Ecuaciones con decimales, fracciones y paréntesis

Aquí aprenderá a calcular ecuaciones que contienen fracciones o decimales y requieren utilizar la propiedad distributiva para deshacerse de los paréntesis.

Los bolígrafos cuestan $9 por docena y los lápices $6 por docena. Janet necesita comprar media docena de cada uno para la escuela. ¿Cuál es el costo total de su compra?

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Khan Academy Solving Equations with the Distributive Property (Solución de ecuaciones con la propiedad distributiva) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Recuerde que la propiedad distributiva es una forma matemática de agrupar términos. Establece que el producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos individuales del número por los sumandos. Aquí utilizará la propiedad distributiva con ecuaciones que contienen decimales o fracciones. Se aplican las mismas reglas. Si la ecuación tiene paréntesis, el primer paso es multiplicar lo que está fuera del paréntesis por lo que está dentro del paréntesis. Luego de quitar los paréntesis, calcule la ecuación combinando los términos semejantes, moviendo las constantes a un lado del signo igual y las variables al otro lado del signo igual y, finalmente, aísle la variable para encontrar la solución.

Ejemplo A

Calcule: $\frac{2}{5}(d+4) = 6$ .

Solución:

$\frac{2}{5}(d+4) &= 6\\\\frac{2}{5}d+\frac{8}{5} &= 6 && (\text{Apply the distributive property to remove the parentheses})$

Encuentre el MCD para 5, 5 y 1. Puesto que es 5, multiplique el último número por $\frac{5}{5}$ , para obtener el mismo denominador.

$\frac{2}{5}d+\frac{8}{5} &= \left({\color{red}\frac{5}{5}}\right)6\\\\frac{2}{5}d+\frac{8}{5} &= \frac{30}{5} && (\text{Simplify})$

Debido a que todos los denominadores son iguales, la ecuación se transforma en:

$2d+8 &= 30\\\2d+8 {\color{red}-8} &= 30 {\color{red}-8} && (\text{Subtract} \ 8 \ \text{from both sides of the equals sign to isolate the variable})\\\2d &= 22 && (\text{Simplify})\\\\frac{2d}{{\color{red}2}}&=\frac{22}{{\color{red}2}} && (\text{Divide by} \ 2 \ \text{to solve for the variable})\\\d &= 11$

Por lo tanto, $d = 11$ .

$\text{Check:} &\\\\frac{2}{5}(d+4) &= 6\\\\frac{2}{5} ({\color{red}11} +4) &=6\\\\frac{2}{5}(15) &= 6\\\\frac{30}{5} &= 6\\\6 &= 6 \ \$

Ejemplo B

Calcule: $\frac{1}{4}(3x+7) =2$ .

Solución:

$\frac{1}{4}(3x+7) &= -2\\\\frac{3}{4}x+\frac{7}{4} &= -2 && (\text{Apply the distributive property to remove the parentheses})$

Encuentre el MCD para 4, 4 y 1. Puesto que es 4, multiplique el último número por $\frac{4}{4}$ , para obtener el mismo denominador.

$\frac{3}{4}x+\frac{7}{4} &= \left({\color{red}\frac{4}{4}}\right)-2\\\\frac{3}{4}x+\frac{7}{4} &= \frac{-8}{4} && (\text{Simplify})$

Debido a que todos los denominadores son iguales, la ecuación se transforma en:

$3x+7 &= -8\\\3x+7 {\color{red}-7} &= -8 {\color{red}-7} && (\text{Subtract} \ 7 \ \text{from both sides of the equals sign to isolate the variable})\\\3x &= -15 && (\text{Simplify})\\\\frac{3x}{{\color{red}3}} &= \frac{-15}{{\color{red}3}} && (\text{Divide by} \ 3 \ \text{to solve for the variable})\\\x &= -5$

Por lo tanto, $x = -5$ .

$\text{Check:} &\\\\frac{1}{4}(3x+7) &= -2\\\\frac{1}{4} (3 ({\color{red}-5})+7) &= -2\\\\frac{1}{4}(-15+7) &= -2\\\\frac{1}{4}(-8) &= -2\\\\frac{-8}{4} &= -2\\\-2 &= -2 \ \$

Ejemplo C

Calcule: $\frac{1}{3}(x-2) = -\frac{2}{3}(2x+4)$ .

Solución:

$\frac{1}{3}(x-2) &= -\frac{2}{3}(2x+4)\\\\frac{1}{3}x-\frac{2}{3} &= -\frac{4}{3}x-\frac{8}{3} && (\text{Apply the distributive property to remove the parentheses})$

Debido a que todos los denominadores son iguales, la ecuación se transforma en:

$x-2 &= -4x-8\\\x {\color{red}+4x} -2 &= -4x {\color{red}+4x}-8 && (\text{Add} \ 4x \ \text{to both sides of the equals sign to combine variables})\\\5x-2 &= -8 && (\text{Simplify})\\\5x-2 {\color{red}+2} &= -8 {\color{red}+2} && (\text{Add} \ 2 \ \text{to both sides of the equation to isolate the variable})\\\5x &= -6 && (\text{Simplify})\\\\frac{5x}{{\color{red}5}} &= \frac{-6}{{\color{red}5}} && (\text{Divide both sides by} \ 5 \ \text{to solve for the variable})\\\x&=\frac{-6}{5} && (\text{Simplify})$

Por lo tanto, $x=\frac{-6}{5}$ .

$\text{Check:}&\\\\frac{1}{3}(x-2) &= -\frac{2}{3}(2x+4)\\\\frac{1}{3} \left( {\color{red}\left(\frac{-6}{5}\right)} -2 \right) &= -\frac{2}{3} \left(2 {\color{red}\left(\frac{-6}{5}\right)}+4\right)\\\0.33(-1.2-2) &= -0.67(2(-1.2)+4)\\\0.33(-3.2) &= -0.67(1.6)\\\-1.1 &= -1.1 \ \$

Revisión del problema de concepto

Los bolígrafos cuestan $9 por docena y los lápices $6 por docena. Janet necesita comprar media docena de cada uno para la escuela. ¿Cuál es el costo total de su compra?

Primero debe escribir la información que conoce:

Si $x =$ costo total

Costo de los bolígrafos: $9/docena

Costo de los lápices: $6/docena

Janet necesita media docena de cada uno.

El costo total, por lo tanto, será:

$\frac{1}{2}(\$9+\$6) &= x\\\\frac{\$ 9}{2}+\frac{\$ 6}{2} &= x\\\\$4.50+\$3.00 &= x\\\\$7.50 &= x$

En consecuencia, Janet necesitará $7.50 para comprar estos suministros.

Vocabulario

Propiedad distributiva: La propiedad distributiva es una forma matemática de agrupar términos. Establece que el producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos individuales del número por los sumandos. Por ejemplo, en la expresión: ${\color{red}\frac{2}{3}} ({\color{blue}x + 5})$ , la propiedad distributiva establece que el producto de un número $({\color{red}\frac{2}{3}})$ por una suma $({\color{blue}x + 5})$ es igual a la suma de los productos individuales del número $({\color{red}\frac{2}{3}})$ por los sumandos $({\color{blue}x}$ y ${\color{blue}5})$ .

Práctica guiada

1. Calcule x: $\frac{1}{2}(5x+3)=1$ .

2. Calcule x: $\frac{2}{3}(9x-6)=2$ .

3. Calcule x: $\frac{2}{3}(3x+9)=\frac{1}{4}(2x+5)$ .

Respuestas:

$\frac{1}{2} (5x+3) &=1 \\\\frac{5}{2}x+\frac{3}{2}&=1 && (\text{Apply the distributive property to remove the parentheses})$

Encuentre el MCD para 2, 2 y 1. Puesto que es 2, multiplique el último número por $\frac{2}{2}$ , para obtener el mismo denominador.

$\frac{5}{2}x+\frac{3}{2} &= 1 {\color{red}\left(\frac{2}{2}\right)}\\\\frac{5}{2}x+\frac{3}{2} &= \frac{2}{2} && (\text{Simplify})$

Debido a que todos los denominadores son iguales, la ecuación se transforma en:

$5x+3 &= 2\\\5x+3 {\color{red}-3} &= 2 {\color{red}-3} && (\text{Subtract} \ 3 \ \text{from both sides of the equals sign to isolate the variable})\\\5x &= -1 && (\text{Simplify})\\\\frac{5x}{{\color{red}5}} &= \frac{-1}{{\color{red}5}} && (\text{Divide both sides by the} \ 5 \ \text{to solve for the variable})\\\x &= \frac{-1}{5} && (\text{Simplify})$

Por lo tanto, $x=\frac{-1}{5}$ .

$\frac{2}{3} (9x-6) &= 2\\\\frac{18}{3}x-\frac{12}{3} &= 2 && (\text{Apply the distributive property to remove the parentheses})$

Encuentre el MCD para 3, 3 y 1. Puesto que es 3, multiplique el último número por $\frac{3}{3}$ , para obtener el mismo denominador.

$\frac{18}{3}x-\frac{12}{3} &= 2 {\color{red}\left(\frac{3}{3}\right)}\\\\frac{18}{3}x-\frac{12}{3} &= \frac{6}{3} && (\text{Simplify})$

Debido a que todos los denominadores son iguales, la ecuación se transforma en:

$18x-12 &= 6\\\18x-12 {\color{red}+12} &= 6 {\color{red}+12} && (\text{Add} \ 12 \ \text{to both sides of the equals sign to isolate the variable})\\\18x &= 18 && (\text{Simplify})\\\\frac{18x}{{\color{red}18}} &= \frac{18}{{\color{red}18}} && (\text{Divide both sides by the} \ 18 \ \text{to solve for the variable})\\\x &= 1 && (\text{Simplify})$

Por lo tanto, $x=1$ .

$\frac{2}{3}(3x+9) &= \frac{1}{4}(2x+5)\\\\frac{6}{3}x+\frac{18}{3} &= \frac{2}{4}x+\frac{5}{4} && (\text{Apply the distributive property to remove the parentheses})$

Encuentre el MCD para 3, 3 y 4. Puesto que es 12, multiplique las primeras dos fracciones por $\frac{4}{4}$ y las segundas dos fracciones por $\frac{3}{3}$ , para obtener el mismo denominador.

$\left({\color{red}\frac{4}{4}}\right) \frac{6}{3}x+\left({\color{red}\frac{4}{4}}\right) \frac{18}{3} &= \left({\color{red}\frac{3}{3}}\right) \frac{2}{4}x+\left({\color{red}\frac{3}{3}}\right) \frac{5}{4}\\\\frac{24}{12}x+\frac{72}{12} &= \frac{6}{12}x+\frac{15}{12} && (\text{Simplify})$

Debido a que todos los denominadores son iguales, la ecuación se transforma en:

$24x+72 &= 6x+15\\\24x+72 {\color{red}-72} &= 6x+15 {\color{red}-72} && (\text{Subtract} \ 72 \ \text{from both sides of the equals sign to isolate the variable})\\\24x &= 6x-57 && (\text{Simplify})\\\24x {\color{red}-6x} &= 6x {\color{red}-6x} - 57 && (\text{Subtract} \ 6x \ \text{from both sides of the equals sign to get variables on same side})\\\18x &= -57 && (\text{Simplify})\\\\frac{18x}{{\color{red}18}} &= \frac{-57}{{\color{red}18}} && (\text{Divide both sides by} \ 18 \ \text{to solve for the variable})\\\x &= \frac{-57}{18} && (\text{Simplify})$

Práctica

Calcule la variable en cada una de las siguientes ecuaciones.

$\frac{1}{2} (x+5)=6$
$\frac{1}{4}(g+2)=8$
$0.4(b+2)=2$
$0.5(r-12)=4$
$\frac{1}{4}(x-16)=7$

$26.5-k=0.5(50-k)$
$2(1.5c+4)=-1$
$-\frac{1}{2}(3x-5)=7$
$0.35+0.10(m-1)=5.45$
$\frac{1}{4}+\frac{2}{3}(t+1)=\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}x-3 (x+4)=\frac{2}{3}$
$-\frac{5}{8}x+x=\frac{1}{8}$
$0.4(12-d)=18$
$0.25(x+3)=0.4(x-5)$
$\frac{2}{3}(t-2)=\frac{3}{4}(t+2)$

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