Soluciones gráficas a desigualdades con valor absoluto

Aquí aprenderá cómo representar las soluciones de una desigualdad con valor absoluto en una recta numérica.

Resuelva la siguiente desigualdad y grafique la solución en una recta numérica.

$|x+2|\le 3$

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Khan Academy Absolute Value Inequalities on a Number Line (Desigualdades con valor absoluto en una recta numérica) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Recuerde que puede graficar desigualdades lineales en una recta numérica. Para $x > 5$ , el gráfico puede ser:

Tenga en cuenta que solo hay un conjunto solución y, por lo tanto, una sección de la recta numérica se muestra en rojo.

¿Qué piensa que sucederá con desigualdades lineales con valor absoluto? En las desigualdades lineales con valor absoluto hay dos desigualdades a resolver. Por lo tanto, puede haber dos secciones en la recta numérica que muestren soluciones.

Para $|t|>5$ , usted realmente resolvería $t > 5$ y $t <-5$ . Si tuviera que graficar esta solución en una recta numérica, se vería de la siguiente forma:

La solución es $t>5$ O $t<-5$ .

Para $|t|<5$ , usted realmente resolvería $t < 5$ y $t >-5$ . Si tuviera que graficar esta solución en una recta numérica, se vería de la siguiente forma:

La solución es $-5<t<5$ . Esto es lo mismo que $t<5$ Y $t>-5$ .

Graficar el conjunto solución de una desigualdad lineal con valor absoluto le brinda la misma representación visual que la que tuvo al graficar el conjunto solución de desigualdades lineales. Cuando se grafican desigualdades con valor absoluto en una recta numérica real, se aplican las mismas reglas. Una vez que se encuentra la solución, el círculo abierto se utiliza para desigualdades lineales con valor absoluto que contienen los símbolos > y <. El círculo cerrado se utiliza en desigualdades con valor absoluto que contienen los símbolos $\le$ y $\ge$ .

Ejemplo A

Represente el conjunto solución de la siguiente desigualdad en una recta numérica: $|2x|\ge 6$ .

Solución: Primero resuelva la desigualdad. Luego, represente su solución en una recta numérica.

$|2x| &\ge 6\\\2x & \ge 6\\\\frac{2x}{{\color{red}2}} & \ge \frac{6}{{\color{red}2}} && (\text{Divide by 2 to isolate and solve for the variable})\\\x & \ge 3 && (\text{Simplify})\\\& OR\\\2x & \le -6\\\\frac{2x}{{\color{red}2}} & \le \frac{-6}{{\color{red}2}} && (\text{Divide by 2 to isolate and solve for the variable})\\\x & \le -3 && (\text{Simplify})$

Los conjuntos solución son $x \ge 3$ O $x \le -3$ .

Ejemplo B

Resuelva la siguiente desigualdad y grafique la solución en una recta numérica: $|x+1|>3$

Solución: Primero resuelva la desigualdad. Luego, represente su solución en una recta numérica.

$|x+1| &> 3 && (\text{Divide both sides by 2 to solve for the variable})\\\x+1 &>3\\\x+1{\color{red}-1} &> 3{\color{red}-1} && (\text{Subtract 1 from both sides of the inequality sign})\\\x & > 2\\\& OR\\\x+1 &< -3\\\x+1{\color{red}-1} &< -3{\color{red}-1} && (\text{Subtract 1 from both sides of the inequality sign})\\\x & < -4$

Los conjuntos solución son $x>2$ , O $x<-4$ .

Ejemplo C

Resuelva la siguiente desigualdad y grafique la solución en una recta numérica: $\bigg |x-\frac{5}{2} \bigg | < 1$

Solución: Primero resuelva la desigualdad. Luego, represente su solución en una recta numérica.

$\bigg |x-\frac{5}{2} \bigg | &< 1\\\x-\frac{5}{2} &< 1\\\\left({\color{red}\frac{2}{2}}\right)x-\frac{5}{2} &< \left(\frac{{\color{red}2}}{{\color{red}2}}\right)1\\\\frac{2x}{2}-\frac{5}{2}&<\frac{2}{2}\\\2x-5&<2 && (\text{Simplify})\\\2x-5{\color{red}+5} &< 2{\color{red}+5} && ( \text{Add 5 to isolate the variable})\\\2x &< 7&& (\text{Simplify})\\\\frac{2x}{{\color{red}2}} &< \frac{7}{{\color{red}2}}\\\x &< \frac{7}{2}\\\& OR\\\x-\frac{5}{2} &> -1\\\\left({\color{red}\frac{2}{2}}\right)x-\frac{5}{2} &> \left(\frac{{\color{red}2}}{{\color{red}2}}\right)(-1) && (\text{Multiply to get common denominator (LCD} = 2))\\\\frac{2x}{2}-\frac{5}{2}&<\frac{-2}{2}&& (\text{Simplify})\\\2x-5&>-2 && (\text{Simplify})\\\2x-5{\color{red}+5} &> -2{\color{red}+5} && (\text{Add 5 to isolate the variable})\\\2x &> 3&& (\text{Simplify})\\\\frac{2x}{{\color{red}2}} &> \frac{3}{{\color{red}2}} && (\text{Divide both sides by 2 to solve for the variable})\\\x &> \frac{3}{2}$

La solución es $\frac{3}{2}<x<\frac{7}{2}$ .

Revisión del problema de concepto

Resuelva la siguiente desigualdad y grafique la solución en una recta numérica.

$|x+2|\le 3$

Primero resuelva la desigualdad:

$x+2 &\le 3\\\x+2{\color{red}-2} &\le 3{\color{red}-2} && \text{Subtract 2 from both sides to isolate the variable}\\\x &\le 1 && \text{Simplify}\\\& OR\\\x+2 &\ge -3\\\x+2{\color{red}-2} &\ge -3{\color{red}-2} && \text{Subtract 2 from both sides to isolate the variable}\\\x &\ge -5 && \text{Simplify}$

La solución es $-5 \le x \le 1$ .

Su representación en una recta numérica es:

Vocabulario

Desigualdad lineal con valor absoluto: Las desigualdades lineales con valor absoluto pueden tener una de las siguientes cuatro formas: $|ax + b| > c, |ax + b| < c, |ax + b| \ge c$ , o $|ax + b| \le c$ . Las desigualdades lineales con valor absoluto tienen dos desigualdades relacionadas. Por ejemplo para: $|ax+b|>c$ , las dos desigualdades relacionadas son $ax + b > c$ y $ax + b < -c$ .

Recta numérica: Una recta numérica es una línea que une un conjunto de puntos y un conjunto de números uno a uno.

Práctica guiada

1. Represente el conjunto solución de la desigualdad $|2x+3|>5$ en una recta numérica.

2. Represente el conjunto solución de la desigualdad $|32x-16| \ge 32$ en una recta numérica.

3. Represente el conjunto solución de la desigualdad $|x-21.5|>12.5$ en una recta numérica.

Respuestas:

1. $|2x+3| >5$

$2x+3&>5\\\2x+3{\color{red}-3}&>5{\color{red}-3} && (\text{Subtract 3 from both sides of the inequality sign})\\\2x &> 2 && (\text{Simplify})\\\\frac{2x}{{\color{red}2}}&>\frac{2}{{\color{red}2}} && (\text{Divide by 2 to solve for the variable})\\\x &>1\\\& OR\\\2x+3&<-5\\\2x+3{\color{red}-3}&<-5{\color{red}-3} && (\text{Subtract 3 from both sides of the inequality sign})\\\2x &< -8 && (\text{Simplify})\\\\frac{2x}{{\color{red}2}}&>\frac{-8}{{\color{red}2}} && ( \text{Divide by 2 to solve for the variable})\\\x &<-4$

Los conjuntos solución son $x>1$ o $x<-4$ .

2. $|32x-16| \ge 32$

$32x-16 &\ge 32\\\32x-16{\color{red}+16}&\ge 32{\color{red}+16} && (\text{Add 16 to both sides of the inequality sign})\\\32x &\ge 48&& (\text{Simplify})\\\\frac{32x}{{\color{red}32}} &\ge \frac{48}{{\color{red}32}}&& (\text{Divide by 32 to solve for the variable})\\\x &\ge \frac{3}{2}\\\& OR \\\32x-16 &\le -32\\\32x-16{\color{red}+16}&\le -32{\color{red}+16} && (\text{Add 16 to both sides of the inequality sign})\\\32x &\le -16&& (\text{Simplify})\\\\frac{32x}{{\color{red}32}} &\le \frac{-16}{{\color{red}32}}&& (\text{Divide by 32 to solve for the variable})\\\x &\le -\frac{1}{2}$

Los conjuntos solución son $x \ge \frac{3}{2}$ o $x \le -\frac{1}{2}$ .

3. $|x-21.5|>12.5$

$x-21.5 &> 12.5\\\x-21.5{\color{red}+21.5}&>12.5{\color{red}+21.5} && (\text{Add 21.5 to both sides to isolate the variable})\\\x &>34 &&(\text{Simplify})\\\& OR\\\x-21.5 &< -12.5\\\x-21.5{\color{red}+21.5}&<-12.5{\color{red}+21.5} && (\text{Add 21.5 to both sides to isolate the variable})\\\x &<9 &&(\text{Simplify})$

Los conjuntos solución son $x<9$ o $x>34$ .

Práctica

Represente los conjuntos solución para cada desigualdad con valor absoluto en una recta numérica.

$|3-2x|<3$
$2\big|\frac{2x}{3}+1\big|\ge 4$
$\big|\frac{2g-9}{4}\big|<1$
$\big|\frac{4}{3}x-5\big|\ge 7$
$|2x+5|+4 \ge 7$
$|p-16|>10$
$|r+2|<5$
$|3-2k|\ge 1$
$|8-y|>5$
$8 \ge |5d-2|$
$|s+2|-5>8$
$|10+8w|-2<16$
$|2q+1|-5 \le 7$
$\big |\frac{1}{3}(g-2) \big |<4$
$|-2(e+4)|>17$

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