Ecuaciones con variables en ambos lados

Aquí aprenderá a resolver ecuaciones donde hay variables en ambos lados del signo de igualdad.

Thomas tiene $50 y Jack $100. Thomas está ahorrando $10 por semana para su bicicleta nueva. Jack está ahorrando $5 por semana para su bicicleta nueva. ¿Puede representar esta situación con una ecuación? ¿Cuánto tiempo pasará hasta que los dos niños tengan la misma cantidad de dinero?

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Khan Academy Equations with Variables on Both Sides (Ecuaciones con variables en ambos lados) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Los métodos utilizados para resolver las ecuaciones con variables en ambos lados de la ecuación son los mismos métodos utilizados para resolver ecuaciones con variables en un solo lado de la ecuación. Lo que difiere es que primero debe sumar o restar un término en ambos lados para tener la variable solo en un lado del signo de igualdad.

Recuerde que su objetivo para resolver cualquier ecuación es lograr aislar las variables en un lado y las constantes en el otro. Esto se logra sumando y restando términos a ambos lados del signo de igualdad. Luego aísle las variables multiplicando o dividiendo. En estos problemas, como con cualquier otra ecuación, debe recordar que sea cual fuere la operación (suma, resta, multiplicación o división) que haga a un lado del signo de igualdad, también debe hacerla en el otro lado. Esta es una regla clave a recordar para que las ecuaciones permanezcan iguales o en equilibro.

Ejemplo A

$x+4=2x-6$

Solución: Puede resolver este problema utilizando el método de la balanza.

Primero ponga todas las variables en un lado de la ecuación. Haga esto restando $x$ de ambos lados de la ecuación.

Luego, aísle la variable $x$ sumando 6 a ambos lados.

Por lo tanto, $x = 10$ .

$\text{Check:}&\\\x+4 &= 2x-6\\\({\color{red}10})+4 &= 2({\color{red}10})-6\\\14 &= 20-6\\\14 &= 14 \ \$

Ejemplo B

$14-3y=4y$

Solución: Puede resolver esta ecuación utilizando baldosas algebraicas.

Primero debe combinar las baldosas de las variables $(x)$ en el mismo lado de la ecuación. Haga esto sumando $3 x$ baldosas a ambos lados del signo de igualdad. De esta forma, se eliminará $-3y$ del lado izquierdo de la ecuación.

Al aislar la variable $(y)$ le quedan estas baldosas algebraicas.

Si las reordena, obtendrá lo siguiente.

$\text{Check:} &\\\14 - 3y &= 4y\\\14-3({\color{red}2}) &= 4({\color{red}2})\\\14-6 &= 8\\\8 &= 8 \ \$

Por lo tanto, $y = 2$ .

Ejemplo C

$53a-99=42a$

Solución: Para resolver este problema, ¡debería tener una gran cantidad de baldosas algebraicas! Puede ser más eficiente utilizar el método de la balanza para resolver este problema.

$\text{Check:} &\\\53a-99 &= 42a\\\53({\color{red}9}) - 99 &= 42({\color{red}9})\\\477-99 &= 378\\\378 &= 378 \ \$

Por lo tanto, $a = 9$ .

Revisión del problema de concepto

Thomas tiene $50 y Jack $100. Thomas está ahorrando $10 por semana para su bicicleta nueva. Jack está ahorrando $5 por semana para su bicicleta nueva.

Si $x$ es la cantidad de semanas, puede escribir la siguiente ecuación.

$\underbrace{ 10x+50 }_{\text{Thomas's money:} \ \$10 \ \text{per week} + \$50}= \underbrace{ 5x+100 }_{\text{Jack's money:} \ \$5 \ \text{per week} + \$100}$

Ahora puede resolver la ecuación si primero combina los términos semejantes.

$10x+50 &= 5x+100\\\10x {\color{red}-5x}+50 &= 5x {\color{red}-5x}+100 && \text{-moving the} \ x \ \text{variables to left side of the equation}\\\5x+50 {\color{red}-50} &= 100 {\color{red}-50} && \text{-moving the constants to right side of the equation}\\\5x &= 50$

Ahora puede calcular $x$ para encontrar la cantidad de semanas que pasarán hasta que los niños tengan la misma cantidad de dinero.

$5x &= 50\\\\frac{5x}{5} &= \frac{50}{5}\\\x &= 10$

Por lo tanto, en 10 semanas Jack y Thomas tendrán la misma cantidad de dinero.

Vocabulario

Variable: Una variable es una cantidad desconocida en una expresión matemática. Se la representa con una letra. Se suele hacer referencia a ella como el coeficiente literal.

Práctica guiada

1. Calcule la variable en la ecuación $6x+4=5x-5$ .

2. Calcule la variable en la ecuación $7r-4=3+8r$ .

3. Determine el método más eficiente para calcular la variable en el problema $10b-22=29-7b$ . Explique su elección del método para resolver este problema.

Respuestas:

1. $6x+4=5x-5$

Por lo tanto, $x = -9$ .

2. $7r-4=3+8r$

Puede comenzar por combinar los términos $r$ . Reste $8r$ en ambos lados de la ecuación.

Luego aísle la variable. Para esto, sume 4 en ambos lados de la ecuación.

Pero aún hay un signo negativo con el término $r$ . Ahora debe dividir ambos lados por –1 para finalmente aislar la variable.

Por lo tanto, $r = -7$ .

3. Puede elegir cualquiera de los métodos pero hay números grandes en esta ecuación. Con números grandes, la utilización de baldosas algebraicas no es una opción eficiente. Debería resolver el problema utilizando el método de la balanza. Analice los pasos para ver si puede seguirlos.

Por lo tanto, $b = 3$ .

Práctica

Utilice el método de la balanza para encontrar la solución a la variable de cada uno de los siguientes problemas.

$5p+3=-3p-5$
$6b-13=2b+3$
$2x-5=x+6$
$3x-2x=-4x+4$
$4t-5t+9=5t-9$

Utilice baldosas algebraicas para encontrar la variable en cada uno de los siguientes problemas.

$6-2d=15-d$
$8-s=s-6$
$5x+5=2x-7$
$3x-2x=-4x+4$
$8+t=2t+2$

Utilice los métodos que aprendió para resolver ecuaciones con variables en ambos lados para calcular las variables en cada uno de los siguientes problemas. Recuerde elegir un método eficiente para calcular la variable.

$4p-7=21-3p$
$75-6x=4x-15$
$3t+7=15-t$
$5+h=11-2h$
$9-2e=3-e$

Para cada uno de los siguientes modelos, escriba un problema que represente el modelo y calcule la variable del problema.

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