Gráficos de funciones lineales a partir de intersecciones

Aquí aprenderá a graficar una función lineal hallando primero las intersecciones con $x$ e $y$ .

¿Cuáles son las intersecciones de $4x+2y=8$ ? ¿Cómo puede usar las intersecciones para graficar rápidamente la función?

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Khan Academy X and Y Intercepts (Intersecciones con X y con Y) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

Para graficar una función lineal, debe ubicar solo dos puntos. Luego estos puntos se pueden alinear y unir mediante una regla para representar la línea recta. Aunque se pueden usar dos puntos cualesquiera para graficar una función lineal, dos puntos en particular que se pueden usar son la intersección con $x$ y la intersección con $y$ . A la representación de una función lineal mediante la ubicación de las intersecciones con $x-$ e $y-$ normalmente se le conoce como método de intersección.

La intersección con $x$ es el lugar donde la representación gráfica atraviesa el eje $x$ . Sus coordenadas son $(x, 0)$ . Dado que todas las intersecciones con $x$ tienen una coordenada $y$ igual a 0, puede hallar una intersección con $x$ reemplazando $y$ con 0 en la ecuación y hallando $x$ .

La intersección con $y$ es el lugar donde la representación gráfica atraviesa el eje $y$ . Las coordenadas son $(0, y)$ . Dado que todas las intersecciones con $y$ tienen una coordenada $x$ igual a 0, puede hallar una intersección con $y$ reemplazando $x$ con 0 en la ecuación y hallando $y$ .

Ejemplo A

Identifique las intersecciones con $x-$ e $y$ para cada línea.

(a) $2x+y-6=0$

(b) $\frac{1}{2}x-4y=4$

Solución:

(a)

$&\text{Let} \ y = 0. \ \text{Solve for} \ `x\text{'}. && \text{Let} \ x = 0. \ \text{Solve for} \ `y\text{'}.\\\& 2x+y-6=0 && 2x+y-6=0\\\& 2x+({\color{red}0})-6=0 && 2({\color{red}0})+y-6=0\\\& 2x-6=0 && y-6=0\\\& 2x-6+6=0+6 && y-6+6=0+6\\\& 2x=6 && y=6\\\& \frac{2x}{2}=\frac{6}{2} && \text{The} \ y \text{-intercept is} \ (0, 6)\\\& x=3\\\& \text{The} \ x \text{-intercept is} \ (3, 0)$

(b)

$& \text{Let} \ y = 0. \ \text{Solve for} \ `x\text{'}. && \text{Let} \ x = 0. \ \text{Solve for} \ `y\text{'}.\\\& \frac{1}{2}x-4y=4 && \frac{1}{2}x-4y=4\\\& \frac{1}{2}x-4({\color{red}0})=4 && \frac{1}{2}({\color{red}0})-4y=4\\\& \frac{1}{2}x-0=4 && 0-4y=4\\\& \frac{1}{2}x=4 && -4y=4\\\& \overset{1}{\cancel{2}}\left(\frac{1}{\cancel{2}}\right)x=2(4) && \frac{-4y}{-4}=\frac{4}{-4}\\\& x=8 && y=-1\\\& \text{The} \ x \text{-intercept is} \ (8, 0) && \text{The} \ y \text{-intercept is} \ (0, -1)$

Ejemplo B

Use el método de intersección para graficar $2x-3y=-12$ .

Solución:

$& \text{Let} \ y = 0. \ \text{Solve for} \ `x\text{'}. && \text{Let} \ x = 0. \ \text{Solve for} \ `y\text{'}.\\\& 2x-3y=-12 && 2x-3y=-12\\\& 2x-3({\color{red}0})=-12 && 2({\color{red}0})-3y=-12\\\& 2x-0=-12 && 0-3y=-12\\\& 2x=-12 && -3y=-12\\\& \frac{2x}{2}=\frac{-12}{2} && \frac{-3y}{-3}=\frac{-12}{-3}\\\& x=-6 && y=4\\\& \text{The} \ x \text{-intercept is} \ (-6, 0) && \text{The} \ y \text{-intercept is} \ (0, 4)$

Ejemplo C

Use las intersecciones con $x-$ e $y$ de la representación gráfica para identificar la función lineal que corresponde al gráfico.

a) $y=2x-8$

b) $x-2y+8=0$

c) $2x+y-8=0$

La intersección con $x$ es (–8, 0) y la intersección con $y$ es (0, 4).

Solución: Halle las intersecciones con $x$ e $y$ para cada ecuación y vea cuál corresponde al gráfico.

a) Intersección con $x$ : $0=2x-8 \rightarrow x=4$

$y$ : $y=2(0)-8 \rightarrow y=-8$

b) Intersección con $x$ : $x-2(0)+8=0 \rightarrow x=-8$

$y$ : $0-2y+8=0 \rightarrow y=4$

c) Intersección con $x$ : $2x+0-8=0 \rightarrow x=4$

$y$ : $2(0)+y-8=0 \rightarrow y=8$

Las intersecciones con $x$ e $y$ se corresponden con $x-2y+8=0$ de modo que ésta es la ecuación de la línea.

Revisión del problema de concepto

La función lineal $4x+2y=8$ se puede graficar utilizando el método de intersección.

$& \text{To determine the }x \text{-intercept, let } y=0. && \text{To determine the } y \text{-intercept, let } x=0.\\\& \text{Solve for} \ `x\text{'}. && \text{Solve for} \ `y\text{'} .\\\& 4x+2y=8 && 4x+2y=8\\\& 4x+2({\color{red}0})=8 && 4({\color{red}0})+2y=8\\\& 4x+{\color{red}0}=8 && {\color{red}0}+2y=8\\\ & 4x=8 && 2y=8\\\& \frac{4x}{4}=\frac{8}{4} && \frac{2y}{2}=\frac{8}{2}\\\& x=2 && y=4\\\& \text{The} \ x \text{-intercept is} \ (2, 0) && \text{The} \ y \text{-intercept is} \ (0, 4)$

Ubique la intersección con $x$ en el eje $x$ y la intersección $y$ en el eje $y$ . Una los dos puntos con una línea recta.

Vocabulario

Método de intersección: El método de intersección es un modo de graficar una función lineal usando las coordenadas de las intersecciones con $x-$ e $y$ . La representación gráfica se hace ubicando estas coordenadas en el plano cartesiano y uniéndolas con una línea recta.

$x$ , intersección con: Una intersección con $x$ de una relación es la $x-$ coordenada del punto donde la relación cruza al eje $x$ .

$y$ , intersección con: Una intersección con $y$ de una relación es la $y-$ coordenada del punto donde la relación cruza al eje $y$ .

Práctica guiada

1. Identifique las intersecciones con $x-$ e $y$ de las siguientes funciones lineales:

(i) $2(x-3)=y+4$

(ii) $3x+\frac{2}{3}y-3=0$

2. Use el método de intersección para graficar la siguiente relación:

(i) $5x+2y=-10$

3. Use las intersecciones con $x-$ e $y$ de la representación gráfica, para asociar la representación con su función.

(i) $2x+y=6$

(ii) $4x-3y-12=0$

(iii) $5x+3y=15$

Respuestas:

1. (i)

$2(x-3)&=y+4 && \text{Simplify the equation}\\\2(x-3)&=y+4\\\2x-6&=y+4\\\2x-6+6&=y+4+6\\\2x&=y+10 && \text{You may leave the function in this form.}\\\2x-y&=y-y+10\\\2x-y&=10$

Si prefiere tener ambas variables en el mismo lado de la ecuación, también se puede usar esta forma. Elija la que prefiera.

$& \text{Let} \ y = 0. \ \text{Solve for} \ x. && \text{Let} \ x = 0. \ \text{Solve for} \ y.\\\& 2x-y=10 && 2x-y=10\\\& 2x-({\color{red}0})=10 && 2({\color{red}0})-y=10\\\& 2x=10 && 0-y=10\\\& \frac{2x}{2}=\frac{10}{2} && \frac{-y}{-1}=\frac{10}{-1}\\\& x=5 && y=-10\\\& \text{The} \ x \text{-intercept is} \ (5, 0) && \text{The} \ y \text{-intercept is} \ (0, -10)$

(ii)

$3x+\frac{2}{3}y-3&=0 && \text{Simplify the equation.}\\\3(3x)+3\left(\frac{2}{3}\right)y-3(3)&=3(0) && \text{Multiply each term by 3.}\\\3(3x)+\cancel{3}\left(\frac{2}{\cancel{3}}\right)y-3(3)&=3(0)\\\9x+2y-9&=0\\\9x+2y-9+9&=0+9\\\9x+2y&=9$

$& \text{Let} \ y = 0. \ \text{Solve for} \ x. && \text{Let} \ x = 0. \ \text{Solve for} \ y.\\\& 9x+2y=9 && 9x+2y=9\\\& 9x+2({\color{red}0})=9 && 9({\color{red}0})+2y=9\\\& 9x+0=9 && 0+2y=9\\\& \frac{9x}{9}=\frac{9}{9} && \frac{2y}{2}=\frac{9}{2}\\\& x=1 && y=4.5\\\& \text{The} \ x \text{-intercept is} \ (1, 0) && \text{The} \ y \text{-intercept is} \ (0, 4.5)$

$& \text{Let} \ y = 0. \ \text{Solve for} \ x. && \text{Let} \ x = 0. \ \text{Solve for} \ y.\\\& 5x+2y=-10 && 5x+2y=-10\\\& 5x+2({\color{red}0})=-10 && 5({\color{red}0})+2y=-10\\\& 5x+0=-10 && 0+2y=-10\\\& \frac{5x}{5}=\frac{-10}{5} && \frac{2y}{2}=\frac{-10}{2}\\\& x=-2 && y=-5\\\& \text{The} \ x \text{-intercept is} \ (-2, 0) && \text{The} \ y \text{-intercept is} \ (0, -5)$

3. Identifique las intersecciones con $x-$ e $y$ de la representación gráfica.

La intersección con $x$ es (3, 0)

La intersección con $y$ es (0, -4)

Determine la intersección con $x-$ e $y$ para cada una de las funciones. Si las intersecciones coinciden con las de la representación gráfica, la función lineal será la que corresponde al gráfico.

(i)

$& \text{Let} \ y = 0. \ \text{Solve for} \ x. && \text{Let} \ x = 0. \ \text{Solve for} \ y.\\\& 2x+y=6 && 2x+y=6\\\& 2x+({\color{red}0})=6 && 2({\color{red}0})+y=6\\\& 2x=6 && 0+y=6\\\& \frac{2x}{2}=\frac{6}{2} && y=6\\\& x=3\\\& \text{The} \ x \text{-intercept is} \ (3, 0) && \text{The} \ y \text{-intercept is} \ (0, 6)\\\& \text{This matches the graph.} && \text{This does not match the graph.}$

$2x+y=6$ no es la función lineal de la representación gráfica.

(ii)

$& \text{Let} \ y = 0. \ \text{Solve for} \ x. && \text{Let} \ x = 0. \ \text{Solve for} \ y.\\\& 4x-3y-12=0 && 4x-3y-12=0\\\& 4x-3y-12+12=0+12 && 4x-3y-12+12=0+12\\\& 4x-3y=12 && 4x-3y=12\\\& 4x-3({\color{red}0})=12 && 4({\color{red}0})-3y=12\\\& 4x-0=12 && 0-3y=12\\\& 4x=12 && -3y=12\\\& \frac{4x}{4}=\frac{12}{4} && \frac{-3y}{-3}=\frac{12}{-3}\\\& x=3 && y=-4\\\& \text{The} \ x \text{-intercept is} \ (3, 0) && \text{The} \ y \text{-intercept is} \ (0, -4)\\\& \text{This matches the graph.} && \text{This matches the graph.}$

$4x-3y-12=0$ es la función lineal de la representación gráfica.

(iii)

$& \text{Let} \ y = 0. \ \text{Solve for} \ x. && \text{Let} \ x = 0. \ \text{Solve for} \ y.\\\& 5x+3y=15 && 5x+3y=15\\\& 5x+3({\color{red}0})=15 && 5({\color{red}0})+3y=15\\\& 5x+0=15 && 0+3y=15\\\& 5x=15 && 3y=15\\\& \frac{5x}{5}=\frac{15}{5} && \frac{3y}{3}=\frac{15}{3}\\\& x=3 && y=5\\\& \text{The} \ x \text{-intercept is} \ (3, 0) && \text{The} \ y \text{-intercept is} \ (0, 5)\\\& \text{This matches the graph.} && \text{This does not match the graph.}$

$5x+3y=15$ no es la función lineal de la representación gráfica.

Práctica

Complete la siguiente tabla para los puntos del 1 al 10:

Función	$x$ , intersección con	$y$ , intersección con
$7x-3y=21$	1.	2.
$8x-3y+24=0$	3.	4.
$\frac{x}{4}-\frac{y}{2}=3$	5.	6.
$7x+2y-14=0$	7.	8.
$\frac{2}{3}x-\frac{1}{4}y=-2$	9.	10.

Use el método de intersección para graficar cada una de las funciones lineales de la tabla anterior.

$7x-3y=21$
$8x-3y+24=0$
$\frac{x}{4}-\frac{y}{2}=3$
$7x+2y-14=0$
$\frac{2}{3}x-\frac{1}{4}y=-2$

Use las intersecciones con $x-$ e $y$ para asociar cada representación gráfica con su función.

a. $7x+5y-35=0$

b. $y=5x+10$

c. $2x+4y+8=0$

d. $2x+y=2$

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