Soluciones gráficas a desigualdades de una variable

Aquí aprenderá cómo representar su solución a una desigualdad en una recta numérica.

Jack es 3 años mayor que su hermano. ¿Cuántos años tienen si la suma de sus edades es mayor de 17? Escriba una desigualdad y resuélvala. Represente el conjunto solución en una recta numérica.

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Khan Academy Inequalities on a Number Line (Desigualdades en una recta numérica) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Cuando resuelve una desigualdad lineal, puede representar su solución de forma gráfica con una recta numérica. Su trabajo es mostrar los números de la recta numérica que son soluciones para la desigualdad.

Al graficar soluciones para desigualdades, utilice un círculo abierto para mostrar que el número no está incluido como parte de la solución y un círculo cerrado para mostrar que el número sí está incluido como parte de la solución. La línea encima de la recta numérica muestra todos los números que son soluciones posibles de la desigualdad.

Ejemplo A

Represente el conjunto solución de la siguiente desigualdad en una recta numérica: $x+2<5$ .

Solución:

$x + 2 &< 5\\\x+2{\color{red}-2} &< 5{\color{red}-2} && (\text{Subtract 2 from both sides to isolate the variable})\\\x &< 3 && (\text{Simplify})$

Ejemplo B

Represente el conjunto solución de la siguiente desigualdad en una recta numérica: $2x+6\geq 4$ .

Solución:

$2x + 6 &\ge 4\\\2x+6{\color{red}-6} &\ge 4{\color{red}-6} && (\text{Subtract 6 from both sides to isolate the variable})\\\2x &\ge -2 && (\text{Simplify})\\\\frac{2x}{{\color{red}2}} &\ge \frac{-2}{{\color{red}2}} && (\text{Divide by 2 to solve for the variable})\\\x &\ge -1$

Ejemplo C

Represente el conjunto solución de la siguiente desigualdad en una recta numérica: $-3x + 8 \le 17$ .

Solución:

$-3x + 8 &\le 17\\\-3x+8{\color{red}-8} &\le 17{\color{red}-8} && (\text{Subtract 8 from both sides to isolate the variable})\\\-3x &\le 9 && (\text{Simplify})\\\\frac{-3x}{{\color{red}-3}} &\ge \frac{9}{{\color{red}-3}} && (\text{Divide both sides by -3 to solve for the variable, reverse sign of inequality})\\\x &\ge -3$

Revisión del problema de concepto

Jack es 3 años mayor que su hermano. ¿Cuántos años tienen si la suma de sus edades es mayor de 17? Escriba una desigualdad y resuélvala. Represente el conjunto solución en una recta numérica.

Primero escriba la información que conoce:

Si $x =$ es la edad del hermano de Jack

Entonces $x + 3 =$ es la edad de Jack

La ecuación, por lo tanto, será:

$x+x+3 &> 17\\\2x+3 &> 17 && (\text{Combine like terms})\\\2x+3{\color{red}-3} &> 17{\color{red}-3} && (\text{Subtract 3 from both sides to solve for the variable})\\\2x &> 14 && (\text{Simplify})\\\\frac{2x}{{\color{red}2}} &> \frac{14}{{\color{red}2}} && (\text{Divide by 2 to solve for the variable})\\\x &> 7$

En consecuencia, si el hermano de Jack tiene 8 (ya que $8 > 7$ ), Jack tendrá 11. Si el hermano de Jack tiene 10, Jack tendrá 13.

Al representar la edad del hermano de Jack en una recta numérica, se tiene:

Vocabulario

Recta numérica: Una recta numérica es una línea que une un conjunto de puntos y un conjunto de números uno a uno.

Práctica guiada

1. Represente el conjunto solución de la desigualdad $3(a - 1) < 9$ en una recta numérica.

2. Represente el conjunto solución de la desigualdad $2b + 4 \ge 5b + 19$ en una recta numérica.

3. Represente el conjunto solución de la desigualdad $0.6c + 2 \ge 5.6$ en una recta numérica.

Respuestas:

$3(a-1)&<9\\\3a-3 &< 9 && (\text{Remove parentheses})\\\3a-3{\color{red}+3} &< 9 {\color{red}+3} && (\text{Add 3 to both sides to isolate the variable})\\\3a &< 12 && (\text{Simplify})\\\\frac{3a}{{\color{red}3}} &< \frac{12}{{\color{red}3}} && (\text{Divide both sides by 3 to solve for the variable})\\\a &< 4$

$2b+4 &\ge 5b+19\\\2b{\color{red}-5b}+4 &\ge 5b{\color{red}-5b}+19 && (\text{Subtract} \ 5b \ \text{from both sides to get variables on same side})\\\-3b+4 &\ge 19 && (\text{Simplify})\\\-3b+4{\color{red}-4} &\ge 19 {\color{red}-4} && (\text{Subtract 4 from both sides to isolate the variable})\\\-3b &\ge 15 && (\text{Simplify})\\\\frac{-3b}{{\color{red}-3}} &\le \frac{15}{{\color{red}-3}} && (\text{Divide by -3 to solve for the variable, reverse sign of inequality})\\\b &\le -5$

$0.6 c+2 &\ge 5.6\\\0.6c+2{\color{red}-2} &\ge 5.6{\color{red}-2} && (\text{Subtract 2 from both sides to isolate the variable})\\\0.6c &\ge 3.6 && (\text{Simplify})\\\\frac{0.6c}{{\color{red}0.6}} &\ge \frac{3.6}{{\color{red}0.6}} && (\text{Divide both sides by 0.6 to solve for the variable})\\\c &\ge 6$

Práctica

Resuelva cada desigualdad y represente el conjunto solución en una recta numérica.

$-4v > 12$
$\frac{-2r}{3} > 4$
$4(t-2) \le 24$
$\frac{1}{2} (x+5)>6$
$\frac{1}{4}(g+2)\le 2$
$0.4(b+2)\ge 2$
$0.5(r-1)<4$
$\frac{1}{4}(x+16)>2$
$2-k>5(1-k)$
$2(1.5c+4)\le -1$
$-\frac{1}{2}(3x-5)\ge 7$
$0.35+0.10(m-1)< 0.45$
$\frac{1}{4}+\frac{2}{3}(t+1)>\frac{1}{2}$
El comité de la graduación está vendiendo entradas para una actividad de recaudación de fondos para la decoración. Cada entrada cuesta $3.50. ¿Cuál es la menor cantidad de entradas que el comité necesita vender para obtener $1000? Escriba una desigualdad y resuélvala.
Brenda obtuvo 69 %, 72 %, 81 %, y 88 % en sus últimos cuatro exámenes más importantes. ¿Cuánto necesita en su próximo examen para obtener un promedio de al menos 80 %? Escriba una desigualdad y resuélvala.

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