Gráficos de funciones lineales a partir de tablas

Aquí aprenderá a crear una representación gráfica de una función lineal mediante una tabla.

Bonita celebrará su dieciséis cumpleaños el próximo mes. Sus papás quisieran hacerle una fiesta sorpresa en la piscina local. El alquiler de la piscina para una fiesta privada cuesta $100 más $55.00 por cada hora de alquiler de la piscina. Represente una función lineal para representar el costo de la fiesta en la piscina e indique cinco precios entre los que podrán elegir los padres.

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Khan Academy Graphing Lines 1 (Representación de líneas 1) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Un modo de graficar una función lineal es crear una tabla de puntos que correspondan a la función y que por lo tanto estarán en la representación de la función. El resultado de una función lineal siempre será una línea recta como representación.

Para crear una tabla, reemplace los valores para $x$ en la función (puede elegir valores para $x$ ) y use la función para calcular el valor correspondiente de $y$ . Cada par de valores es un punto en la representación. Es más fácil crear una tabla si primero resuelve la ecuación para $y$ .

También puede usar una calculadora gráfica para crear una tabla de valores y una representación de la función. Esto se explorará en el Ejemplo B.

Ejemplo A

Complete la tabla de valores para la función lineal $3x+2y=-6$ .

Solución: Antes de completar la tabla de valores, resuelva la función dada en términos de “ $y$ ’. Este paso no es necesario, pero simplifica los cálculos.

$& \qquad \ 3x+2y=-6\\\&3x-3x+2y=-3x-6\\\&\qquad \qquad \ \ 2y=-3x-6\\\&\qquad \qquad \ \frac{2y}{2}=\frac{-3x}{2}-\frac{6}{2}\\\&\qquad \qquad \ \ \boxed{y=\frac{-3x}{2}-3}$

Ahora escoja algunos valores de $x$ y reemplácelos en la ecuación para hallar el valor correspondiente de $y$ . Aquí, elija $x=-4$ ,? $x=2$ ? , $x=0$ , y $x=6$ .

$& y=\frac{-3x}{2}-3 && y=\frac{12}{2}-3 && y=\frac{-3x}{2}-3 && y=0-3\\\& y=\frac{-3({\color{red}-4})}{2}-3 && y=6-3 && y=\frac{-3({\color{red}0})}{2}-3 && \boxed{y=-3}\\\& && \boxed{y=3}\\\& y=\frac{-3x}{2}-3 && y=\frac{-6}{2}-3 && y=\frac{-3x}{2}-3 && y=\frac{-18}{2}-3\\\& y=\frac{-3({\color{red}2})}{2}-3 && y=-3-3 && y=\frac{-3({\color{red}6})}{2}-3 && y=-9-3\\\& && \boxed{y=-6} && && \boxed{y=-12}$

Ésta es la tabla que muestra los pares $x$ e $y$ .

$y=-\frac{3}{2}x-3$
$X$	$Y$
${\color{red}-4}$	$3$
${\color{red}0}$	$-3$
${\color{red}2}$	$-6$
${\color{red}6}$	$-12$

Ejemplo B

Use tecnología para crear una tabla de valores para la función lineal $f(x)=-\frac{1}{2}x+4$ .

Solución:

Cuando la tabla esté lista, elija el número inicial y el patrón de los números en la tabla. En esta tabla, el valor inicial para “ $x$ ” era –2 y la diferencia entre cada número era +2.

Ejemplo C

Complete la tabla de valores para $x-2y=4$ , y use esos valores para representar la función.

Solución: Primero resuelva la ecuación para $y$ .

$x-2y&=4 \\\-2y&=-x+4\\\\frac{-2y}{-2}&=\frac{-x}{-2}+\frac{4}{-2}\\\ y&=\frac{1}{2}x-2$

Luego elija valores para $x$ para poder hacer la tabla. Recuerde que puede elegir cualquier valor para $x$ .

$& \ y=\frac{1}{2}x-2 && \ y=\frac{1}{2}x-2 && \ y=\frac{1}{2}x-2 && \ y=\frac{1}{2}x-2\\\& \ y=\frac{1}{2}({\color{red}-4})-2 && \ y=\frac{1}{2}({\color{red}0})-2 && \ y=\frac{1}{2}({\color{red}2})-2 && \ y=\frac{1}{2}({\color{red}6})-2\\\& \ y=-2-2 && \ y=0-2 && \ y=1-2 && \ y=3-2\\\& \boxed{y=-4} && \boxed{y=-2} && \boxed{y=-1} && \boxed{y=1}$

Luego prepare la tabla.

$y=\frac{1}{2}x-2$
$X$	$Y$
${\color{red}-4}$	$-4$
${\color{red}0}$	$-2$
${\color{red}2}$	$-1$
${\color{red}6}$	$1$

Finalmente, ubique los puntos de la tabla y únalos para graficar la función. Usted conecta los puntos porque hay más que solo los cuatro puntos de la tabla que corresponden con la función y aparecen en la representación gráfica.

Revisión del problema de concepto

El costo por el alquiler de la piscina es $100. Este monto es un cargo que debe pagarse por alquilar la piscina. Además, los padres de Bonita también deberán pagar $55.00 por cada hora de alquiler de la piscina. Por lo tanto, la función lineal para representar esta situación es $y=55x+100$ donde “ $y$ ” representa el costo en dólares y “ $x$ ” representa el tiempo, en horas, que se alquila la piscina.

$y=55x+100$ Para determinar cinco opciones para los padres, reemplace “ $x$ ” con los valores 1 a 5 y calcule el costo para cada uno de estos tiempos.

$& \ y=55x+100 && \ y=55x+100 && \ y=55x+100 && \ y=55x+100 && \ y=55x+100\\\& \ y=55(1)+100 && \ y=55(2)+100 && \ y=55(3)+100 && \ y=55(4)+100 && \ y=55(5)+100\\\& \boxed{y=\$155} && \boxed{y=\$210} && \boxed{y=\$265} && \boxed{y=\$320} && \boxed{y=\$375}$

Ahora se pueden representar estos resultados en la tabla de valores:

$& X(hours) \qquad 1 \qquad \quad \ \ 2 \qquad \quad \ 3 \qquad \quad \ 4 \qquad \quad \ \ 5\\\& Y(Cost) \qquad \$155 \qquad \$210 \qquad \$265 \qquad \$320 \qquad \$375$

Los valores de la tabla representan las coordenadas de los puntos ubicados en la representación gráfica de $y=55x+100$ .

$(1,155);(2,210);(3,265);(4,320);(5,375)$

Los padres de Bonita pueden usar la tabla de valores o la representación gráfica para tomar una decisión.

Vocabulario

Función lineal: La función lineal es una relación entre dos variables, usualmente $x$ e $y$ , en la cual cada valor de la variable independiente $(x)$ se corresponde con uno y solo un valor de la variable dependiente $(y)$ .

Práctica guiada

1. Complete la siguiente tabla de valores para la función lineal $3x-2y=-12$

$3x-2y=-12$
$X$	$Y$
${\color{red}-6}$
${\color{red}-4}$
${\color{red}0}$
${\color{red}6}$

2. Use tecnología para completar una tabla de valores para la función lineal $2x-y=-8$ . Use las coordenadas para graficar la función.

3. Una compañía telefónica local cobra un cargo mensual de $25.00 más $0.09 por minuto de llamadas dentro de los Estados Unidos. Sam habla 200 minutos en un mes. Calcule el costo de su factura telefónica.

Respuestas:

1. Resuelva la ecuación para “ $y$ ” de modo que $y=\frac{3}{2}x+6$ .

Reemplace los valores dados para “ $x$ ” en la función.

$& \ y=\frac{3}{2}x+6 && \ y=\frac{3}{2}x+6 && \ y=\frac{3}{2}x+6 && \ y=\frac{3}{2}x+6\\\& \ y=\frac{3}{2}({\color{red}-6})+6 && \ y=\frac{3}{2}({\color{red}-4})+6 && \ y=\frac{3}{2}({\color{red}0})+6 && \ y=\frac{3}{2}({\color{red}6})+6\\\& \ y=-9+6 && \ y=-6+6 && \ y=0+6 && \ y=9+6\\\& \boxed{y=-3} && \boxed{y=0} && \boxed{y=6} && \boxed{y=15}$

Complete la tabla.

$3x-2y=-12$
$X$	$Y$
${\color{red}-6}$	$-3$
${\color{red}-4}$	$0$
${\color{red}0}$	$6$
${\color{red}6}$	$15$

2. Para ingresar la función en la calculadora, debe ser de la forma $y= \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$ . Resuelva la función para “ $y$ ” de modo que $y=2x+8$ . Luego, use la calculadora.

La representación también se puede graficar mediante tecnología. La tabla se puede utilizar para configurar la ventana.

3. La función $y=0.09x+25$ representa el problema textual.

$y &=0.09(200)+25 && \text{Substitute the time of} \ 200 \ \text{minutes for the variable} \ x.\\\y&=\$43.00$

El costo de la factura telefónica de Sam es $43.00.

Práctica

En cada una de las siguientes funciones lineales, halle “ $y$ ’.

$2x-3y=18$
$4x-2y=10$
$3x-y=8$
$5x+3y=-12$
$3x-2y-2=0$

Para cada una de las siguientes funciones lineales, cree una tabla de valores que contenga cuatro coordenadas.

$y=-4x+5$
$5x+3y=15$
$4x-3y=6$
$2x-2y+2=0$
$2x-3y=9$

Para cada una de las funciones lineales, complete la tabla de valores y use los valores para graficar la función.

$y=-2x+1$

$& x \qquad -3 \qquad 0 \qquad 1 \qquad 5\\\& y$

$x=2y-3$

$& x \qquad -4 \qquad 0 \qquad 2 \qquad 6\\\& y$

$3x+2y=8$

$& x \qquad -6 \qquad -2 \qquad 0 \qquad 4\\\& y$

$4(y-1)=12x-7$

$& x \qquad -2 \qquad 0 \qquad 3 \qquad 7\\\& y$

$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=6$

$& x \qquad 0 \qquad 4 \qquad 6 \qquad 10\\\& y$

Usando tecnología, cree una tabla de valores para cada una de las siguientes funciones lineales. Usando tecnología, grafique cada una de las funciones lineales.

$y=-2x+3$
$y=-\frac{1}{2}x-3$
$y=\frac{4}{3}x-2$

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