Ecuaciones con fracciones

Aquí aprenderá a calcular ecuaciones que contienen fracciones.

En las elecciones estudiantiles de este año para presidente, hubo dos candidatos. El ganador obtuvo $\frac{1}{3}$ más de votos que el perdedor. Si hubo 588 votos para presidente, ¿cuántos votos recibió cada uno de los candidatos?

Mire este video

Khan Academy Slightly More Complicated Equations (Ecuaciones ligeramente más complicadas) *Este video solo está disponible en inglés

Haga clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Guía

Cuando se introducen fracciones en una ecuación, se aplican las mismas reglas que para resolver cualquier otra ecuación. Necesita mantener equilibradas las ecuaciones mediante la suma, resta, multiplicación o división en ambos lados del signo igual a fin de aislar la variable. El objetivo sigue siendo dejar la variable sola a un lado del signo igual con los términos constantes en el otro lado para poder calcular esta variable.

Con las fracciones a veces se agrega un paso de multiplicar y dividir la ecuación por el numerador y el denominador para poder calcular la variable. O, si hay múltiples fracciones que no tienen el mismo denominador, primero debe hallar el mínimo común denominador (MCD) antes de combinar los términos semejantes.

Ejemplo A

Calcule: $\frac{1}{3}t+5=-1$ .

Solución:

$\frac{1}{3}t+5 &= -1\\\\frac{1}{3}t+5 {\color{red}-5} &= -1 {\color{red}-5} && ( \text{Subtract} \ 5 \ \text{from both sides to isolate the variable})\\\\frac{1}{3}t &= -6 && ( \text{Simplify})\\\({\color{red}\cancel{3}}) \frac{1}{\cancel{3}}t &= -6 ({\color{red}3}) && ( \text{Multiply both sides by the denominator} \ ({\color{red}3}) \ \text{in the fraction})\\\t &= -18 && ( \text{Simplify})$

Por lo tanto, $t = -18$ .

$\text{Check:} &\\\\frac{1}{3}t+5 &= -1\\\\frac{1}{3} ({\color{red}-18})+5 &= -1\\\-6+5 &= -1\\\-1 &= -1 \ \$

Ejemplo B

Calcule: $\frac{3}{4}x-3=2$ .

Solución:

$\frac{3}{4}x-3 &= 2\\\\frac{3}{4}x-3 {\color{red}+3} &= 2 {\color{red}+3} && ( \text{Add} \ 3 \ \text{to both sides to isolate the variable})\\\\frac{3}{4}x &= 5 && ( \text{Simplify})\\\({\color{red}\cancel{4}}) \frac{3}{4}x &= 5({\color{red}4})&& ( \text{Multiply both sides by the denominator} \ ({\color{red}4}) \ \text{in the fraction)}\\\3x &= 20 && ( \text{Simplify})\\\\frac{\cancel{3} x}{{\color{red}\cancel{3}}} &= \frac{20}{{\color{red}3}}\\\x &= \frac{20}{3}$

Por lo tanto, $x=\frac{20}{3}$ .

$\text{Check:} &\\\\frac{3}{4} x-3 &= 2\\\\frac{3}{4} \left(\frac{20}{3}\right)-3 &= 2\\\\frac{20}{4}-3 &= 2\\\5-3 &= 2\\\2 &= 2 \ \$

Ejemplo C

Calcule: $\frac{2}{5}x-4=-\frac{1}{5}x+8$ .

Solución:

$\frac{2}{5} x-4 &= -\frac{1}{5}x+8\\\\frac{2}{5}x {\color{red}+\frac{1}{5}x}-4 &= -\frac{1}{5}x {\color{red}+\frac{1}{5}x}+8 && ( \text{Add} \ \frac{1}{5}x \ \text{to both sides of the equal sign to combine variables})\\\\frac{3}{5} x-4 &= 8 && ( \text{Simplify})\\\\frac{3}{5}x-4 {\color{red}+4} &= 8 {\color{red}+4} && ( \text{Add} \ 4 \ \text{to both sides of the equation to isolate the variable})\\\\frac{3}{5}x &= 12 && (\text{Simplify})\\\({\color{red}\cancel{5}}) \frac{3}{\cancel{5}}x &= 12({\color{red}5}) && (\text{Multiply both sides by the denominator } ({\color{red}5}) \text{ in the fraction})\\\3x &= 60 && (\text{Simplify})\\\\frac{\cancel{3}x}{\cancel{3}} &= \frac{60}{3} && ( \text{Divide both sides by the numerator } ({\color{red}3}) \text{ in the fraction})\\\x &= 20 && ( \text{Simplify})$

Por lo tanto, $x = 20$ .

$\text{Check:} &\\\\frac{2}{5}x-4 &= -\frac{1}{5}x+8\\\\frac{2}{5} ({\color{red}20})-4 &=- \frac{1}{5} ({\color{red}20})+8\\\\frac{40}{5}-4 &=-\frac{20}{5}+8\\\8-4 &= -4+8\\\4 &= 4 \ \$

Revisión del problema de concepto

En las elecciones estudiantiles de este año para presidente, hubo dos candidatos. El ganador obtuvo $\frac{1}{3}$ más de votos. Si hubo 588 votos para presidente, ¿cuántos votos recibió cada uno de los candidatos?

Si $x =$ votos para el candidato 1 (el ganador)

Si $y =$ votos para el candidato 2

$x + y = 588$

Debe tener solo una variable en la ecuación para resolverla. Analicemos otra relación del problema.

$x &= y + \frac{1}{3} y && (\text{Candidate} \ 1 \ \text{received} \ \frac{1}{3} \ \text{more votes than candidate} \ 2)\\\x &= \frac{3}{3} y + \frac{1}{3} y && ( \text{Make denominator common for both} \ y \ \text{variables})\\\x &= \frac{4}{3} y && ( \text{Simplify})$

Ahora sustituya en el problema original.

$\frac{4}{3} y + y &= 588 && (\text{Substitute for} \ x \ \text{into the equation})\\\\frac{4}{3} y + \frac{3}{3} y &= 588 && (\text{Make denominator common for both} \ y \ \text{variables})\\\\frac{7}{3} y &= 588 && (\text{Combine like terms})\\\{\color{red}(\cancel{3})} \frac{7}{\cancel{3}} y &= 588 {\color{red}(3)} && (\text{Multiply both sides by the denominator in the fraction})\\\7y &= 1764 && (\text{Simplify})\\\\frac{\cancel{7} y}{{\color{red}\cancel{7}}} &= \frac{1764}{{\color{red}7}} && (\text{Divide both sides by the numerator in the fraction})\\\y &= 252 && (\text{Simplify})$

Entonces, el candidato 2 recibió 252 votos. El candidato 1 debe haber recibido $588 - 252 = 336$ votos. Observe que $336=252+\frac{1}{3}\cdot 252$ .

Vocabulario

Fracción: Una fracción es una parte de un entero que consta de un numerador dividido por un denominador. Por ejemplo, si se corta una pizza en ocho porciones y usted se comió 3 porciones, habrá comido $\frac{3}{8}$ de la pizza. $\frac{3}{8}$ es una fracción en la que 3 es el numerador y 8 el denominador.

Mínimo común denominador: El mínimo común denominador o el menor denominador común es el número más pequeño que puede dividir a todos los denominadores (o los números de la parte inferior) de forma exacta. Por ejemplo, con las fracciones $\frac{1}{2}$ y $\frac{1}{3}$ , el menor número que puede dividir a 2 y 3 de forma exacta es 6. En consecuencia, el mínimo común denominador es 6.

Práctica guiada

1. Calcule x: $\frac{2}{3}x=12$ .

2. Calcule x: $\frac{3}{4}x-5=19$ .

3. Calcule x: $\frac{1}{4}w-3=\frac{2}{3}w$ .

Respuestas:

$\frac{2}{3}x &= 12\\\({\color{red}\cancel{3}}) \frac{2}{3}x &= 12 ({\color{red}3}) && (\text{Multiply both sides by the denominator} \ ({\color{red}3}) \ \text{in the fraction})\\\2x &= 36 && (\text{Simplify})\\\\frac{\cancel{2} x}{{\color{red}\cancel{2}}} &= \frac{36}{{\color{red}2}} && (\text{Divide both sides by the numerator} \ ({\color{red}2}) \ \text{in the fraction})\\\x &= 18 && (\text{Simplify})$

Por lo tanto, $x = 18$ .

$\text{Check:} &\\\\frac{2}{3}x &= 12\\\\frac{2}{3} ({\color{red}18}) &= 12\\\\frac{36}{3} &= 12\\\12 &= 12 \ \$

$\frac{3}{4}x-5 &= 19\\\\frac{3}{4}x-5 {\color{red}+5} &= 19 {\color{red}+5} && (\text{Add} \ 5 \ \text{to both sides of the equal sign to isolate the variable})\\\\frac{3}{4}x &= 24 && (\text{Simplify})\\\({\color{red}\cancel{4}}) \frac{3}{\cancel{4}}x &= 24({\color{red}4}) && (\text{Multiply both sides by the denominator} ({\color{red}4}) \ \text{in the fraction})\\\3x &= 96 && (\text{Simplify})\\\\frac{\cancel{3} x}{{\color{red}\cancel{3}}}&=\frac{96}{{\color{red}3}} && (\text{Divide both sides by numerator } ({\color{red}3}) \text{ in the fraction})\\\x &= 32 && (\text{Simplify})$

Por lo tanto, $x = 32$ .

$\text{Check:} &\\\\frac{3}{4}x-5 &= 19\\\\frac{3}{4} ({\color{red}32})-5 &= 19\\\\frac{96}{4}-5 &= 19\\\24-5 &= 19\\\19 &= 19 \ \$

$\frac{1}{4}w-3 &= \frac{2}{3}w\\\\frac{1}{4}w-3 {\color{red}+3} &= \frac{2}{3}w {\color{red}+3} && (\text{Add} \ 3 \ \text{to both sides of the equal sign to start})\\\\frac{1}{4}w &= \frac{2}{3}w+3 && (\text{Simplify})\\\\frac{1}{4}w {\color{red}-\frac{2}{3}w} &= \frac{2}{3}w {\color{red}-\frac{2}{3}w}+3 && (\text{Subtract} \ \frac{2}{3}w \ \text{from both sides of the equal sign to get variables on same side})\\\\frac{1}{4}w-\frac{2}{3}w &= 3 && (\text{Simplify})$

${\color{magenta}\left(\frac{3}{3}\right)} \frac{1}{4}w- {\color{magenta}\left(\frac{4}{4}\right)} \frac{2}{3}w &= {\color{magenta} \left(\frac{12}{12}\right)} 3 && (\text{Multiply by the LCD})\\\\frac{3}{12}w-\frac{8}{12}w &= \frac{36}{12} && (\text{Simplify})$

Puesto que todos los denominadores son iguales (12), podemos simplificar aún más:

$3w-8w &= 36 && (\text{Combine like terms})\\\-5w &= 36 && (\text{Simplify})\\\\frac{-5w}{{\color{red}-5}} &= \frac{36}{{\color{red}-5}} && (\text{Divide by} \ -5 \ \text{to solve for the variable})\\\w &= -\frac{36}{5} && (\text{Simplify})$

Por lo tanto, $w = -\frac{36}{5}$ .

$\text{Check:} &\\\\frac{1}{4}w-3 &= \frac{2}{3}w\\\\frac{1}{4} \left({\color{red}\frac{-36}{5}} \right)-3 &= \frac{2}{3} \left({\color{red}\frac{-36}{5}}\right)\\\\frac{-36}{20} -3 &= \frac{-72}{15}\\\\frac{-108}{60}-\frac{180}{60} &= \frac{-288}{60}\\\\frac{-288}{60} &= \frac{-288}{60} \ \$

Práctica

Calcule la variable en cada una de las siguientes ecuaciones.

$\frac{1}{3}p=5$
$\frac{3}{7}j=8$
$\frac{2}{5}b+4=6$
$\frac{2}{3}x-2=1$
$\frac{1}{3}x+3=-3$

$\frac{1}{8}k+\frac{2}{3}=5$
$\frac{1}{6}c+\frac{1}{3}=-2$
$\frac{4}{5}x+3=\frac{2}{3}$
$\frac{3}{4}x-\frac{2}{5}=\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4}t+\frac{2}{3}=\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x=1$
$\frac{1}{5}d+\frac{2}{3}d=\frac{5}{3}$
$\frac{1}{2}x-1=\frac{1}{3}x$
$\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}=\frac{3}{4}x$
$\frac{2}{3}j-\frac{1}{2}=\frac{3}{4}j+\frac{1}{3}$

Prev Next

Ecuaciones con fracciones

Mire este video

Guía

Ejemplo A

Ejemplo B

Ejemplo C

Revisión del problema de concepto

Vocabulario

Práctica guiada

Práctica

Licencia