$ . Los números racionales incluyen todos los números decimales exactos y los decimales periódicos.

Números reales: Los números racionales y los números irracionales conforman los números reales.

Notación de conjuntos: La notación de conjuntos es una expresión matemática que ilustra una desigualdad y el conjunto de números al cual pertenece la variable. $\{x|x \ge -3, x \ \in \ Z\}$ es un ejemplo de notación de conjuntos.

Práctica guiada

1. Marque el conjunto (o los conjuntos) a que pertenece cada número. El número puede pertenecer a más de un conjunto.

Número	$N$	$W$	$Z$	$Q$	$\overline{Q}$	$R$
5
$-\frac{47}{3}$
1.48
$\sqrt{7}$
0
$\pi$

2. Represente $\{x|-3 \le x \le 8, x \ \in \ R\}$ en una recta numérica.

3. Use la notación de conjuntos para describir el conjunto representado en la recta numérica.

Respuestas:

1. Repase las definiciones de cada conjunto de números.

Número	$N$	$W$	$Z$	$Q$	$\overline{Q}$
5	X	X	X	X
$-\frac{47}{3}$	X	X	X	X
1.48	X	X	X	X
$\sqrt{7}$					X
0		X	X	X
$\pi$					X

2. $\{x|-3 \le x \le 8, x \ \in \ R\}$

La notación de conjuntos indica la representación de todos los números reales entre –3 y +8. La línea que une los puntos rellenos representa el hecho de que el conjunto pertenece al sistema de los números reales.

3. El punto pequeño indica que –3 está incluido en la respuesta. Los puntos restantes están a la derecha de –3. El punto hueco indica que 2 no está incluido en la respuesta. Esto quiere decir que los números son todos menores que 2. La representación en una recta numérica se hace de menor a mayor o de izquierda a derecha. No hay una línea que una los puntos, de modo que la variable no pertenece al conjunto de los números reales. Sin embargo, los números enteros negativos, el cero y los números enteros positivos constituyen los números enteros. La notación de conjuntos representada en la recta numérica es $\{x|-3 \le x < 2, x \ \in \ Z\}$ .

Práctica

Describa cada notación de conjuntos en palabras.

$\{x|x > 8, x \ \in \ R\}$
$\{x|x \le -3, x \ \in \ Z\}$
$\{x|-4 \le x \le 6, x \ \in \ R\}$
$\{x|5 \le x \le 11, x \ \in \ W\}$
$\{x|x \ge 6, x \ \in \ N\}$

Aplique la notación de conjuntos para expresar cada representación

En cada una de las siguientes situaciones, aplique la notación de conjuntos para representar los límites.

Para dar una vuelta en el nuevo remolino chino del parque de diversiones, los niños no pueden tener más de 4.5 pies de altura.
Se organiza un baile en el salón comunal para recaudar dinero para la lucha contra el cáncer de mama. El baile es solo para personas de 19 años o más.
Un conductor de trineo en la competencia Alaska Speed Quest debe comenzar la carrera con no menos de 10 perros ni más de 16.
Los residentes de una pequeña comunidad planifican una fiesta de patinaje en el lago local. Para que el evento se pueda realizar, la temperatura exterior debe ser superior a $-6^\circ C$ pero no superior a $-1^\circ C$ .
Juanita y Hans planifican la cena de su boda en un lugar local. Para reservar el lugar, deben garantizar que irán a la cena al menos 100 personas, pero no más de 225.

Represente las siguientes notaciones de conjuntos en una recta numérica.

$\{x|x>6, x \ \in \ N\}$
$\{x|x\le 8, x \ \in \ R\}$
$\{x|-3\le x < 6, x \ \in \ Z\}$

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