Comparaciones de números reales

Aquí repasará los conjuntos de números que constituyen el sistema de números reales. También aplicará los conocimientos aprendidos para convertir fracciones a decimales. Además, aprenderá a ordenar los números reales de menor a mayor y a ubicarlos en una recta numérica.

¿Puede ordenar los siguientes números reales de menor a mayor?

$\frac{22}{7},1.234 234 \ldots, - \sqrt{7}, -5, -\frac{21}{4}, 7,-1.666,0,8.32,\frac{\pi}{2},-\pi,-5.38$

Mire este video

Khan Academy Points on a Number Line (Puntos en una recta numérica) *Este video solo está disponible en inglés

Haga clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Guía

El modo más simple de ordenar los números es expresarlos a todos de la misma forma (todos fracciones o todos decimales). Con una calculadora, es sencillo expresar cada número de forma decimal. Cuidado con los signos: no olvide ningún signo negativo.

Al representar números en una recta numérica, tenga en cuenta que es imposible colocar decimales en la ubicación exacta sobre la recta numérica. Colóquelos tan cerca como pueda de la ubicación apropiada sobre la línea.

Ejemplo A

Trace una recta numérica y coloque estos números en ella.

${\color{red}\sqrt{\frac{2}{5}}}, {\color{blue}0.6467},{\color{red}-\frac{3}{5}},{\color{red}\frac{1}{8}},{\color{green}0},{\color{red}\sqrt{0.5}},{\color{blue}-2.34},{\color{red}\pi},{\color{red}\frac{2 \pi}{3},{\color{green}-1}},{\color{green}2}$

Solución: $\sqrt{\frac{2}{5}}=0.6324... \quad -\frac{3}{5}=-0.6 \quad \frac{1}{8}=0.125 \quad \sqrt{0.5}=0.7071... \quad -\pi=-3.1416... \quad \frac{2 \pi}{3}=2.0944...$

Empiece colocando los ${\color{green}\mathbf{integers}}$ en la recta primero. Después coloque los ${\color{blue}\mathbf{decimal \ numbers}}$ en la recta.

Use una calculadora para convertir ${\color{red}\mathbf{the \ remaining \ numbers}}$ a números decimales y colóquelos en la recta.

Ejemplo B

Para cada par de números reales, halle otro número real que esté entre ese par de números.

i) $-2,1$

ii) $3.5,3.6$

iii) $\frac{1}{2},\frac{1}{3}$

iv) $-\frac{1}{3}, -\frac{1}{4}$

Solución: Hay muchas respuestas posibles. Éstas son posibles respuestas.

i) El número debe ser mayor que –2 y menor que 1. $-2, {\color{blue}0},1$

ii) El número debe ser mayor que 3.5 y menor que 3.6. $3.5, {\color{blue}3.54},3.6$

iii) El número debe ser mayor que $\frac{1}{3}$ y menor que $\frac{1}{2}$ . Escriba cada fracción con un común denominador. $\frac{1}{2}=\frac{3}{6},\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ . Si observa $\frac{2}{6}$ y $\frac{3}{6}$ , verá que no hay fracción, con denominador 6, entre estos valores. Escriba las fracciones con un denominador común mayor. $\frac{1}{2}=\frac{6}{12}, \frac{1}{3}=\frac{4}{12}$ . Si observa $\frac{4}{12}$ y $\frac{6}{12}$ , verá que la fracción $\frac{5}{12}$ está entre esas dos. $\frac{1}{3},{\color{blue}\frac{5}{12}},\frac{1}{2}$

iv) El número debe ser mayor que $-\frac{1}{3}$ y menor que $-\frac{1}{4}$ . Escriba cada fracción con un común denominador. $-\frac{1}{3}=-\frac{4}{12},-\frac{1}{4}=-\frac{3}{12}$ . Si observa $-\frac{3}{12}$ y $-\frac{4}{12}$ , verá que no hay fracción, con denominador 12, entre estos valores. Escriba las fracciones con un denominador común mayor. $-\frac{1}{3}=-\frac{8}{24},-\frac{1}{4}=-\frac{6}{24}$ . Si observa $-\frac{6}{24}$ y $-\frac{8}{24}$ , verá que la fracción $-\frac{7}{24}$ está entre esas dos. $-\frac{8}{24}, {\color{blue}-\frac{7}{24}}, -\frac{6}{24}$

Ejemplo C

Ordene las siguientes fracciones de menor a mayor.

$\frac{2}{11},\frac{7}{9},\frac{8}{7},\frac{1}{11},\frac{5}{6}$

Solución: Las fracciones no tienen un denominador común. Usemos la calculadora TI-83 para ordenar estas fracciones.

Las fracciones se ingresaron en la calculadora como problemas de división. Las formas decimales de los números se ingresaron en la Lista 1.

La calculadora ha ordenado los datos de menor a mayor.

Los datos están ordenados. Ahora, los números decimales y las fracciones correspondientes se pueden asociar de la pantalla donde se ingresaron al principio.

$\frac{1}{11},\frac{2}{11},\frac{7}{9},\frac{5}{6},\frac{8}{7}$

Revisión del problema de concepto

$\frac{22}{7},1.234 234 \ldots, - \sqrt{7}, -5, -\frac{21}{4}, 7,-1.666,0,8.32,\frac{\pi}{2},-\pi,-5.38$

Al examinar los números anteriores, puede ver que hay números naturales, números cardinales, números enteros, números racionales y números irracionales. Sería muy difícil ordenar estos números de menor a mayor, como están presentados aquí.

Ahora que todos los números están en forma decimal, ordénelos de menor a mayor.

$-5.38, -\frac{21}{4}, -5, -\pi, -\sqrt{7}, -1.666, 0, 1.234234, \frac{\pi}{2},\frac{22}{7}, 7, 8.32$

Vocabulario

Desigualdad: Una desigualdad es una proposición matemática que relaciona expresiones utilizando uno o más símbolos de desigualdad. Los símbolos de desigualdad son $>,<,\ge,\le$ .

Entero: Todos los números naturales, sus opuestos y el cero son enteros . Un número de la lista $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \ldots$ .

Números irracionales: Los números irracionales son aquellos que no se pueden expresar como la relación entre dos números. Los números irracionales incluyen a los números decimales no exactos y a los números decimales no periódicos.

Números naturales: Los números naturales son números para contar y consisten en todos los números enteros positivos. Los números naturales son los números de la lista $1, 2, 3\ldots$ y se suele hacer referencia a ellos como los enteros positivos.

Recta numérica: Una recta numérica es una recta que asocia un conjunto de puntos y un conjunto de números uno a uno. Se suele usar en matemáticas para mostrar cálculos matemáticos.

Números racionales: Los números racionales son números que se pueden escribir como la relación entre dos números $\frac{a}{b}$ y $b \ne 0$ . Los números racionales incluyen todos los números decimales exactos y los decimales periódicos.

Números reales: Los números racionales y los números irracionales conforman los números reales.

Práctica guiada

1. Ordene los siguientes números de menor a mayor y colóquelos en una recta numérica.

$-3.78, -\frac{11}{4},-4, \frac{\pi}{2}, -\sqrt{6},-1.888,0,0.2424,\pi,\frac{21}{15},2,1.75$

2. Para cada par de números reales, halle otro número real que esté entre ese par de números.

i) $-3,-5$

ii) $-3.4,-3.5$

iii) $\frac{1}{5},\frac{3}{10}$

iv) $-\frac{3}{4},-\frac{11}{6}$

3. Use la tecnología para ordenar los siguientes números:

$\sqrt{\frac{3}{5}},\frac{15}{38},-\frac{7}{12},\frac{1}{4},0,\sqrt{8},-\frac{13}{21},-\pi,\frac{3 \pi}{5},-6,3$

Respuestas:

1. $-3.78, -\frac{11}{4},-4, \frac{\pi}{2}, -\sqrt{6},-1.888,0,0.2424,\pi,\frac{21}{15},2,1.75$

2. i) El número debe ser mayor que –5 y menor que –3. $-5,{\color{blue}-4},-3$

ii) El número debe ser mayor que –3.5 y menor que –3.4. $-3.5,{\color{blue}-3.45},-3.4$

iii) El número debe ser mayor que $\frac{1}{5}$ y menor que $\frac{3}{10}$ . Escriba cada fracción con un común denominador. $\frac{1}{5}=\frac{2}{10}$ . Si observa $\frac{2}{10}$ y $\frac{3}{10}$ , verá que no hay fracción, con denominador 10, entre estos valores. Escriba las fracciones con un denominador común mayor. $\frac{1}{5}=\frac{4}{20},\frac{3}{10}=\frac{6}{20}$ . Si observa $\frac{4}{20}$ y $\frac{6}{20}$ , verá que la fracción $\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$ está entre esas dos. $\frac{1}{5}, \frac{{\color{blue}1}}{{\color{blue}4}}, \frac{3}{10}$

iv) El número debe ser mayor que $-\frac{3}{4}$ y menor que $-\frac{11}{16}$ . Escriba cada fracción con un común denominador. $-\frac{3}{4}=-\frac{12}{16}$ . Si observa $-\frac{12}{16}$ y $-\frac{11}{16}$ , verá que no hay fracción, con denominador 16, entre estos valores. Escriba las fracciones con un denominador común mayor. $-\frac{3}{4}=-\frac{24}{32},-\frac{11}{16}=-\frac{22}{32}$ . Si observa $-\frac{24}{32}$ y $-\frac{22}{32}$ , verá que la fracción $-\frac{23}{32}$ está entre esas dos. $-\frac{3}{4},-{\color{blue}\frac{23}{32}},-\frac{11}{16}$

3. $\sqrt{\frac{3}{5}},\frac{15}{38},-\frac{7}{12},\frac{1}{4},0,\sqrt{8},-\frac{13}{21},-\pi,\frac{3 \pi}{5},-6,3$

Los números están ordenados. Los números, de menor a mayor, son:

$-6,-\pi,-\frac{13}{21},-\frac{7}{12},0,\frac{1}{4},\frac{15}{38},\sqrt{\frac{3}{5}},\frac{3 \pi}{5},\sqrt{8},3$

Práctica

Ordene los siguientes números de menor a mayor y colóquelos en una recta numérica.

$\{0.5,0.45,0.65,0.33,0,2,0.75,0.28\}$
$\{0.3,0.32,0.21,0.4,0.3,0,0.31\}$
$\{-0.3,-0.32,-0.21,-0.4,-0.3,0,-0.31\}$
$\{\frac{1}{2},-2,0,-\frac{1}{3},3,\frac{2}{3},-\frac{1}{2}\}$
$\{0.3,-\sqrt{2},1,-0.25,0,1.8,-\frac{\pi}{3}\}$