Ecuaciones con decimales

Aquí aprenderá a calcular ecuaciones que tienen decimales.

Karen quiere diseñar un jardín en su patio trasero. Sabe que solo tiene espacio para un jardín rectangular de un perímetro igual a 46.5 pies. Ella necesita saber las dimensiones. El ancho será la mitad del largo. ¿Cuáles serán las dimensiones del jardín?

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Khan Academy Simple Equations (Ecuaciones simples) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Puede calcular ecuaciones que contienen decimales de la misma forma en que resuelve cualquier ecuación. También puede multiplicar ambos lados de la ecuación por un múltiplo de 10 para deshacerse de los decimales, si así lo prefiere. Considere la ecuación $0.1x+0.4=0.5$ . Al principio esto parece difícil debido a los decimales. Pero multiplique todos los números por 10 y vea qué sucede:

${\color{red}(10)}0.1x+{\color{red}(10)}0.4 &= {\color{red}(10)}0.5\\\1x+4 &= 5\\\or\\\x+4 &= 5$

Ahora puede ver que la respuesta es $x=1$ .

Cuando tiene decimales en una ecuación, puede deshacerse de ellos multiplicando por 10 (si hay un decimal), por 100 (si hay dos decimales) o por 1000 (si hay tres decimales). Luego, calcule la ecuación de la forma habitual. Recuerde que si se siente seguro sumando, restando, multiplicando y dividiendo decimales, también puede resolver ecuaciones con decimales aislando la variable y calculándola sin quitar los decimales.

Ejemplo A

$a + 2.3 = 4.7$

Solución: Puede pensar sobre el problema aplicando el método de la balanza. Usted sabe que, para que la balanza permanezca horizontal, los dos lados deben ser iguales. Puede colocar cada lado de la ecuación en cada lado de la balanza.

Como siempre, para resolver la ecuación, debe despejar la variable $a$ . Siempre recuerde que debe mantener el equilibrio horizontal. Esto significa que, cualquier cosa que haga en un lado de la ecuación, debe hacer lo mismo en el otro lado.

Reste 2.3 en ambos lados para deshacerse del 2.3 del lado izquierdo y aislar la variable.

Si simplifica esta expresión, obtiene:

Por lo tanto, $a = 2.4$ .

Siempre puede verificar que su respuesta sea correcta.

$a + 2.3 &= 4.7\\\({\color{red}2.4}) + 2.3 &= 4.7\\\4.7 &= 4.7 \ \$

Ejemplo B

$b - 1.6 = 2.4$

Solución: Esta vez intente resolver el problema utilizando baldosas algebraicas. Multiplique este problema por 10 para deshacerse de los decimales.

${\color{red}(10)}b - {\color{red}(10)}1.6 &= {\color{red}(10)}2.4 \\\10b - 16 &= 24$

Ahora puede utilizar baldosas algebraicas para calcular la variable.

El primer paso es sumar 16 en ambos lados del signo igual.

Simplifique y reorganice y obtendrá:

Por lo tanto, $b = 4$ .

Siempre debe comprobar su respuesta:

$b - 1.6 &= 2.4\\\({\color{red}4}) - 1.6 &= 2.4\\\2.4 &= 2.4 \ \$

Nota: puesto que los números eran tan grandes en este problema, el método de la balanza es más eficiente. Esto es cierto en la mayoría de problemas que involucran decimales. De hecho, las baldosas algebraicas rara vez son más eficaces al resolver problemas con variables que involucran decimales.

Ejemplo C

$6.4c - 2.1 = 7.5$

Solución: Una vez más puede utilizar el método de la balanza para resolver este problema.

Primero sume 2.1 en ambos lados para deshacerse del 2.1 de la izquierda.

Si simplifica obtiene:

Ya que 6.4 está multiplicado por $c$ , puede despejarla (o aislarla) dividiendo por 6.4. Recuerde que cualquier cosa que haga en un lado, debe hacer lo mismo en el otro.

Si simplifica esta expresión, obtiene:

Por lo tanto, $c = 1.5$ .

Puede verificar que su respuesta sea correcta.

$6.4c - 2.1 &= 7.5\\\6.4({\color{red}1.5}) - 2.1 &= 7.5\\\9.6 - 2.1 &= 7.5\\\7.5 &= 7.5 \ \$

Revisión del problema de concepto

$Perimeter \ (P) &= 46.5 \ feet\\\P &= 2l + 2w\\\w &= \frac{1}{2} l$

Por lo tanto: $P=2l+2 \left(\frac{1}{2} l \right)$

$P &= 2l+\cancel{2} \left(\frac{1}{\cancel{2}}l\right)\\\P &= 2l+l\\\P &= 3l$

Puesto que sabe que Karen tiene 46.5 pies para su perímetro, puede usar 46.5 en lugar de $P$ .

$46.5=3l$

Ahora puede calcular $l$ (el largo).

$\frac{46.5}{3} &= \frac{3l}{3}\\\l &= 15.5 \ feet$

Ahora sabe que el largo es 15.5 pies. También sabe que el ancho es $\frac{1}{2}$ del largo. Así que puede calcular el ancho.

$w &= \frac{1}{2} l\\\w &= \frac{1}{2} (15.5)\\\w &= 7.75 \ feet$

Por lo tanto, las dimensiones del jardín de Karen son $15.5 \ feet \times 7.75 \ feet$ .

Vocabulario

Ecuación: Una ecuación es un enunciado matemático con expresiones separadas por un signo de igualdad.

Variable: Una variable es una cantidad desconocida en una expresión matemática. Se la representa con una letra. Se suele hacer referencia a ella como el coeficiente literal.

Práctica guiada

1. Utilice un modelo para calcular la variable de la ecuación $t-1.4=0.6$ .

2. Utilice un modelo para calcular la variable de la ecuación $1.2s+3.9=4.1$ .

3. Calcule x en la ecuación $7-0.03x=1.72x+1.75$ .

Respuestas:

1. $t-1.4=0.6$

Puede utilizar cualquier método para resolver este problema, pero utilicemos las baldosas algebraicas en este caso. Recuerde que, puesto que hay decimales (un decimal para ser exactos), primero debe multiplicar la ecuación por 10 para deshacerse de los decimales.

${\color{red}(10)}t-{\color{red}(10)}1.4 &= {\color{red}(10)}0.6\\\10t-14 &= 6$

Ahora puede sumar 14 a cada lado para aislar la variable.

Si simplifica y reorganiza obtiene:

Por lo tanto, $t=2$ .

2. $1.2s+3.9=4.1$

Primero tiene que restar 3.9 a ambos lados de la ecuación para poder empezar a aislar la variable.

Ahora, para poder despejar $s$ , debe dividir ambos lados por 1.2. Esto aislará la variable $s$

Por lo tanto, si se la redondea a la centésima más cercana, $s=0.17$ .

3. $7-0.03x=1.72x+1.75$

Puede utilizar cualquier método para resolver esta ecuación. Recuerde aislar la variable $x$ . Aquí notará que hay dos valores $x$ , uno a cada lado de la ecuación. Primero combine estos términos sumando $0.03x$ en ambos lados de la ecuación.

$7-0.03x {\color{red}+0.03x}=1.72x {\color{red}+0.03x}+1.75$

Si simplifica obtiene:

$7=1.75x+1.75$

Ahora puede utilizar cualquier método para resolver la ecuación. Ahora solo le queda restar 1.75 de ambos lados para aislar la variable $x$ .

$7{\color{red}-1.75}=1.75x+1.75 {\color{red}-1.75}$

Si simplifica obtiene:

$5.25=1.75x$

Ahora, para calcular la variable, necesita dividir ambos lados por 1.75.

$\frac{5.25}{1.75}=\frac{1.75x}{1.75}$

Ahora puede calcular $x$ .

$x = 3$

Práctica

Utilice el modelo de la balanza para calcular cada una de las siguientes variables.

$a+0.3=-0.5$
$2b-1.5=6.3$
$1.4c-2.8=4.9$
$2.1-1.5d=3.2$
$4.4-3.3e=-2.2$

Utilice las baldosas algebraicas para calcular cada una de las siguientes variables.

$0.5x+0.2=0.7$
$0.2y-0.9=0.5$
$0.2z-0.3=0.7$
$0.07+0.05x=-0.03$
$0.05x+0.16=-0.04$

Utilice lar reglas que aprendió para calcular las variables de los siguientes problemas.

$0.87+0.15x=-0.03$
$0.52x+0.12=-0.4$
$0.25z-3.3=0.7$
$0.6x-1.25=0.4x+0.35$
$x-0.35-0.05x=2-1.4x$

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