Dominio y rango

Aquí aprenderá a hallar el dominio y el rango de una relación.

Joseph condujo desde su casa de verano hasta su lugar de trabajo. Para evitar la construcción de la calle, Joseph decidió viajar por camino de grava. Luego de conducir durante 20 minutos, estaba a 62 millas de su trabajo y luego de conducir durante 40 minutos estaba a 52 millas. Represente el problema en un gráfico y escriba un dominio y un rango apropiados para la situación.

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Khan Academy Domain and Range of a Function (Dominio y rango de una función) *Este video solo está disponible en inglés

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Guía

El dominio de una relación es el conjunto de valores posibles que puede tener “ $x$ ”. El rango de una relación es el conjunto de valores posibles que puede tener “ $y$ ”. Puede escribir el dominio y el rango de una relación usando notación de intervalos y según el sistema numérico al cual pertenece. Recuerde:

$Z(\text{integers})=\{-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots \}$
$R(\text{real numbers})=\{\text{all rational and irrational numbers} \}$ .

Estos sistemas numéricos son muy importantes cuando el dominio y el rango de una relación se describen con notación de intervalos.

Una relación es discreta si hay una cantidad finita de puntos de datos en su representación gráfica. Las representaciones gráficas de las relaciones discretas se ven como puntos. Una relación es continua si su representación gráfica es una curva ininterrumpida sin “huecos” ni “espacios vacíos”. La representación gráfica de una relación continua está representada por una línea o una curva como la que se ve a continuación. Observe que es posible que una relación no sea ni discreta ni continua.

La relación es una línea recta que comienza en el punto (2, 1). El hecho de que los puntos de la línea están conectados indica que la relación es continua. El dominio y el rango se pueden escribir en notación de intervalos, como se ve a continuación:

Ejemplo A

¿Qué relaciones son discretas? ¿Qué relaciones son continuas? Para cada relación, halle el dominio y el rango.

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

Solución:

(i) La representación se ve como puntos. Por lo tanto, la relación es discreta. El dominio es $\{1,2,4 \}$ . El rango es $\{1,2,3,5 \}$

(ii) La representación se ve como una línea recta. Por lo tanto, la relación es continua. $D=\{x|x \ \in \ R \} \quad R=\{y|y \ \in \ R \}$

(iii) La representación se ve como puntos. Por lo tanto, la relación es discreta. El dominio es $\{-1,0,1,2,3,4,5\}$ . El rango es $\{-2,-1,0,1,2,3,4\}$

(iv) La representación se ve como una curva. Por lo tanto, la relación es continua. $D=\{x|x \ \in \ R \} \quad R=\{y|y \ge -3, y \ \in \ R \}$

Ejemplo B

Si una relación es discreta, continua o ninguna de las dos, se suele poder determinar sin una representación gráfica. El dominio y el rango también se pueden determinar sin una representación gráfica. Analice el siguiente patrón de mondadientes.

Complete la siguiente tabla para determinar la cantidad de mondadientes necesarios en el patrón.

Número de patrón $(n)$	1	2	3	4	5	...	$n$	...	200
Cantidad de mondadientes $(t)$

¿Los datos son continuos o discretos? ¿Por qué?

¿Cuál es el dominio?

¿Cuál es el rango?

Solución:

Número de patrón $(n)$	1	2	3	4	5	...	$n$	...	200
Cantidad de mondadientes $(t)$	7	12	17	22	27		$5n+2$		1002

La cantidad de mondadientes en cualquier número del patrón es el resultado de multiplicar el número del patrón por 5 y sumar 2 al producto.

La cantidad de mondadientes en el número 200 del patrón es:

$t&=5n+2\\\t&=5({\color{red}200})+2\\\t&=1000+2\\\t&=1002$

Los datos deben ser discretos. La representación gráfica sería puntos que representan el número del patrón y la cantidad de mondadientes. Es imposible tener un número de patrón o una cantidad de mondadientes que no sean números naturales. Por lo tanto, los puntos no estarían unidos.

El dominio y el rango son:

$D=\{x|x \ \in \ N\} \quad R=\{y|y=5x+2, x \ \in \ N\}$

Si el rango está escrito en términos de una función, entonces el sistema numérico al cual pertenece $x$ debe designarse en el rango.

Ejemplo C

¿Puede determinar el dominio y el rango de la siguiente relación?

Solución:

Los puntos indicados en la representación gráfica son $\{(-5,-4),(-5,1),(-2,3),(2,1),(2,-4)\}$

El dominio es $\{-5,-2,2 \}$ y el rango es $\{ -4,1,3\}$ .

Revisión del problema de concepto

Para representar el problema en un gráfico, ubique los puntos (20, 62) y (40, 52). Los puntos se pueden unir con una línea recta porque los datos son continuos. La distancia recorrida cambia continuamente al igual que cambia el tiempo que lleva conduciendo. La intersección con $y$ representa la distancia que hay desde la casa de verano de Joseph a su lugar de trabajo. Esta distancia es aproximadamente 72 millas. La intersección con $x$ representa el tiempo que le llevó a Joseph ir desde su casa de verano hasta el trabajo. Este tiempo es aproximadamente 145 minutos.

El tiempo no puede ser una cantidad negativa. Por lo tanto, el valor más pequeño para la cantidad de minutos debería ser cero. Esto representa el momento en que Joseph comenzó el viaje. Un dominio adecuado para este problema es $D=\{x|0 \le x \le 145, x \ \in \ R\}$

La distancia desde la casa de verano al trabajo no puede ser una cantidad negativa. La distancia está representada en el eje $y$ como la intersección con $y$ , y es la distancia antes de que comenzara a conducir. Un rango adecuado para el problema es $R=\{y|0 \le y \le 72, y \ \in \ R\}$

El dominio y el rango suelen depender de las cantidades presentadas en el problema. En el problema anterior, las cantidades de tiempo y distancia no podían ser negativas. Como resultado, los valores del dominio y el rango debían ser positivos.

Vocabulario

Continua: Una relación es continua si es una curva ininterrumpida sin “huecos” ni “espacios vacíos”.

Discreta: Una relación es discreta si hay una cantidad finita de puntos de datos en su representación gráfica. Las representaciones gráficas de las relaciones discretas se ven como puntos.

Dominio: El dominio de una relación es el conjunto de valores posibles que puede tener “ $x$ ”.

Rango: El rango de una relación es el conjunto de valores posibles que puede tener “ $y$ ”.

Coordenadas: Las coordenadas son el par ordenado $(x, y)$ que representa a un punto en un plano cartesiano.

Práctica guiada

1. ¿Cuál relación es discreta? ¿Cuál relación es continua?

(i)

(ii)

2. Establezca el dominio y el rango para cada una de las siguientes relaciones:

(i)

(ii)

3. El pago a un vendedor de computadoras consiste en un sueldo mensual de $200 más una bonificación de $100 por cada computadora vendida.

(a) Complete la siguiente tabla de valores:

Cantidad de computadoras vendidas	0	2	5	10	18
Pago en dólares para el mes ($)

(b) Bosqueje el gráfico para representar el sueldo mensual ($), contra el número $(N)$ de computadoras vendidas.

Respuestas:

1. (i) El gráfico muestra claramente que los puntos están unidos. Por lo tanto los datos son continuos.

(ii) El gráfico muestra los puntos ubicados como puntos que no están unidos. Por lo tanto los datos son discretos.

2. (i) El dominio representa los valores de " $x$ ". $D=\{x|-3\le x\le 3, x \ \in \ R\}$

El rango representa los valores de " $y$ ". $R=\{y|-3 \le y \le 3, y \ \in \ R \}$

(ii) $D=\{x|x \ \in \ R\}$

$R=\{y|-4 \le y \le 4, y \ \in \ R\}$

Cantidad de computadoras vendidas	0	2	5	10	18
Pago en dólares para el mes ($)	$200	$400	$700	$1200	$2000

(c) El gráfico muestra que los datos son discretos. (El vendedor no puede vender una parte de una computadora, de modo que los puntos de datos no se pueden conectar.) El número de computadoras vendidas debe expresarse con números enteros. Los pagos deben ser números naturales.

Un dominio adecuado es $D=\{x|x \ge 0, x \ \in \ W\}$

Un rango adecuado es $R=\{y|y=200+100x, x \ \in \ N\}$

Práctica

Use el siguiente gráfico para resolver los puntos 1 y 2.

¿La relación es discreta, continua o ninguna?
Halle el dominio y el rango de la relación.

Use el siguiente gráfico para resolver los puntos 3 y 4.

¿La relación es discreta, continua o ninguna?
Halle el dominio y el rango de cada una de las tres relaciones.

Use el siguiente gráfico para resolver los puntos 5 y 6.

¿La relación es discreta, continua o ninguna?
Halle el dominio y el rango de la relación.

Use el siguiente gráfico para resolver los puntos 7 y 8.

¿La relación es discreta, continua o ninguna?
Halle el dominio y el rango de la relación.

Analice el siguiente patrón.

Cantidad de cubos $(n)$	1	2	3	4	5	...	$n$	...	200
Cantidad de caras visibles $(f)$	6	10	14

Complete la tabla que está debajo del patrón.
¿La relación es discreta, continua o ninguna?
Exprese un dominio y un rango adecuados para el patrón.

Analice el siguiente patrón.

Cantidad de triángulos $(n)$	1	2	3	4	5	...	$n$	...	100
Cantidad de mondadientes $(t)$

Complete la tabla que está debajo del patrón.
¿La relación es discreta, continua o ninguna?
Exprese un dominio y un rango adecuados para el patrón.

Analice el siguiente patrón.

Número de patrón $(n)$	1	2	3	4	5	...	$n$	...	100
Cantidad de puntos $(d)$

Complete la tabla que está debajo del patrón.
¿La relación es discreta, continua o ninguna?
Exprese un dominio y un rango adecuados para el patrón.

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