Ecuaciones con variables en un solo lado

Aquí empezará su estudio de ecuaciones matemáticas al aprender cómo resolver ecuaciones con una variable en un solo lado.

Erin, Jillian, Stephanie y Jacob fueron al cine. La cuenta total por las entradas y los refrigerios fue de $72.00. ¿Qué ecuación representa esta situación? ¿Cuánto deberá pagar cada adolescente para dividir la cuenta de forma exacta?

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Khan Academy Slightly More Complicated Equations (Ecuaciones ligeramente más complicadas) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

A la hora de resolver una ecuación, su trabajo es encontrar el valor de la letra que verifica la ecuación. Las ecuaciones con variables en un lado se pueden resolver con la ayuda de modelos tales como una balanza o baldosas algebraicas.

Cuando se resuelven ecuaciones con variables en un lado de la ecuación, hay una regla principal a seguir: cualquier cosa que haga en un lado del signo igual, debe hacer lo mismo al otro lado del signo. Por ejemplo, si suma un número en el lado izquierdo del signo igual, debe sumar el mismo número al lado derecho del signo.

Ejemplo A

$5a + 2 = 17$

Solución: El problema se puede resolver si piensa el problema en términos de una balanza. Sabe que los dos lados deben ser iguales para que la balanza permanezca horizontal. Puede colocar cada lado de la ecuación en cada lado de la balanza.

Para resolver la ecuación, debe dejar sola a la variable $a$ . Siempre recuerde que debe mantener el equilibrio horizontal. Esto significa que, cualquier cosa que haga en un lado de la ecuación, debe hacer lo mismo en el otro lado.

Primero reste 2 a ambos lados para deshacerse del 2 de la izquierda.

Ya que 5 está multiplicado por $a$ , puede despejar (o aislar) $a$ dividiendo por 5. Recuerde que cualquier cosa que haga en un lado, debe hacerlo del otro.

Si simplifica esta expresión, obtiene:

Por lo tanto, $a = 3$ .

Puede verificar que su respuesta es correcta reemplazando la incógnita de la ecuación original con su respuesta.

$5a + 2 &= 17\\\5({\color{red}3}) + 2 &= 17\\\15 + 2 &= 17\\\17 &= 17 \ \$

Ejemplo B

$7b - 7 = 42$

Solución: Una vez más, puede resolver el problema si lo piensa en términos de una balanza (o sube y baja). Usted sabe que, para que la balanza permanezca horizontal, los dos lados deben ser iguales. Puede colocar cada lado de la ecuación en cada lado de la balanza.

Para resolver la ecuación, debe dejar sola a la variable $b$ . Siempre recuerde que debe mantener el equilibrio horizontal. Esto significa que, cualquier cosa que haga en un lado de la ecuación, debe hacer lo mismo en el otro lado.

Primero sume 7 a ambos lados para deshacerse del 7 de la izquierda.

Ya que 7 está multiplicado por $b$ , puede despejar (o aislar) $b$ dividiendo por 7. Recuerde que cualquier cosa que haga en un lado, debe hacerlo del otro.

Si simplifica esta expresión, obtiene:

Por lo tanto, $b = 7$ .

Puede verificar que su respuesta sea correcta.

$7b - 7 &= 42\\\7({\color{red}7}) - 7 &= 42\\\49 - 7 &= 42\\\42 &= 42 \ \$

Ejemplo C

Este mismo método se puede extender al utilizar baldosas algebraicas. Si las baldosas rectángulas representan la variable, las baldosas cuadradas representan una unidad, las baldosas verdes representan números positivos y las baldosas blancas representan números negativos, puede resolver las ecuaciones con un método alternativo.

Las baldosas algebraicas verdes $x-$ representan las variables; por lo tanto hay 3 $c$ bloques para la ecuación. Los demás bloques verdes representan los números o constantes. Hay un 2 en el lado izquierdo de la ecuación, por lo que hay 2 bloques cuadrados verdes. En el lado derecho de la ecuación hay un 11, por lo que hay 11 bloques cuadrados verdes en el lado derecho.

Solución: Para resolverla, sume dos baldosas negativas en el lado derecho y en el izquierdo. A este problema se aplica la misma regla que a todos los problemas anteriores. Cualquier cosa que haga en un lado, debe hacer lo mismo en el otro.

Esto nos lleva a lo siguiente:

Puede reorganizar esto para que se vea de la siguiente forma:

Organizar las baldosas algebraicas restantes nos permite darnos cuenta de que la respuesta es $x = 3$ o en su ejemplo $c = 3$ .

Hagamos la verificación como con los problemas anteriores.

$3c + 2 &= 11\\\3({\color{red}3}) + 2 &= 11\\\9 + 2 &= 11\\\11 &= 11 \ \$

Revisión del problema de concepto

Cuatro adolescentes fueron al cine (Erin, Jillian, Stephanie y Jacob). La cuenta total fue de $72.00. Por lo tanto, la ecuación es $4x = 72$ . Divida por 4 para encontrar su respuesta.

$x &= \frac{72}{4}\\\x &= 18$

Por lo tanto, cada adolescente deberá pagar $18.00 por su entrada y su refrigerio.

Vocabulario

Constante: Una constante es un coeficiente numérico. Por ejemplo, en la ecuación $4x + 72 = 0$ , 72 es una constante.

Ecuación: Una ecuación es un enunciado matemático con expresiones separadas por un signo de igualdad.

Coeficiente numérico: En ecuaciones matemáticas, los coeficientes numéricos son los números asociados con las variables. Por ejemplo, en la expresión $4x$ , 4 es el coeficiente numérico y $x$ es la variable.

Variable: Una variable es una cantidad desconocida en una expresión matemática. Se la representa con una letra. Se suele hacer referencia a ella como el coeficiente literal.

Práctica guiada

1. Utilice un modelo para calcular la variable de la ecuación $x-5=12$ .

2. Utilice un modelo diferente para calcular la variable de la ecuación $3y+9=12$ .

3. Calcule $x$ en la ecuación $3x-2x+16=-3$ .

Respuestas:

1. $x-5=12$

Por lo tanto, $x=17$ .

2. $3y+9=12$

Primero tiene que restar 9 a ambos lados de la ecuación para poder empezar a despejar la variable.

Ahora, para poder despejarla, $y$ debe dividir ambos lados por 3. Esto aislará la variable. $y$ .

Por lo tanto, $y=1$ .

3. $3x-2x+16=-3$

Puede utilizar cualquier método para resolver esta ecuación. Recuerde aislar la variable $x$ . Aquí notará que hay dos valores $x$ a la izquierda. Primero combinemos estos términos.

$3x-2x+16 &= -3\\\x+16 &= -3$

Ahora puede utilizar cualquier método para resolver la ecuación. Ahora solo le queda restar 16 de ambos lados para aislar la variable $x$ .

$x+16 {\color{red}-16} &= -3 {\color{red}-16}\\\x &= -19$

Práctica

Utilice los modelos que aprendió para calcular las variables de los siguientes problemas.

$a+3=-5$
$2b-1=5$
$4c-3=9$
$2-d=3$
$4-3e=-2$

$x+3=14$
$2y-7=5$
$3z+6=9$
$5+3x=-3$
$2x+2=-4$

$-4x+13=5$
$3x-5=22$
$11-2x=5$
$2x-4=4$
$5x+3=28$

Para cada uno de los siguientes modelos, escriba un problema con una variable de un lado de la ecuación expresada por el modelo y luego calcule la variable.