Soluciones algebraicas a desigualdades de una variable

Aquí aprenderá cómo resolver desigualdades de una variable.

El dólar de plata Morgan es un dólar estadounidense muy valioso acuñado entre 1978 y 1921. Cuando se lo coloca en una balanza con veinte masas de 1 gramo, la balanza se inclina hacia el dólar Morgan. Dibuje una imagen para representar esta situación y luego escriba la desigualdad.

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Khan Academy One Step Inequalities (Desigualdades de un paso) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Las ecuaciones lineales tienen la forma $ax + b = 0$ , donde $a \ne 0$ . En las ecuaciones lineales siempre hay un signo de igualdad. Las desigualdades lineales son enunciados matemáticos que relacionan expresiones mediante uno o más símbolos de desigualdad $<, >, \le$ , o $\ge$ . En otras palabras, el lado izquierdo ya no es igual que el lado derecho, sino es menor que, mayor que, menor o igual que, o mayor o igual que.

Recuerde que un método para resolver una ecuación es utilizar el método de la balanza. Para resolver $a + 2 = 5$ , dibujará la siguiente balanza:

Si utiliza el método de la balanza para resolver la versión de desigualdad lineal, se vería de esta forma: $a + 2 >5$

Piénselo de esta manera. Es como tener a alguien más pesado en un lado $(a + 2)$ de la balanza y a alguien más liviano (5) en el otro. La persona $(a + 2)$ tiene un peso mayor que (>) la persona (5), y por lo tanto la balanza se inclina hasta el suelo.

Las reglas para resolver desigualdades son básicamente las mismas que las que utiliza para resolver ecuaciones lineales. Si tiene paréntesis, retírelos utilizando la propiedad distributiva. Luego debe aislar la variable moviendo las constantes a un lado y las variables al otro lado del signo de desigualdad. También debe recordar que cualquier cosa que haga en un lado de la desigualdad, debe hacer lo mismo en el otro. Lo mismo era cierto cuando trabajaba con ecuaciones lineales. Una regla adicional es invertir el signo de desigualdad si multiplica o divide ambos lados por un número negativo.

Es importante que recuerde lo que significan los símbolos. Siempre recuerde que la boca del signo se abre hacia el número mayor. Así, $8 >5$ , la boca del signo > se abre hacia el 8, por lo que 8 es mayor que 5. Usted sabe que eso es cierto. $6b-5 < 300$ , la boca se abre hacia 300, por lo que 300 es mayor que $6b - 5$ .

Ejemplo A

Calcule: $15 < 4 + 3x$

Solución: Recuerde que cualquier cosa que haga en un lado de la desigualdad, debe hacer lo mismo en el otro.

$15 {\color{red}-4} &< 4 {\color{red}-4} + 3x && \text{Subtract 4 from both sides to isolate the variable}\\\11 &< 3x && \text{Simplify}\\\\frac{11}{{\color{red}3}} &< \frac{3x}{{\color{red}3}} && \text{Divide by 3 to solve for the variable}\\\x &> \frac{11}{3} && \text{Simplify}\\\$

Haga una verificación rápida para asegurarse de que es cierto. $\frac{11}{3}$ es aproximadamente 3.67. Reemplace 0, 3 y 4 en la ecuación.

$15 &< 4 + 3x && 15 < 4 + 3x && 15 < 4 + 3x\\\15 &< 4 + 3 ({\color{red}0}) && 15 < 4 + 3 ({\color{red}3}) && 15 < 4 + 3 ({\color{red}4})\\\15 &< 4 \ \rm{False} && 15 < 13 \ \rm{False} && 15 < 16 \ \rm{True}$

El único valor entre 0, 3 y 4 tal que $x > \frac{11}{3}$ es 4. Si observa las expresiones anteriores, fue la única desigualdad con un resultado verdadero.

Ejemplo B

Calcule: $2y + 3 > 7$

Solución: Utilice las mismas reglas que utilizaría si estuviera resolviendo una expresión algebraica. Recuerde que cualquier cosa que haga en un lado de la desigualdad, debe hacer lo mismo en el otro.

$2y + 3 {\color{red}-3} &> 7 {\color{red}-3} && \text{Subtract 3 from both sides to isolate the variable}\\\2y &> 4 && \text{Simplify}\\\\frac{2y}{{\color{red}2}} &> \frac{4}{{\color{red}2}} && \text{Divide by 2 to solve for the variable}\\\y &> 2 && \text{Simplify}$

Haga una verificación rápida para asegurarse de que es cierto. Reemplace 0, 4 y 8 en la ecuación.

$2y + 3 &> 7 && \ \ 2y + 3 > 7 && \ \ 2y + 3 > 7\\\2({\color{red}0}) + 3 &> 7 && 2({\color{red}4}) + 3 > 7 && 2({\color{red}8}) + 3 > 7\\\3 &> 7 \ \rm{False} && \qquad \ 11 > 7 \ \rm{True} && \qquad \ 19 > 7 \ \rm{True}$

Los valores entre 0, 4 y 8 tal que $y>2$ son 4 y 8. Si observa las expresiones anteriores, al reemplazar estos valores en la desigualdad se obtienen expresiones verdaderas.

Ejemplo C

Calcule: $-2c-5 < 8$

Solución: Una vez más, para resolver esta desigualdad, utilice las mismas reglas que utilizaría si estuviera resolviendo una expresión algebraica. Recuerde que cualquier cosa que haga en un lado de la desigualdad, debe hacer lo mismo en el otro.

$-2c-5{\color{red}+5} &< 8 {\color{red}+5} && \text{Add 5 to both sides to isolate the variable}\\\-2c &<13&& \text{Simplify}\\\\frac{-2c}{{\color{red}-2}} &< \frac{13}{{\color{red}-2}} && \text{Divide by -2 to solve for the variable}$

Nota: Cuando divide por un número negativo, se invierte el signo de la desigualdad.

$c > \frac{-13}{2} && \text{Simplify}$

Haga una verificación rápida para asegurarse de que es cierto. $\frac{-13}{2}$ es igual a –6.5. Reemplace -8, 0 y 2 en la ecuación.

$-2c - 5 &< 8 && \quad -2c - 5 < 8 && \quad -2c - 5 < 8\\\-2({\color{red}-8}) - 5 &< 8 && -2({\color{red}0}) - 5 < 8 && -2({\color{red}2}) - 5 < 8\\\11 &< 8 \ \rm{False} && \qquad \quad -5 < 8 \ \rm{True} && \qquad \qquad \ -9 < 8 \ \rm{True}$

Los valores entre -8, 0 y 2 tal que $c>\frac{-13}{2}$ son 0 y 2. Si observa las expresiones anteriores, al reemplazar estos valores en la desigualdad se obtienen expresiones verdaderas.

Revisión del problema de concepto

Si $m =$ dólar Morgan

Debido a que el peso del dólar Morgan es mayor de 20 g, la boca del signo de desigualdad se abrirá hacia la variable, $m$ . Por lo tanto, la ecuación de desigualdad será:

$m>20$

Vocabulario

Desigualdad lineal

Las desigualdades lineales son afirmaciones matemáticas que relacionan expresiones utilizando uno o más símbolos de desigualdad $<, >, \le$ , o $\ge$ .

Práctica guiada

Resuelva cada desigualdad.

1. $4t + 3 > 11$

2. $2z + 7 \le 5z + 28$

3. $9(j - 2) \ge 6(j + 3) - 9$

Respuestas:

1. $t>2$ . Estos son los pasos:

$4t + 3 &> 11\\\4t+3{\color{red}-3} &> 11{\color{red}-3}&& \text{Subtract 3 from both sides to isolate the variable}\\\4t &> 8&& \text{Simplify}\\\\frac{4t}{{\color{red}4}} &> \frac{8}{{\color{red}4}}&& \text{Divide by 4 to solve for the variable}\\\t &> 2$

2. $z\ge -7$ . Estos son los pasos:

$2z + 7 &\le 5z + 28\\\2z{\color{red}-2z}+7 &\le 5z{\color{red}-2z}+28 && \text{Subtract} \ 2z \ \text{from both sides to get variables on same side of the inequality sign.}\\\7 &\le 3z+28 && \text{Simplify}\\\7 {\color{red}-28} &\le 3z+28 {\color{red}-28} && \text{Subtract 28 from both sides to isolate the variable}\\\-21 &\le 3z && \text{Simplify}\\\\frac{3z}{{\color{red}3}} &\ge \frac{-21}{{\color{red}3}} && \text{Divide by 3 to solve for the variable}\\\z &\ge -7$

3. $j \ge 9$ . Estos son los pasos:

$9(j-2) &\ge 6(j + 3)-9\\\9j-18 & \ge 6j+18-9 && \text{Remove parentheses}\\\9j-18 & \ge 6j+9&& \text{Combine like terms on each side of inequality sign}\\\9j{\color{red}-6j}-18 & \ge 6j{\color{red}-6j}+9&& \text{Subtract} \ 6j \ \text{from both sides to get variables on same side of the inequality sign.}\\\3j-18 & \ge 9&& \text{Simplify}\\\3j-18{\color{red}+18} & \ge 9{\color{red}+18}&& \text{Add 18 to both sides to isolate the variable}\\\3j &\ge 27&& \text{Simplify}\\\\frac{3j}{{\color{red}3}} &\ge \frac{27}{{\color{red}3}}&& \text{Divide by 3 to solve for the variable}\\\j &\ge 9$

Práctica

Calcule la variable en las siguientes desigualdades.

$a+8>4$
$4c-1>7$
$5-3k<6$
$3-4t \le -11$
$6 \ge 11-2b$
$\frac{e}{5}-3 >-1$
$\frac{1}{5}(r-3) <-1$
$\frac{1}{3}(f+2) <4$
$\frac{p+3}{4} \ge -2$
$\frac{1}{2}(5-w) \le -3$
$3(2x-5)<2(x-1)+3$
$2(y+8)+5(y-1)>6$
$2(d-3)<-3(d+3)$
$3(g+3) \ge 2(g+1)-2$
$2(3s-4)+1 \le 3(4s+1)$

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