Ecuaciones con la propiedad distributiva

Aquí aprenderá a resolver ecuaciones que requieren la propiedad distributiva.

Morgan, Connor y Jake se van en un viaje de estudios con otros 12 compañeros de clase. A cada estudiante se le pide que tenga un equipo de supervivencia con una linterna, un kit de primeros auxilios y suficientes raciones de comida para el viaje. Una linterna cuesta $10. Un kit de primeros auxilios cuesta $9. La ración de comida para cada día cuesta $7. Si la clase solo tiene $1000 para los equipos de supervivencia, ¿cuántos días se pueden ir de viaje?

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Khan Academy Solving Equations with the Distributive Property (Solución de ecuaciones con la propiedad distributiva) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

La propiedad distributiva es una forma matemática de agrupar términos. La propiedad distributiva establece que el producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos individuales del número por los sumandos.

Considere ${\color{red}3}({\color{blue}x + 5})$ . La propiedad distributiva establece que el producto de un número ( ${\color{red}3}$ ) por una suma $({\color{blue}x + 5})$ es igual a la suma de los productos individuales del número $({\color{red}3})$ por los sumandos ( ${\color{blue}x}$ y ${\color{blue}5}$ ). Entonces, $3(x+5)=3x+15$ .

Cuando resuelva ecuaciones que requieran utilizar la propiedad distributiva, simplemente tiene un paso más que seguir. Aún tiene el mismo objetivo de alinear las variables en un lado y las constantes en el otro. Cuando en la ecuación hay paréntesis, el primer paso para resolver la ecuación será utilizar la propiedad distributiva para eliminarlos.

Ejemplo A

$2(3x+5)=-2$

Solución: Puede resolver este problema utilizando el método de la balanza.

El primer paso es quitar los paréntesis. Para esto, multiplique el 2 por los números dentro del paréntesis. Por lo tanto, multiplique 2 por $3x$ y 2 por 5.

Luego, aísle la variable $x$ restando 10 en ambos lados.

Si simplifica obtiene:

Ahora divida por 6 para calcular la variable $x$ .

Finalmente, para calcular la variable, simplifique cada lado.

Por lo tanto, $x = -2$ .

$\text{Check:}&\\\2(3x+5) &= -2\\\2(3({\color{red}-2})+5) &= -2\\\2(-6+5) &= -2\\\2(-1) &= -2\\\-2 &= -2 \ \$

Ejemplo B

$3(4+3y)=-6$

Solución: Puede resolver este problema utilizando baldosas algebraicas.

Puesto que todas nuestras variables (baldosas $x$ ) están en el mismo lado, solo necesita restar los 3 grupos de 4 de ambos lados del signo de igualdad para aislar la variable.

Al simplificar el lado derecho de la ecuación y reorganizar las baldosas, queda de la siguiente forma:

Por lo tanto, $y = -2$ .

$\text{Check:} &\\\3(4+3y) &= -6\\\3(4+3({\color{red}-2})) &= -6\\\3(4-6) &= -6\\\3(-2) &= -6\\\-6 &= -6 \ \$

Ejemplo C

$6(4x+1)=-18$

Solución:

Por lo tanto, $x = -1$ .

$\text{Check:} &\\\6(4x+1) &= -18\\\6(4({\color{red}-1})+1) &= -18\\\6(-4+1) &= -18\\\6(-3) &= -18\\\-18 &= -18 \ \$

Revisión del problema de concepto

Escriba la información que conoce:

Cantidad de estudiantes que se van de viaje = 15 (Morgan, Connor, Jake + 12 más)
Cantidad total de dinero disponible = $1000
Cada linterna cuesta $10
Cada kit de primeros auxilios cuesta $9
La ración de comida para cada día cuesta $7

Un equipo de supervivencia contiene 1 linterna + 1 kit de primeros auxilios + $x$ raciones diarias. Por lo tanto, el costo de cada equipo de supervivencia es: $\$10 + \$9 + \$7x = \$19 + \$7x$ .

Para los 15 estudiantes, el costo total de los equipos de supervivencia será:

$15 (\$19+\$7x)=\$285+\$105x$

Puesto que la clase tiene $1000 para gastar, puede calcular cuántos días pueden irse de viaje.

$\$1000 &= \$285+\$105x\\\\$1000 {\color{red}- \$285} &= \$285 {\color{red}-\$285}+\$105x\\\\$715 &= \$105x\\\\frac{\$715}{\$105} &= \frac{\$105x}{\$105}\\\6.81 &= x$

Debido a que la clase no tiene suficiente dinero para comprar raciones de comida para cada estudiante para 7 días, comprarán comida para seis días y la clase irá de viaje de estudios por seis días.

Vocabulario

Propiedad distributiva: La propiedad distributiva es una forma matemática de agrupar términos. Establece que el producto de un número y una suma es igual a la suma de los productos individuales del número y los sumandos. Por ejemplo, en la expresión: ${\color{red}3}({\color{blue}x + 5})$ , la propiedad distributiva establece que el producto de un número $({\color{red}3})$ por una suma $({\color{blue}x + 5})$ es igual a la suma de los productos individuales del número $({\color{red}3})$ por los sumandos $({\color{blue}x}$ y ${\color{blue}5})$ . $3(x+5)=3x+15$ .

Variable: Una variable es una cantidad desconocida en una expresión matemática. Se la representa con una letra. Se suele hacer referencia a ella como el coeficiente literal.

Práctica guiada

1. Utilice el método de la balanza para calcular la variable en la ecuación. $6(-3x+2)=-6$ .

2. Utilice baldosas algebraicas para calcular la variable en la ecuación. $2(r-2)=-6$ .

3. Determine el método más eficiente para calcular la variable en la ecuación. $2(j+1)=3(j-1)$ . Explique su elección del método para resolver este problema.

Respuestas:

1. $6(-3x+2)=-6$ .

Puede empezar utilizando la propiedad distributiva en el lado izquierdo de la ecuación.

Luego, reste 12 en ambos lados de la ecuación para despejar la variable.

Si simplifica obtiene:

Luego aísle la variable. Para esto, divida ambos lados de la ecuación por –18.

Finalmente, si simplifica obtiene:

Por lo tanto, $x = 1$ .

2. $2(r-2)=-6$

Primero, debe sumar 4 en ambos lados para dejar las variables solas a un lado del signo de igualdad.

Si simplifica obtiene:

Por lo tanto, $r = -1$ .

3. $2(j+1)=3(j-1)$ .

Puede elegir cualquier método para este problema. A continuación verá el método de la balanza utilizado para resolver el problema. Analice los pasos para ver si puede seguirlos. Recuerde que, como hay paréntesis, debe empezar con la propiedad distributiva y quitar los paréntesis.

Por lo tanto, $j = 5$ .

Práctica

Utilice el método de la balanza para encontrar el valor de la variable en cada una de las siguientes ecuaciones.

$5(4x+3)=75$
$3(s-4)=15$
$5(k-4)=10$
$43=4(t+6)-1$
$6(x+4)=3(5x+2)$

Utilice baldosas algebraicas para hallar la variable en cada una de las siguientes ecuaciones.

$2(d-3)=4$
$5+2(x+7)=20$
$2(3x-4)=22$
$2(3x+2)-x=-6$
$2(x+4)-x=9$

Utilice los métodos que aprendió para resolver ecuaciones con variables para calcular las variables en cada uno de las siguientes ecuaciones. Recuerde elegir un método eficiente para calcular la variable.

$-6=-6(3x-8)$
$-2(x-2)=11$
$2+3(-2x+1)=20$
$3(x+2)-x=12$
$5(2-3x)=-8-6x$

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