Desigualdades de una variable

Aquí aprenderá acerca de desigualdades lineales de una variable.

Janet escoge una tarjeta que dice $2x + 6 = 16$ . Donna escoge una tarjeta que dice $2x + 6 > 16$ . Andrew dice que no son iguales, pero Donna discute con él. Muestre, utilizando un ejemplo, que Andrew está en lo correcto.

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Khan Academy One Step Inequalities (Desigualdades de un paso) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Las desigualdades lineales de una variable tienen una forma distinta a las ecuaciones lineales de una variable. Las ecuaciones lineales tienen como forma general $ax + b = c$ , donde $a \ne 0$ . Las desigualdades lineales tienen una de las siguientes cuatro formas: $ax + b > c, ax + b < c, ax + b \ge c,$ o $ax + b \le c$ . Debe notar que la diferencia es que, en lugar de un signo de igualdad, hay un símbolo de desigualdad.

Cuando calcule una desigualdad lineal, siga las mismas reglas que seguiría para calcular una ecuación lineal; sin embargo, debe recordar una regla muy importante: Si al calcular divide o multiplica por un número negativo, debe invertir el signo de la desigualdad.

Ejemplo A

En la siguiente tabla, se resolvió una ecuación lineal. Resuelva la desigualdad utilizando pasos similares. ¿Son los mismos pasos? ¿Sigue siendo verdadera la desigualdad si reemplaza 8 por $p$ ?

Ecuación	Desigualdad	¿Aún es verdadera la desigualdad?
$2p + 4 = 20$	$2p + 4 < 20$	?
$2p + 4 - 4 = 20 - 4$
$2p = 16$
$\frac{2p}{2}=\frac{16}{2}$
$p=8$

Solución:

Ecuación	Desigualdad	¿Aún es verdadera la desigualdad?
$2p + 4 = 20$	$2p + 4 < 20$	no
$2p + 4 - 4 = 20 - 4$	$2p+4{\color{red}-4}<20{\color{red}-4}$
$2p = 16$	$2p<16$
$\frac{2p}{2}=\frac{16}{2}$	$\frac{2p}{{\color{red}2}}<\frac{16}{{\color{red}2}}$
$p=8$	$p<8$

No, no hay diferencia en los pasos utilizados para hallar las dos soluciones.

Ejemplo B

En la siguiente tabla, se resolvió una ecuación lineal. Resuelva la desigualdad utilizando pasos similares. ¿Son los mismos pasos? ¿Sigue siendo verdadera la desigualdad si reemplaza 6 por $x$ ?

Ecuación	Desigualdad	¿Aún es verdadera la desigualdad?
$3x + 5 = 23$	$3x + 5 \ge 23$	?
$3x + 5 - 5= 23 - 5$
$3x = 18$
$\frac{3x}{3}=\frac{18}{3}$
$x=6$

Solución:

Ecuación	Desigualdad	¿Aún es verdadera la desigualdad?
$3x + 5 = 23$	$3x + 5 \ge 23$	sí
$3x + 5 - 5= 23 - 5$	$3x + 5 {\color{red}-5} \ge 23{\color{red}-5}$
$3x = 18$	$3x\ge 18$
$\frac{3x}{3}=\frac{18}{3}$	$\frac{3x}{{\color{red}3}}\ge \frac{18}{{\color{red}3}}$
$x=6$	$x \ge 6$

No, no hay diferencia en los pasos utilizados para hallar las dos soluciones.

Ejemplo C

En la siguiente tabla, se resolvió una ecuación lineal. Resuelva la desigualdad utilizando pasos similares. ¿Son los mismos pasos? ¿Sigue siendo verdadera la desigualdad si reemplaza 3 por $c$ ?

Ecuación	Desigualdad	¿Aún es verdadera la desigualdad?
$5 - 3c = -4$	$5 - 3c \le -4$	?
$5-5-3c =-4-5$
$-3c = -9$
$\frac{-3c}{-3}=\frac{-9}{-3}$
$c=3$

Solución:

Ecuación	Desigualdad	¿Aún es verdadera la desigualdad?
$5 - 3c = -4$	$5 - 3c \le -4$	sí
$5-5-3c =-4-5$	$5{\color{red}-5}-3c \le -4{\color{red}-5}$
$-3c = -9$	$-3c \le -9$
$\frac{-3c}{-3}=\frac{-9}{-3}$	$\frac{-3c}{{\color{red}-3}} \ge \frac{-9}{{\color{red}-3}}$
$c=3$	$c \ge 3$

Sí, hubo una diferencia en los pasos utilizados para las dos soluciones. Al dividir por –3, el signo de la desigualdad se invirtió.

Revisión del problema de concepto

Andrew podría utilizar un ejemplo de la vida real. Por ejemplo, Andrew puede mostrar dos billetes de $5 y seis de $1. Andrew escoge la tarjeta de Janet y pregunta “¿Esto es verdad?”

La respuesta sería sí.

Ahora, intentemos con la desigualdad de Donna.

Esta cantidad de dinero no es mayor de $16; es igual a $16. Las dos expresiones matemáticas son distintas.

Vocabulario

Desigualdad lineal: Las desigualdades lineales pueden tener una de las siguientes cuatro formas: $ax + b > c, ax + b < c, ax + b \ge c$ , o $ax + b \le c$ .

Práctica guiada

1. En la siguiente tabla, se resolvió una ecuación lineal. Resuelva la desigualdad utilizando pasos similares, pero recuerde que si multiplica o divide por un número negativo, debe revertir el signo de desigualdad. ¿Sigue siendo verdadera la desigualdad si reemplaza -10 por $a$ ?

Ecuación	Desigualdad	¿Aún es verdadera la desigualdad?
$4.6a + 8.2 = 2.4a - 13.8$	$4.6a + 8.2 > 2.4a - 13.8$	?
$4.6a + 8.2+13.8 = 2.4a - 13.8 + 13.8$
$4.6a + 22 = 2.4a$
$4.6a-4.6a + 22 = 2.4a-4.6a$
$22 =-2.2a$
$\frac{22}{-2.2}=\frac{-2.2a}{-2.2}$
$a=-10$

2. En la siguiente tabla, se resolvió una ecuación lineal. Resuelva la desigualdad utilizando pasos similares, pero recuerde que si multiplica o divide por un número negativo, debe revertir el signo de desigualdad. ¿Sigue siendo verdadera la desigualdad si reemplaza 6 por $w$ ?

Ecuación	Desigualdad	¿Aún es verdadera la desigualdad?
$3(w + 4) = 2(3 + 2w)$	$3(w + 4) < 2(3 + 2w)$	?
$3w + 12 = 6 + 4w$
$3w + 12-12 = 6-12 + 4w$
$3w = -6 + 4w$
$3w-4w = -6 + 4w-4w$
$-w = -6$
$\frac{-w}{-1}=\frac{-6}{-1}$
$w=6$

3. En la siguiente tabla, se resolvió una ecuación lineal. Resuelva la desigualdad utilizando pasos similares, pero recuerde que si multiplica o divide por un número negativo, debe revertir el signo de desigualdad. ¿Sigue siendo verdadera la desigualdad si reemplaza -10 por $h$ ?

Ecuación	Desigualdad	¿Aún es verdadera la desigualdad?
$\frac{1}{3}(2-h)=4$	$\frac{1}{3}(2-h) \ge 4$	?
$\frac{1}{3}(2-h)=4 \left(\frac{3}{3}\right)$
$\frac{1}{3}(2-h)=\frac{12}{3}$
$2-h=12$
$2-2-h=12-2$
$-h=10$
$\frac{-h}{-1}=\frac{10}{-1}$
$h=-10$

Respuestas:

Ecuación	Desigualdad	¿Aún es verdadera la desigualdad?
$4.6a + 8.2 = 2.4a - 13.8$	$4.6a + 8.2 > 2.4a - 13.8$	no
$4.6a + 8.2+13.8 = 2.4a - 13.8 + 13.8$	$4.6a + 8.2{\color{red}+13.8} > 2.4a - 13.8 {\color{red}+13.8}$
$4.6a + 22 = 2.4a$	$4.6a + 22 > 2.4a$
$4.6a-4.6a + 22 = 2.4a-4.6a$	$4.6a{\color{red}-4.6a} + 22 > 2.4a{\color{red}-4.6a}$
$22 =-2.2a$	$22 >-2.2a$
$\frac{22}{-2.2}=\frac{-2.2a}{-2.2}$	$\frac{22}{{\color{red}-2.2}}<\frac{-2.2a}{{\color{red}-2.2}}$
$a=-10$	$a>-10$

Ecuación	Desigualdad	¿Aún es verdadera la desigualdad?
$3(w + 4) = 2(3 + 2w)$	$3(w + 4) < 2(3 + 2w)$	no
$3w + 12 = 6 + 4w$	$3w + 12 = 6 < 4w$
$3w + 12-12 = 6-12 + 4w$	$3w + 12{\color{red}-12} < 6 {\color{red}-12}+4w$
$3w = -6 + 4w$	$3w < -6 + 4w$
$3w-4w = -6 + 4w-4w$	$3w{\color{red}-4w} < -6+4w{\color{red}-4w}$
$-w = -6$	$-w < -6$
$\frac{-w}{-1}=\frac{-6}{-1}$	$\frac{-w}{{\color{red}-1}}>\frac{-6}{{\color{red}-1}}$
$w=6$	$w>6$

Ecuación	Desigualdad	¿Aún es verdadera la desigualdad?
$\frac{1}{3}(2-h)=4$	$\frac{1}{3}(2-h) \ge 4$	sí
$\frac{1}{3}(2-h)=4\left(\frac{3}{3}\right)$	$\frac{1}{3}(2-h)=4\left({\color{red}\frac{3}{3}}\right)$
$\frac{1}{3}(2-h)=\frac{12}{3}$	$\frac{1}{3}(2-h)\ge \frac{12}{3}$
$2-h=12$	$2-h \ge 12$
$2-2-h=12-2$	$2{\color{red}-2}-h \ge 12{\color{red}-2}$
$-h=10$	$-h \ge 10$
$\frac{-h}{-1}=\frac{10}{-1}$	$\frac{-h}{{\color{red}-1}} \le \frac{10}{{\color{red}-1}}$
$h=-10$	$h \le-10$

Práctica

En la siguiente tabla, se resolvió una ecuación lineal.

Ecuación	Desigualdad	¿Aún es verdadera la desigualdad?
$5.2+x+3.6=4.3$	$5.2+x+3.6 \ge 4.3$	?
$8.8+x=4.3$
$8.8-8.8+x=4.3-8.8$
$x=-4.5$

Resuelva la desigualdad utilizando pasos similares.
¿Fueron los mismos todos los pasos? ¿Por qué o por qué no?
¿Sigue siendo verdadera la desigualdad si reemplaza -4,5 por $x$ ?

En la siguiente tabla, se resolvió una ecuación lineal.

Ecuación	Desigualdad	¿Aún es verdadera la desigualdad?
$\frac{n}{4}-5=-3$	$\frac{n}{4}-5 <-3$	?
$\frac{n}{4}-5\left(\frac{4}{4}\right)=-3\left(\frac{4}{4}\right)$
$\frac{n}{4}-\frac{20}{4}=\frac{-12}{4}$
$n-20=-12$
$n-20+20=-12+20$
$n=8$

Resuelva la desigualdad utilizando pasos similares.
¿Fueron los mismos todos los pasos? ¿Por qué o por qué no?
¿Sigue siendo verdadera la desigualdad si reemplaza 8 por $n$ ?

En la siguiente tabla, se resolvió una ecuación lineal.

Ecuación	Desigualdad	¿Aún es verdadera la desigualdad?
$1-z=5(3+2z)+8$	$1-z<5(3+2z)+8$	?
$1-z=15+10z+8$
$1-z=23+10z$
$1-z+z=23+10z+z$
$1=23+11z$
$1-23=23-23+11z$
$-22=11z$
$\frac{-22}{11}=\frac{11z}{11}$
$z=-2$

Resuelva la desigualdad utilizando pasos similares.
¿Fueron los mismos todos los pasos? ¿Por qué o por qué no?
¿Sigue siendo verdadera la desigualdad si reemplaza -2 por $z$ ?

La suma de dos números es mayor de 764. Si uno de los números es 416, ¿cuál puede ser el otro número?
205 menos un número es mayor o igual que 112. ¿Qué número podría ser?
Cinco más el doble de un número es menor de 20. Si el número es un entero, ¿qué número podría ser?
El producto de 7 por un número es mayor de 42. Si el número es un número entero menor de 10, ¿qué número podría ser?
Tres menos 5 veces un número es menor o igual que 12. Si el número es un entero, ¿qué número podría ser?
Duplique un número y agregue 12 y el resultado será mayor de 20. El número es menor de 6. ¿Cuál es el número?

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