Relaciones y funciones
Aquí aprenderá sobre relaciones y qué convierte a una relación en una función.
La siguiente tabla de valores representa datos reunidos por un estudiante en la clase de matemáticas.
¿Representan estos pares ordenados una función?
Mire este video
Para obtener más información, haga clic en la imagen anterior. (requiere conexión a internet)
Guía
Considere la relación entre dos variables. Puede ver esta relación como una máquina de entrada/salida.
Si solo hay una salida para cada entrada, tiene una función. Si no, tiene una relación. Las relaciones pueden tener más de una salida para cada entrada. Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados. Una función es un conjunto de pares ordenados donde hay un solo valor de
para cada valor de
.
Mire las dos tablas a continuación. La
Tabla A
muestra una relación que es una función porque cada valor de
tiene un solo valor de
.
La Tabla B
muestra una relación que no es una función porque hay dos valores diferentes de
para el valor 0 de
.
|
|
|
|---|---|
| 0 | 4 |
| 1 | 7 |
| 2 | 7 |
| 3 | 6 |
|
|
|
|---|---|
| 0 | 4 |
| 0 | 2 |
| 2 | 6 |
| 2 | 7 |
Al observar la representación de una relación, puede determinar si es una función o no haciendo la prueba de la línea vertical. Si se puede trazar una línea vertical en cualquier parte del gráfico de forma que lo corte en más de un punto, la representación no es una función.
Ejemplo A
Determine si la siguiente relación es una función.
|
|
|
|---|---|
|
|
|
|
| 4 | 3.6 |
| 7.8 | 7.2 |
Solución:
La relación es una función porque hay un solo valor de
para cada valor de
.
Ejemplo B
¿Cuál de las siguientes representaciones representa una función?
Solución:
Para responder estas preguntas, debe aplicar la prueba de la línea vertical. A las representaciones de las funciones, una línea vertical las corta solo una vez. Observemos la primera representación. Trace una línea vertical a través de la representación.
Dado que la línea vertical toca la representación más de una vez (indicado por los dos puntos rojos), ésta no representa una función.
Dado que la línea vertical toca la representación una sola vez (indicado por el punto rojo), ésta sí representa una función.
Dado que la línea vertical toca la representación una sola vez (indicado por el punto rojo), ésta sí representa una función.
Dado que la línea vertical toca la representación más de una vez (indicado por los tres puntos rojos), ésta no representa una función.
Ejemplo C
¿Cuáles de las siguientes representaciones son funciones?
Solución:
a) Ésta es una función porque cada entrada tiene una sola salida.
b) Ésta no es una función porque una entrada (1) tiene dos salidas (2 y 7).
c) Ésta es una función porque cada entrada tiene una sola salida.
Revisión del problema de concepto
Si observa esta tabla, verá que hay dos lugares donde hay más de una salida para una sola entrada.
Se concluye que estos pares ordenados no representan una función. Es solo una relación.
Vocabulario
- Función
-
Una
función
es un ejemplo de una relación donde solo hay una salida para cada entrada. En otras palabras, para cada valor de
, hay un solo valor de
.
- Relación
-
Una
relación
es cualquier conjunto de pares ordenados.
. Una relación puede tener más de una salida para una entrada.
- Prueba de la línea vertical
- La prueba de la línea vertical es una prueba para funciones Si traza con el lápiz una línea vertical recta a través de cualquier parte del gráfico y el lápiz corta el gráfico más de una vez, el gráfico no es una función.
Práctica guiada
1. ¿Es una función la siguiente representación? Explique.
2. ¿Cuál de las siguientes relaciones representa una función? Explique.
3. ¿Cuál de las siguientes relaciones representa una función? Explique.
-
a)
-
b)
-
c)
Respuestas:
1.
-
Ésta es una función porque hay una salida para cada entrada. En otras palabras, si piensa en estos puntos como puntos de coordenadas
, hay un solo valor de
para cada valor de
.
2. a)
- Dado que la línea vertical toca el gráfico más de una vez (indicado por los dos círculos verdes), ésta no representa una función.
-
b)
- Dado que la línea vertical toca la representación una sola vez (indicado por el punto verde), ésta sí representa una función.
3. a)
- Ésta es una función porque solo hay una salida para una entrada dada.
-
b)
- Dado que la línea vertical toca el gráfico más de una vez (indicado por los tres círculos azules), ésta no representa una función.
-
c)
- Dado que la línea vertical toca la representación una sola vez (indicado por el punto azul), ésta sí representa una función.
Práctica
Determine si cada relación es una función. Justifique.
- .
- .
- .
- .
- .
¿Cuál de las siguientes relaciones representa una función? Explique.
- .
- .
- .
- .
- .
¿Cuál de las siguientes relaciones representa una función? Explique.
