Notación funcional

Aquí aprenderá a usar la notación funcional cuando trabaje con funciones.

Suponga que el valor $V$ de una cámara digital $t$ años después de que se compró está representado por la función $V(t) = 875 - 50t$ .

¿Puede determinar el valor de $V(4)$ y explicar qué significa la solución en el contexto de este problema?
¿Puede determinar el valor de $t$ para $V(t) = 525$ y explicar qué representa esta situación?
¿Cuál fue el costo origina de la cámara digital?

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Khan Academy Functions as Graphs (Funciones como gráficos) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Una máquina de funciones muestra cómo una función responde a una entrada. Si triplico la entrada y resto uno, la máquina convertirá $x$ en $3x - 1$ . Así, por ejemplo, para la función $f$ , y una entrada de 3 en la máquina, $3(3) - 1 = 8$ es la salida.

Al nombrar una función se suele usar el símbolo $f(x)$ . El símbolo $f(x)$ se pronuncia “ $f$ de $x$ .” Esto significa que la ecuación es una función que está escrita en términos de la variable $x$ . Un ejemplo de una función así es $f(x) = 3x+4$ . Las funciones también se pueden escribir con una letra distinta de $f$ y una variable distinta de $x$ . Por ejemplo, $v(t) = 2t^2 - 5$ y $d(h) = 4h-3$ . Además de representar una función como una ecuación, también puede representar una función:

como un gráfico
como pares ordenados
como una tabla de valores
como un diagrama de flechas o correspondencias

Cuando una función está representada como una ecuación, se puede determinar un par ordenado calculando diversos valores de la variable asignada. Suponga que $f(x)=3x-4$ . Para calcular $f(4),$ reemplace:

$f(4) & = 3(4) - 4\\\f(4) & = 12-4\\\f(4) & = 8$

Gráficamente, si $f(4) = 8$ , quiere decir que el punto (4, 8) es un punto de la línea graficada.

Ejemplo A

Si $f(x) = x^2 + 2x +5$ halle

a) $f(2)$

b) $f(-7)$

c) $f(1.4)$

Solución:

Para determinar el valor de la función para los valores asignados de la variable, reemplace los valores en la función.

$& f(x) = x^2 + 2x+5 && \quad f(x) = x^2+2x+5 && \quad f(x)=x^2+2x+5\\\& {\color{red}\downarrow} \qquad \ \ {\color{red}\downarrow} \qquad {\color{red}\searrow} && \quad \ {\color{red}\downarrow} \qquad \ \ {\color{red}\downarrow} \qquad \ {\color{red}\searrow} && \quad \ \ {\color{red}\downarrow} \qquad \ {\color{red}\downarrow} \qquad \ {\color{red}\searrow}\\\& f(2) =(2)^2 +2(2) + 5 && \ f(-7) = (-7)^2+2(-7)+5 && \ f(1.4) = (1.4)^2+2(1.4) + 5\\\& f(2) = 4 + 4 + 5 && \ f(-7) = 49 - 14 +5 && \ f(1.4)=1.96 +2.8+5\\\& \boxed{f(2)=13} && \boxed{f(-7)=40} && \boxed{f(1.4) = 9.76}$

Ejemplo B

Las funciones también se pueden representar como reglas de correspondencia. Si $g:x\rightarrow 5-2x$ calcule lo siguiente de la forma más simple:

a) $g(y)$

b) $g(y-3)$

c) $g(2y)$

Solución:

a) $g(y)=5-2y$

b) $g(y-3)=5-2(y-3)=5-2y+6=11-2y$

c) $g(2y)=5-2(2y)=5-4y$

Ejemplo C

Si $P(a)=\frac{2a-3}{a+2}$ .

a) Calcule

i) $P(0)$

ii) $P(1)$

iii) $P \left ( -\frac{1}{2} \right )$

b) Halle el valor de “ $a$ ” donde $P(a)$ no existe.

c) Halle $P(a-2)$ de la forma más simple

d) Halle “ $a$ ” si $P(a)=-5$

Solución:

$& \ P(a) = \frac{2a-3}{a+2} && \ P(a) =\frac{2a-3}{a+2} && \qquad \ P(a)=\frac{2a-3}{a+2}\\\& \ P(0) =\frac{2(0)-3}{(0)+2} && \ P(1) = \frac{2(1)-3}{(1)+2} && \ P\left ( -\frac{1}{2} \right ) = \frac{2\left( -\frac{1}{2} \right )-3}{\left ( -\frac{1}{2} \right ) + 2}\\\& \boxed{P(0) = \frac{-3}{2}} && \ P(1) = \frac{2-3}{1+2} && \ P \left ( -\frac{1}{2} \right ) = \frac{^1\cancel{2}\left ( -\frac{1}{\cancel{2}} \right )-3}{-\frac{1}{2} + \frac{4}{2}}\\\& && \boxed{P(1)=\frac{-1}{3}} && \ \ P \left ( -\frac{1}{2} \right ) = \frac{-1-3}{\frac{3}{2}}\\\& && && \ P\left ( -\frac{1}{2} \right ) = -4 \div \frac{3}{2}\\\& && && \ P \left ( -\frac{1}{2} \right ) = -4\left ( \frac{2}{3} \right )\\\& && && \boxed{P\left ( -\frac{1}{2} \right )} = \frac{-8}{3}$

b) La función no existirá si el denominador es igual a cero porque la división por cero es indefinida.

$& \quad \ \ a+ 2 = 0\\\& a+2-2=0-2\\\& \qquad \quad \ \boxed{a=-2}$

Por lo tanto, si $a=-2$ , entonces $P(a)=\frac{2a-3}{a+2}$ no existe.

$& \qquad P(a) = \frac{2a-3}{a+2}\\\& \ P(a-2) = \frac{2(a-2)-3}{(a-2)+2} && \text{Substitue } a-2 \text{ for } a\\\& \ P(a-2) = \frac{2a-4-3}{a-2+2} && \text{Remove parentheses}\\\& \ P(a-2) = \frac{2a-7}{a} && \text{Combine like terms}\\\& \ P(a-2) = \frac{2\cancel{a}}{\cancel{a}} - \frac{7}{a} && \text{Express the fraction as two separate fractions and reduce.}\\\& \boxed{P(a-2) = 2-\frac{7}{a}}$

$& \qquad \qquad \quad P(a) = \frac{2a-3}{a+2}\\\& \qquad \qquad \quad \ -5 = \frac{2a-3}{a+2} && \text{Let } P(a) = -5\\\& \qquad \ -5(a+2) = \left ( \frac{2a-3}{a+2} \right )(a+2) && \text{Multiply both sides by } (a+2)\\\& \qquad \ -5a -10 = \left ( \frac{2a-3}{\cancel{a+2}} \right ) (\cancel{a+2}) && \text{Simplify}\\\& \qquad \ -5a -10 = 2a-3 && \text{Solve the linear equation}\\\& -5a -10 -2a = 2a-2a-3 && \text{Move } 2a \text{ to the left by subtracting}\\\& \qquad \ -7a-10 = -3 && \text{Simplify}\\\& -7a-10+10 = -3+10 && \text{Move 10 to the right side by addition}\\\& \qquad \qquad \ -7a = 7 && \text{Simplify}\\\& \qquad \qquad \ \ \frac{-7a}{-7} = \frac{7}{-7} && \text{Divide both sides by -7 to solve for } a.\\\& \qquad \qquad \qquad \boxed{a=-1}$

Revisión del problema de concepto

El valor $V$ de una cámara digital $t$ años después de que se compró está representado por la función $V(t) = 875 - 50t$

Determine el valor de $V(4)$ y explique qué significa la solución para este problema.
Determine el valor de $t$ cuando $V(t) = 525$ y explique qué representa esta situación.
¿Cuál fue el costo origina de la cámara digital?

Solución:

La cámara está valuada en $675, 4 años después de que se compró.

$& \ V(t) = 875 - 50t\\\& \ V(4) = 875 - 50(4)\\\& \ V(4) = 875-200\\\& \boxed{V(4) = \$ 675}$

La cámara tiene un valor de $525, 7 años después de que se compró.

$& \qquad \ V(t) = 875 - 50t && \text{Let } V(t) = 525\\\& \qquad \ \ 525 = 875-50t && \text{Solve the equation}\\\& 525 -875 = 875 - 875 - 50t\\\& \quad \ -350 = - 50t\\\& \quad \ \ \frac{-350}{-50} = \frac{-50t}{-50}\\\& \qquad \quad \ \boxed{7 = t}$

El costo original de la cámara era $875.

$& \ V(t) = 875 - 50t && \text{Let } t = 0.\\\& \ V(0) = 875 - 50(0)\\\& \ V(0) = 875 -0\\\& \boxed{V(0) = \$875}$

Vocabulario

Función: Una función es un conjunto de pares ordenados $(x, y)$ que muestra una relación donde hay solo una salida por cada entrada. En otras palabras, para cada valor de $x$ , hay un solo valor de $y$ .

Práctica guiada

1. Si $f(x)=3x^2-4x+6$ halle:

i) $f(-3)$

ii) $f(a-2)$

2. Si $f(m)=\frac{m+3}{2m-5}$ halle “ $m$ ” si $f(m) = \frac{12}{13}$

3. El cable del freno de emergencia de un camión estacionado se rompe en una colina con pendiente pronunciada y el camión rueda por la colina. La distancia en pies, $d$ , que el camión rueda está representada por la función $d = f(t)=0.5t^2$ .

i) ¿Cuánto habrá rodado el camión después de 9 segundos?

ii) ¿En cuánto tiempo el camión impactará con un árbol que está en la parte inferior de la colina a 600 pies de distancia? Redondee la respuesta al segundo más cercano.

Respuestas:

1. $f(x) = 3x^2 - 4x + 6$

$& \quad f(x) = 3x^2-4x+6 && \text{Substitute }(-3) \text{ for } x \text{ in the function.}\\\& \ f({\color{red}-3}) = 3({\color{red} -3})^2 -4({\color{red}-3})+6 && \text{Perform the indicated operations.}\\\& \ f(-3) = 3({\color{red}9}) + 12 + 6 && \text{Simplify}\\\& \ f(-3) = 27 + 12 + 6\\\& \ f(-3) = {\color{red}45}\\\& \boxed{f(-3) = 45}$

ii)

$& \qquad f(x) = 3x^2 - 4x +6\\\& \ f({\color{red}a-2}) = 3({\color{red}a-2})^2 -4 ({\color{red}a-2}) + 6 && \text{Write } (a-2)^2 \text{ in expanded form.}\\\& \ f({\color{red}a-2}) = 3({\color{red}a-2})({\color{red}a-2}) - 4({\color{red}a-2})+6 && \text{Perform the indicated operations.}\\\& \ f({\color{red}a-2}) = ({\color{red}3a-6})({\color{red}a-2}) - 4({\color{red}a-2})+6\\\& \ f(a-2) = {\color{red}3a^2-6a-6a+12-4a+8}+6 && \text{Simplify}\\\& \ f(a-2) = {\color{red}3a^2-16a+26}\\\& \boxed{f(a-2) = 3a^2-16a+26}$

$& \qquad \qquad \ \ f(m) = \frac{m+3}{2m-5}\\\& \qquad \qquad \quad \ \ {\color{red}\frac{12}{13}} = \frac{m+3}{2m-5} && \text{Solve the equation for } m.\\\& {\color{red}(13)(2m-5)} \frac{12}{13} = {\color{red}(13)(2m-5)} \frac{m+3}{2m-5}\\\& {\color{red}\cancel{(13)} (2m-5)} \frac{12}{\cancel{13}} = {\color{red}(13)\cancel{(2m-5)}} \frac{m+3}{\cancel{2m-5}}\\\& \qquad {\color{red}(2m-5)} 12 = {\color{red}(13)} m+3\\\& \qquad \ \ 24m-60 = 13m+39\\\& \ \ 24m-60 {\color{red}+60} = 13m + 39 {\color{red}+60}\\\& \qquad \qquad \ \ 24m = 13m+99\\\& \quad \quad 24m {\color{red}-13m} = 13m {\color{red}-13m} + 99\\\& \qquad \qquad \ \ 11m = 99\\\& \qquad \qquad \ \frac{11m}{{\color{red}11}} = \frac{99}{{\color{red}11}}\\\& \qquad \qquad \ \frac{\cancel{11}m}{{\color{red}\cancel{11}}} = \frac{\overset{9}{\cancel{99}}}{{\color{red}\cancel{11}}}\\\& \qquad \qquad \quad \boxed{m=9}$

3. $d=f(t)=0.5^2$

$& \quad \ \ d =f(t)=0.5^2 && \text{Substitute 9 for } t.\\\& \ f({\color{red}9}) = 0.5 ({\color{red}9})^2 && \text{Perform the indicated operations.}\\\& \ f(9) = 0.5 ({\color{red}81})\\\& \boxed{f(9)=40.5 \ feet}$

Después de 9 segundos, el camión rodará 40.5 pies.

ii)

$& d= f(t) = 0.5t^2 && \text{Substitute 600 for } d.\\\& \qquad {\color{red}600} = 0.5t^2 && \text{Solve for } t.\\\& \quad \ \ \frac{600}{{\color{red}0.5}} = \frac{0.5t^2}{{\color{red}0.5}}\\\& \quad \ \ \frac{\overset{{\color{red}1200}}{\cancel{600}}}{{\color{red}\cancel{0.5}}} = \frac{\cancel{0.5}t^2}{{\color{red}\cancel{0.5}}}\\\& \quad \ 1200 = t^2\\\& \ \sqrt{{\color{red}1200}} = \sqrt{{\color{red}t^2}}\\\& \boxed{34.64 \ seconds \approx t}$

El camión impactará el árbol en aproximadamente 35 segundos.

Práctica

Si $g(x)=4x^2-3x+2$ , halle expresiones para lo siguiente:

$g(a)$
$g(a-1)$
$g(a+2)$
$g(2a)$
$g(-a)$

Si $f(y) = 5y-3$ , determine el valor de “ $y$ ” cuando:

$f(y) = 7$
$f(y) = -1$
$f(y) = -3$
$f(y) = 6$
$f(y) = -8$

El valor de una tarjeta coleccionable de Bobby Orr $n$ años después de su compra es $V(n)=520+28n$ .

Determine el valor de $V(6)$ y explique qué significa la solución.
Determine el valor de $n$ cuando $V(n)=744$ y explique qué representa esta situación.
Determine el precio original de la tarjeta.

Si $f(x)=\frac{3x}{x+2}$ .

¿Cuando $f(x)$ es indefinida?
¿Para qué valor de $x$ $f(x)=2.4$ ?

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