Soluciones a ecuaciones con valor absoluto

Aquí aprenderá a resolver ecuaciones con valor absoluto.

Calcule la variable en la ecuación: $|3x+1|=4$

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Khan Academy Absolute Value Equations (Ecuaciones con valor absoluto) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Recuerde que una ecuación lineal se relaciona con expresiones matemáticas con un signo de igualdad. Para resolver una ecuación lineal absoluta, debe recordar las mismas reglas que utilizó para resolver ecuaciones lineales con una variable. La diferencia con ecuaciones con valor absoluto es que, con frecuencia, habrá dos soluciones en lugar de solo una. Considere las siguientes ecuaciones:

1. $|x|=5$

Esto significa que x puede ser 5 o x puede ser –5. Esto se debe a que $|5|=|-5|=5$ .

2. $|x+1|=7$

Esto significa que $x+1$ puede ser 7 o $x+1$ puede ser –7. Esto se debe a que $|7|=|-7|=7$ .

3. $|x|=-1$

El valor absoluto de $x$ nunca puede ser igual a un número negativo. Por lo tanto, si una ecuación de valor absoluto es igual a un número negativo, no existe solución

Ejemplo A

$|d+3|=2.1$

Solución: Plantee dos ecuaciones a resolver. Usted sabe que $d+3=2.1$ O $d+3=-2.1$ . La cantidad dentro de los signos de valor absoluto puede o ser el positivo o negativo del valor de la derecha.

$d+3&=2.1\\\d+3{\color{red}-3}&=2.1{\color{red}-3} && \ \text{Subtract 3 from both sides to isolate the variable}\\\d&=0.9 && \text{Simplify}\\\& OR\\\d+3 &=-2.1\\\d+3{\color{red}-3}&=-2.1{\color{red}-3} && \text{Subtract 3 from both sides to isolate the variable}\\\d&=-5.1 && \text{Simplify}$

Soluciones $= 0.9, -5.1$

Ejemplo B

$|2(z+4)|=|5|$

Solución: Antes que nada, usted sabe que $|5|=5$ . Ahora, plantee dos ecuaciones a resolver. Usted sabe que $2(z+4)=5$ O $2(z+4)=-5$ .

$2(z+4)&=5\\\2z+8&=5 && \text{Remove parentheses}\\\2z+8{\color{red}-8}&=5{\color{red}-8} && \text{Subtract 8 from both sides to isolate the variable}\\\2z&=-3 && \text{Simplify}\\\\frac{2z}{{\color{red}2}}&=\frac{-3}{{\color{red}2}} && \text{Divide by 2 to solve for the variable}\\\z&=\frac{-3}{2} && \text{Simplify}\\\& OR\\\2(z+4)&=-5 \\\2z+8&=-5 && \text{Remove parentheses}\\\2z+8{\color{red}-8}&=-5{\color{red}-8} && \text{Subtract 8 from both sides to isolate the variable}\\\2z&=-13 && \text{Simplify}\\\\frac{2z}{{\color{red}2}}&=\frac{-13}{{\color{red}2}} && \text{Divide by 2 to solve for the variable}\\\z&=\frac{-13}{2} && \text{Simplify}$

Soluciones $= \frac{-3}{2},\frac{-13}{2}$

Ejemplo C

$\big|\frac{1}{2}x+3\big|=\big|\frac{4}{5}\big|$

Solución: Antes que nada, usted sabe que $\big|\frac{4}{5}\big|=\frac{4}{5}$ . Ahora, plantee dos ecuaciones a resolver. Usted sabe que $\frac{1}{2}x+3=\frac{4}{5}$ O $\frac{1}{2}x+3=-\frac{4}{5}$ .

$\frac{1}{2}x+3&=\frac{4}{5}\\\\left({\color{red}\frac{5}{5}}\right)\frac{1}{2}x+\left({\color{red}\frac{10}{10}}\right)3&=\left({\color{red}\frac{2}{2}}\right)\frac{4}{5} && \text{Multiply to get common denominator (LCD} = 10)\\\\frac{5}{10}x+\frac{30}{10}&=\frac{8}{10} && \text{Simplify}\\\5x+30 &= 8 && \text{Simplify}\\\5x+30{\color{red}-30}&=8{\color{red}-30} && \text{Subtract 30 from both sides to isolate the variable}\\\5x&=-22 && \text{Simplify}\\\\frac{5x}{{\color{red}5}}&=\frac{-22}{{\color{red}5}} && \text{Divide by 5 to solve for the variable}\\\x &= \frac{-22}{5} && \text{Simplify}\\\& OR \\\\frac{1}{2}x+3&=\frac{-4}{5}\\\\left({\color{red}\frac{5}{5}}\right)\frac{1}{2}x +\left({\color{red}\frac{10}{10}}\right)3&=\left({\color{red}\frac{2}{2}}\right)\frac{-4}{5} && \text{Multiply to get common denominator (LCD} = 10) \\\\frac{5}{10}x+\frac{30}{10}&=\frac{-8}{10} && \text{Simplify}\\\5x+30 &= -8 && \text{Simplify}\\\5x+30{\color{red}-30}&=-8{\color{red}-30} && \text{Subtract 30 from both sides to isolate the variable}\\\5x&=-38 && \text{Simplify}\\\\frac{5x}{{\color{red}5}}&=\frac{-38}{{\color{red}5}} && \text{Divide by 5 to solve for the variable}\\\x&=\frac{-38}{5} && \text{Simplify}$

Soluciones $= \frac{-22}{5},\frac{-38}{5}$

Revisión del problema de concepto

Calcule la variable en la expresión: $|3x+1|=4$

Debido a que $|3x+1|=4$ , la expresión $3x + 1$ es igual a 4 o –4.

$3x+1&=4\\\3x+1{\color{red}-1}&=4{\color{red}-1} && \text{Subtract 1 from both sides to isolate the variable}\\\3x&=3 && \text{Simplify}\\\\frac{3x}{{\color{red}3}}&=\frac{3}{{\color{red}3}} && \text{Divide by 3 to solve for the variable}\\\x&=1 && \text{Simplify}\\\&& OR\\\3x+1&=-4\\\3x+1{\color{red}-1}&=-4{\color{red}-1} && \text{Subtract 1 from both sides to isolate the variable}\\\3x&=-5 && \text{Simplify}\\\\frac{3x}{{\color{red}3}}&=\frac{-5}{{\color{red}3}} && \text{Divide by 3 to solve for the variable}\\\x&=\frac{-5}{3} && \text{Simplify}$

Al igual que con ecuaciones lineales regulares, puede comprobar ambas respuestas.

$&|3x+1|=4 && |3x+1|=4\\\& \bigg |3\left({\color{red}\frac{-5}{3}}\right)+1 \bigg |=4 && |3({\color{red}1})+1|=4\\\& |-5+1|=|-4|=4 && |4|=4$

Vocabulario

Valor absoluto: El valor absoluto en el sistema numérico real es la distancia desde cero en la recta numérica. Siempre es un número positivo y se lo representa utilizando el símbolo $|x|$ .

Ecuación lineal: Una ecuación lineal relaciona expresiones matemáticas con el signo de igualdad.

Práctica guiada

Resuelva cada ecuación.

1. $|4a-2|=3$

2. $|2b-8|-3=4$

3. $\big|\frac{1}{2}c-5\big|=3$

Respuestas:

1. Las soluciones son $\frac{5}{4},\frac{-1}{4}$ . Estos son los pasos:

$4a-2&=3\\\4a-2{\color{red}+2}&=3{\color{red}+2} && \text{Add 2 to both sides to isolate the variable}\\\4a&=5 && \text{Simplify}\\\\frac{4a}{{\color{red}4}}&=\frac{5}{{\color{red}4}} && \text{Divide by 4 to solve for the variable}\\\a &= \frac{5}{4}\\\& OR\\\4a-2&=-3\\\4a-2{\color{red}+2}&=-3{\color{red}+2} && \text{Add 2 to both sides to isolate the variable}\\\4a&=-1 && \text{Simplify}\\\\frac{4a}{{\color{red}4}}&=\frac{-1}{{\color{red}4}} && \text{Divide by 4 to solve for the variable}\\\a&=\frac{-1}{4}$

2. Las soluciones son $\frac{15}{2},\frac{1}{2}$ . Primero, aísle la parte de la ecuación con el signo de valor absoluto sumando 3 a ambos lados. La nueva ecuación es $|2b-8|=7$ . Luego, plantee dos ecuaciones y resuélvalas.

$2b-8&=7\\\2b&=15 && \text{Add 8 to both sides and simplify}\\\\frac{2b}{{\color{red}2}}&=\frac{15}{{\color{red}2}} && \text{Divide by 2 to solve for the variable}\\\b &= \frac{15}{2}\\\& OR\\\2b-8 &=-7\\\2b-8{\color{red}+8}&=-7{\color{red}+8} && \text{Add 8 to both sides to isolate the variable}\\\2b&=1 && \text{Simplify}\\\\frac{2b}{{\color{red}2}}&=\frac{1}{{\color{red}2}} && \text{Divide by 2 to solve for the variable}\\\b&=\frac{1}{2}$

3. Las soluciones son $16, 4$ . A continuación los pasos de la solución: $\frac{1}{2}c-5 &= 3\\\\frac{1}{2}c-\left({\color{red}\frac{2}{2}}\right)5&=\left({\color{red}\frac{2}{2}}\right)3 && \text{Multiply to get common denominator. (LCD} = 2)\\\\frac{c}{2}-\frac{10}{2}&=\frac{6}{2} && \text{Simplify}\\\c-10 &=6 && \text{Simplify}\\\c-10{\color{red}+10}&=6{\color{red}+10} && \text{Add 10 to both sides to isolate the variable}\\\c &= 16\\\& OR\\\\frac{1}{2}c-5&=-3\\\\frac{1}{2}c-\left({\color{red}\frac{2}{2}}\right)5&=\left({\color{red}\frac{2}{2}}\right)-3 && \text{Multiply to get common denominator. (LCD} = 2)\\\\frac{c}{2}-\frac{10}{2}&=\frac{-6}{2} && \text{Simplify}\\\c-10&=-6 && \text{Simplify} \\\c-10{\color{red}+10}&=-6{\color{red}+10} && \text{Add 10 to both sides to isolate the variable}\\\c&=4$

Práctica

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones lineales con valor absoluto.

$|t+2|=4$
$|r-2|=7$
$|5-k|=6$
$|6-y|=12$
$-6=|1-b|$
$\big|\frac{1}{5}x-3\big|=1$
$\big|\frac{1}{2}(r-3)\big|=2$
$\big|\frac{1}{3}(f+1)\big|=5$
$|3d-11|=-2$
$|5w+9|-6=68$
$|5(2t+5)+3(t-1)|=-3$
$|2.24x-24.63|=2.25$
$|6(5j-3)+2|=14$
$|7g-8(g+3)|=1$
$|e+4(e+3)|=17$

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