Soluciones algebraicas a desigualdades con valores absolutos

Aquí aprenderá cómo resolver una desigualdad lineal con valor absoluto.

Se dispara una bala de cañón durante las celebraciones del Día de la Independencia. La bala se dispara directamente al aire con una velocidad inicial de 150 pies/seg. La velocidad de la bala se puede calcular utilizando la siguiente fórmula $s =|-32t+150|$ , donde $s$ es la medida de la velocidad en pies/seg. y $t$ es el tiempo en segundos. Calcule los tiempos en los que la velocidad es menor de 86 pies/seg.

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Khan Academy Absolute Value Inequalities (Desigualdades con valor absoluto) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Aprendió que una desigualdad lineal tiene la forma $ax + b > c, ax + b < c, ax + b \ge c$ , o $ax + b \le c$ . Las desigualdades lineales, a diferencia de las ecuaciones lineales, tienen más de una solución. Tienen un conjunto solución. Por ejemplo, si observa la desigualdad lineal $x + 3 > 5$ . Usted sabe que $2 + 3$ es igual a 5; por lo tanto, el conjunto solución puede ser cualquier número mayor de 2.

Recuerde que al resolver ecuaciones lineales con valor absoluto, debe calcular las dos ecuaciones relacionadas. Recuerde que para resolver $|ax+b|=c$ , tuvo que calcular $ax+b=c$ y $ax+b=-c$ . Lo mismo es cierto con las desigualdades. Si tiene una desigualdad lineal con valor absoluto, necesita calcular las dos desigualdades lineales relacionadas.

La siguiente tabla muestra los cuatro tipos de desigualdades lineales con valor absoluto y las dos desigualdades relacionadas que se deben calcular para cada una.

Desigualdad con valor absoluto	$\|ax+b\|>c$	$\|ax+b\|<c$	$\|ax+b\|\ge c$	$\|ax+b\|\le c$
Desigualdad 1	$ax+b>c$	$ax+b<c$	$ax+b \ge c$	$ax+b \le c$
Desigualdad 2	$ax+b<-c$	$ax+b>-c$	$ax+b \le -c$	$ax+b \ge -c$

Recuerde que las reglas para calcular de forma algebraica la variable son las mismas que las que utilizaba antes.

Ejemplo A

Calcule la desigualdad con valor absoluto $|g+5|<3$ .

Solución: Plantee y resuelva dos desigualdades:

$g+5 &< 3\\\g+5{\color{red}-5} &< 3{\color{red}-5} && \text{Subtract 5 from both sides to isolate the variable}\\\g &< -2\\\& OR\\\g+5 &>-3\\\g+5{\color{red}-5} &> -3{\color{red}-5} && \text{Subtract 5 from both sides to isolate the variable}\\\g &> -8$

Solución: $-8<g<-2$

Ejemplo B

Calcule la desigualdad con valor absoluto $\big|j-\frac{1}{2}\big|>2$ .

Solución: Plantee y resuelva dos desigualdades:

$j-\frac{1}{2} &>2\\\\left({\color{red}\frac{2}{2}}\right)j-\frac{1}{2} & > \left({\color{red}\frac{2}{2}}\right)2 && \text{Multiply to get a common denominator (LCD} = 2)\\\\frac{2j}{2}-\frac{1}{2} & > \frac{2}{2} && \text{Simplify}\\\2j-1 &> 2 && \text{Simplify}\\\2j-1{\color{red}+1} &>2 {\color{red}+1} && \text{Add 1 to both sides to isolate the variable}\\\2j &> 3 && \text{Simplify}\\\\frac{2j}{{\color{red}2}}&>\frac{3}{{\color{red}2}} && \text{Divide by 2 to solve for the variable.}\\\j &>\frac{3}{2}\\\& OR\\\j-\frac{1}{2} &<-2\\\\left({\color{red}\frac{2}{2}}\right)j-\frac{1}{2} &<\left({\color{red}\frac{2}{2}}\right)(-2) && \text{Multiply to get a common denominator (LCD} = 2)\\\\frac{2j}{2}-\frac{1}{2} &< \frac{-2}{2} && \text{Simplify}\\\2j-1 &< -2 && \text{Simplify}\\\2j-1{\color{red}+1} &<-2{\color{red}+1} && \text{Add 1 to both sides to isolate the variable}\\\2j &< -1 && \text{Simplify}\\\\frac{2j}{{\color{red}2}}&<\frac{-1}{{\color{red}2}} && \text{Divide by 2 to solve for the variable.}\\\j &<\frac{-1}{2}$

Solución: $j > \frac{3}{2}$ o $j < \frac{-1}{2}$

Ejemplo C

Calcule la desigualdad con valor absoluto $|t+1|-3 \ge 2$ .

Solución: Primero, aísle la parte del valor absoluto de la desigualdad:

$|t+1|-3 & \ge 2\\\|t+1|-3{\color{red}+3} & \ge 2 {\color{red}+3} \\\|t+1| & \ge 5$

Ahora, plantee y resuelva las dos desigualdades:

$t+1 & \ge 5\\\t+1{\color{red}-1} & \ge 5 {\color{red}-1} \\\t \ge 4\\\& OR\\\t+1 & \le -5\\\t+1{\color{red}-1} & \le -5 {\color{red}-1} \\\t & \le -6$

Solución: $t \ge 4$ o $t\le -6$ .

Revisión del problema de concepto

$86 > |-32t+150|$

$86 & > -32t+150\\\86 {\color{red}-150} &> -32t+150{\color{red}-150} && \text{Subtract 150 from both sides to isolate the variable}\\\-64 & > -32t && \text{Simplify}\\\\frac{-64}{{\color{red}-32}} & < \frac{-32t}{{\color{red}-32}} && \text{Divide by -32 to solve for the variable. Remember when}\\\& && \quad \ \text{dividing by a negative number to reverse the sign of the inequality.}\\\t &> 2\\\& OR\\\-86 & < -32t+150\\\-86 {\color{red}-150} & < -32t+150{\color{red}-150} && \text{Subtract 150 from both sides to isolate the variable}\\\-236 & < -32t && \text{Simplify}\\\\frac{-236}{{\color{red}-32}} & > \frac{-32t}{{\color{red}-32}} && \text{Divide by -32 to solve for the variable. Remember when}\\\& && \quad \ \text{dividing by a negative number to reverse the sign of the inequality.}\\\t &< 7.375$

Por lo tanto, cuando $2<t<7.375$ , la velocidad es mayor de 86 pies/seg.

Vocabulario

Desigualdad lineal con valor absoluto: Las desigualdades lineales con valor absoluto pueden tener una de las siguientes cuatro formas: $|ax + b| > c, |ax + b| < c, |ax + b| \ge c$ , o $|ax + b| \le c$ . Las desigualdades lineales con valor absoluto tienen dos desigualdades relacionadas. Por ejemplo para: $|ax+b|>c$ , las dos desigualdades relacionadas son $ax + b > c$ y $ax + b < -c$ .

Desigualdad lineal: Las desigualdades lineales pueden tener una de las siguientes cuatro formas: $ax + b > c, ax + b < c, ax + b \ge c$ , o $ax + b \le c$ . En otras palabras, el lado izquierdo ya no es igual que el lado derecho, sino es menor que, mayor que, menor o igual que, o mayor o igual que.

Práctica guiada

Resuelva cada desigualdad:

1. $|x-1| \ge 9$

2. $|-2w+7|<23$

3. $|-4+2b|+3 \le 21$

Respuestas:

1. $|x-1| \ge 9$

$x-1 & \ge 9\\\x-1{\color{red}+1} & \ge 9{\color{red}+1} && (\text{Add 1 to both sides to isolate and solve for the variable})\\\x & \ge 10\\\& OR\\\x-1 & \le -9\\\x-1{\color{red}+1} & \le -9{\color{red}+1} && (\text{Add 1 to both sides to isolate and solve for the variable})\\\x & \le -8$

Solución: $x \ge 10$ o $x \le -8$ .

2. $|-2w+7| < 23$

$-2w+7 &< 23\\\-2w+7{\color{red}-7} &< 23{\color{red}-7} && (\text{Subtract 7 from both sides to get variables on same side})\\\-2w &< 16 && (\text{Simplify})\\\\frac{-2w}{{\color{red}-2}} &> \frac{16}{{\color{red}-2}} &&(\text{Divide by -2 to solve for the variable, reverse sign of inequality})\\\w &> -8\\\& OR \\\-2w+7 &> -23\\\-2w+7{\color{red}-7} &> -23{\color{red}-7} && ( \text{Subtract 7 from both sides to get variables on same side})\\\-2w &> -30 && (\text{Simplify})\\\\frac{-2w}{{\color{red}-2}} &< \frac{-30}{{\color{red}-2}} &&(\text{Divide by -2 to solve for the variable, reverse sign of inequality})\\\w &<15$

Solución: $-8<w<15$

3. Primero, aísle la parte del valor absoluto de la desigualdad:

$|-4+2b|+3 & \le 21\\\|-4+2b|+3{\color{red}-3} & \le 21 {\color{red}-3} \\\|-4+2b| & \le 18$

Ahora, plantee y resuelva las dos desigualdades:

$-4+2b & \le 18\\\-4+2b{\color{red}+4} & \le 18 {\color{red}+4} \\\2b & \le 22\\\b & \le 11\\\& OR\\\-4+2b & \ge -18\\\-4+2b{\color{red}+4} & \ge -18 {\color{red}+4} \\\2b & \ge -14\\\b & \ge -7$

Solución: $-7\le b\le 11$

Práctica

Resuelva cada una de las siguientes desigualdades lineales con valor absoluto:

$|p-16|>10$
$|r+2|<5$
$|3-2k|\ge 1$
$|8-y|>5$
$8 \ge |5d-2|$
$|s+2|-5>8$
$|10+8w|-2<16$
$|2q+1|-5 \le 7$
$\big |\frac{1}{3}(g-2) \big |<4$
$|-2(e+4)|>17$
$|-5x-3(2x-1)|>3$
$|2(a-1.2)|\ge 5.6$
$|-2(r+3.1)| \le 1.4$
$\big|\frac{3}{4}(m-3)\big| \le 8$
$\big|-2\left(e-\frac{3}{4}\right)\big| \ge 3$

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