El plano cartesiano

Aquí aprenderá sobre el plano cartesiano y repasará cómo representar puntos en el plano cartesiano.

Kaitlyn entró a la clase de Matemáticas y vio la siguiente imagen en la pizarra. Su profesor pidió a todos los presentes en la clase que duplicaran la imagen en una hoja en blanco.

Cuando el profesor consideró que los estudiantes habían terminado el dibujo, les pidió que compartieran el resultado con la clase. La mayoría de los estudiantes tuvieron dificultad para reproducir la imagen. Kaitlyn explicó a la clase que no podía hacer la imagen del mismo tamaño que la original. También dijo que tuvo problemas para colocar las hojas en los mismos lugares del tallo. El profesor dijo que podía ofrecer una solución para estos problemas. ¿Cuál fue la solución?

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Khan Academy The Coordinate Plane (El plano de coordenadas) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

El plano cartesiano es un sistema de cuatro áreas o cuadrantes producidos por la intersección perpendicular de dos rectas numéricas. Las dos rectas numéricas se intersecan en ángulos rectos. El punto de intersección se conoce como el origen . Una recta numérica es una línea horizontal llamada eje $x$ . La otra recta numérica es una línea vertical llamada eje $y$ . Las dos rectas numéricas se conocen como los ejes del plano cartesiano. El plano cartesiano, también conocido como el plano de coordenadas , tiene cuatro cuadrantes que están nombrados en el sentido de las agujas del reloj.

El valor del origen en el eje $x$ es cero. Si considera al eje $x$ como una recta numérica, los números a la derecha del cero son valores positivos, y los números a la izquierda del cero son valores negativos. Esto mismo se puede aplicar al eje $y$ . El valor del origen en el eje $y$ es cero. Los números por encima de cero son valores positivos y los que están debajo del cero son valores negativos.

Todo punto ubicado en un plano cartesiano tiene dos valores asociados con él. El primer valor representa el valor $x$ y el segundo valor representa el valor $y$ . Estos dos valores se llaman las coordenadas del punto y están escritas como el par ordenado $(x, y)$ .

Para ubicar un punto en el plano cartesiano:

Comience en cero (el origen) y ubique la coordenada $x-$ en el eje $x$ .
Si la coordenada $x-$ es positiva, desplácese hacia la derecha del origen la cantidad de unidades que indica el número. Si la coordenada $x-$ es negativa, desplácese a la izquierda del origen la cantidad de unidades que indica el número.
Una vez que la coordenada $x-$ (también llamada abscisa ) ha sido colocada, desplácese verticalmente la cantidad de unidades que indica la coordenada $y-$ (también llamada ordenada ). Si la coordenada $y-$ es positiva, desplácese verticalmente hacia arriba desde la coordenada $x-$ , la cantidad de unidades que indica la coordenada $y-$ . Si la coordenada $y-$ es negativa, desplácese verticalmente hacia abajo desde la coordenada $x-$ , la cantidad de unidades que indica la coordenada $y-$ .
Ahora se puede colocar el punto.

Examine los puntos $A, B, C$ y $D$ que se han colocado en el siguiente gráfico.

$A (-4, 2)$ – Desde el origen, desplácese cuatro unidades a la izquierda (por la línea roja sobre el eje $x$ ). Ahora, desplácese verticalmente dos unidades hacia arriba. Grafique el punto $A$ .
$B (-2, -1)$ – Desde el origen, desplácese dos unidades a la izquierda (por la línea roja sobre el eje $x$ ). Ahora, desplácese verticalmente una unidad hacia abajo. Grafique el punto $B$ .
$C (3, -4)$ Desde el origen, desplácese tres unidades a la derecha (por la línea roja sobre el eje $x$ ). Ahora, desplácese verticalmente cuatro unidades hacia abajo. Grafique el punto $C$ .
$D (6, 3)$ Desde el origen, desplácese seis unidades a la derecha (por la línea roja sobre el eje $x$ ). Ahora, desplácese verticalmente tres unidades hacia arriba. Grafique el punto $D$ .

Ejemplo A

Para cada cuadrante, diga si los valores de $x$ e $y$ son positivos o negativos.

Solución: El siguiente gráfico muestra dónde los valores $x$ e $y$ son positivos o negativos.

Ejemplo B

Grafique los siguientes puntos en un plano cartesiano:

$A(5,3) \quad B(-3,-2) \quad C(4,-5) \quad D(-4,1)$

Solución:

Ejemplo C

Determine las coordenadas de cada uno de los puntos ubicados en el siguiente gráfico.

Solución:

Revisión del problema de concepto

Ahora, volvamos al comienzo de la lección para hallar la solución que el profesor tenía para los estudiantes.

Si el profesor muestra la imagen sobre un plano cartesiano a los estudiantes, sería mucho más fácil copiarla.

Vocabulario

Abscisa: La abscisa es la coordenada $x-$ del par ordenado que representa un punto graficado en un plano cartesiano. Para el punto (3, 7), 3 es la abscisa.

Plano cartesiano: Un plano cartesiano es un sistema de cuatro áreas o cuadrantes producidos por la intersección perpendicular de dos rectas numéricas. Un plano cartesiano es la cuadrícula donde se ubican los puntos.

Coordenadas: Las coordenadas son el par ordenado $(x, y)$ que representan a un punto en el plano cartesiano.

Plano de coordenadas: El término plano de coordenadas es otro nombre del plano cartesiano.

Ordenada: La ordenada es la coordenada $y$ del par ordenado que representa un punto graficado en un plano cartesiano. Para el punto (3, 7), 7 es la ordenada.

Origen: El origen es el punto de intersección de los ejes $x$ e $y$ en el plano cartesiano. Las coordenadas del origen son (0, 0).

$x$ , eje: El eje $x$ , es la recta numérica horizontal del plano cartesiano.

$y$ , eje: El eje $y$ , es la recta numérica vertical del plano cartesiano.

Práctica guiada

1. Trace un plano cartesiano que muestre solo valores positivos. Numere los ejes $x$ e $y$ hasta doce. Ubique las siguientes coordenadas y únalos en orden. Utilice una regla para unir los puntos. Cuando vea la palabra “ALTO”, comience la línea siguiente. Ubique los puntos en el orden en que aparecen en cada línea.

LÍNEA 1 (6, 0) (8, 0) (9, 1) (10, 3) (10, 6) (9, 8) (7, 9) (5, 9) ALTO

LÍNEA 2 (6, 0) (4, 0) (3, 1) (2, 3) (2, 6) (3, 8) (5, 9) ALTO

LÍNEA 3 (7, 9) (6, 12) (4, 11) (5, 9) ALTO

LÍNEA 4 (4, 8) (3, 6) (5, 6) (4, 8) ALTO

LÍNEA 5 (8, 8) (7, 6) (9, 6) (8, 8) ALTO

LÍNEA 6 (5, 5) (7, 5) (6, 3) (5, 5) ALTO

LÍNEA 7 (3, 2) (4, 1) (5, 2) (6, 1) (7, 2) (8, 1) (9, 2) ALTO

LÍNEA 8 (4, 1) (6, 1) (8, 1) ALTO

2. ¿En qué cuadrante se ubicarían los siguientes puntos?

i) (3, –8)

ii) (–5, 4)

iii) (7, 2)

iv) (–6, –9)

v) (–3, 3)

vi) (9, –7)

3. Establezca las coordenadas de los puntos ubicados en el siguiente plano cartesiano.

Respuestas:

1. La siguiente imagen es el resultado de marcar las coordenadas y unirlas en el orden en que fueron colocadas. Puede hacer la calabaza del color que desee.

2. i) (3, –8). La coordenada $x$ es positiva y la coordenada $y-$ es negativa. Este punto se ubicará en el Cuadrante IV.

ii) (–5, 4). La coordenada $x$ es negativa y la coordenada $y-$ es positiva. Este punto se ubicará en el Cuadrante II.

iii) (7, 2). La coordenada $x$ es positiva y la coordenada $y-$ es positiva. Este punto se ubicará en el Cuadrante I.

iv) (–6, –9). La coordenada $x$ es negativa y la coordenada $y-$ es negativa. Este punto se ubicará en el Cuadrante III.

v) (–3, 3). La coordenada $x$ es negativa y la coordenada $y-$ es positiva. Este punto se ubicará en el Cuadrante II.

vi) (9, –7). La coordenada $x$ es positiva y la coordenada $y-$ es negativa. Este punto se ubicará en el Cuadrante IV.

3. $A(4,4) \quad B(-10,8) \quad C(8,-1) \quad D(-6,-6) \quad E(0,5) \quad F(-3,0) \quad G(2,-5) \quad H(0,0)$

Práctica

Responda las siguientes preguntas con respecto al plano cartesiano:

¿Qué nombre recibe la recta numérica horizontal del plano cartesiano?
¿Qué nombre reciben las cuatro áreas del plano cartesiano?
¿Cuáles son las coordenadas del origen?
¿Qué nombre recibe la recta numérica vertical del plano cartesiano?
¿Qué otro nombre se suele usar para referirse a la coordenada $x-$ de un punto en el plano cartesiano?

Ubique cada uno de los siguientes puntos en un plano cartesiano. Para cada punto, indique el cuadrante o eje en el que se encuentra.

$(2, 0)$
$(-3, 1)$
$(0, 4)$
$(1, -2)$
$(5, 5)$

Para los ejercicios 11 a 13, use el siguiente gráfico.

Las coordenadas del punto A son ______.
Las coordenadas del punto B son ______.
Las coordenadas del punto C son ______.

Para cada una de las siguientes representaciones, seleccione tres puntos en el gráfico e indique sus coordenadas.